Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến có lời giải – phạm hồng phong

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §1 Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm A Tóm tắt lý thuyết Cho y  f  x   C  Tiếp tuyến điểm y (C ) Tiếp tuyến với  C  M  x0 ; f  x0   đường thẳng Δ  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  Ta cũng nói rằng  tiếp xúc với  C  hay  C  tiếp xúc  , hoặc   C  tiếp xúc Mx0;fx0 O x Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến  C  M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C  M nơi xảy tiếp xúc Tiếp tuyến qua điểm Tiếp tuyến qua M  C  tiếp tuyến với  C  một điểm N đó Điểm M có thể thuộc  C  hoặc không, trường hợp thuộc  C  thì M lại có thể tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới) M M N (C) N (C) M≡N (C) Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua M  x1; y1   C  Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x0  C  :  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  B2  qua M y1  f '  x0  x1  x0   f  x0  Giải phương trình để tìm x0 B3 Thay x0 tìm được ở bước vào phương trình  , ta được một tiếp tuyến qua M C  B Các ví dụ Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Ví dụ Cho y  Phạm Hồng Phong x2  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hồnh đợ 3x  bằng Giải Ta có y '  y ' 1   3x  x   3x  1 Lần lượt thay x  vào các biểu thức y y ' , ta được 1 y 1  Suy phương trình tiếp tuyến với  C  M là: : y   1  x  1    : y   x  8 Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu y y ' thay cho f f ' trường hợp toán đề cập đến mợt hàm sớ Ví dụ Cho y  x3  x  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục hoành Giải Từ phương trình  C  , cho y  ta được: x3  x  x     x  2 x  1  x  2 0    x  1 Suy  C  có hai giao điểm với trục hoành M1  2;0  M  1;0  Từ y '  3x  x  suy y '  2   , y '  1  Do đó phương trình tiếp tuyến với  C  các điểm M , M lần lượt là: 1 : y   x     1 : y  x  ,  : y   x  1    : y  Ví dụ [ĐHB08] Cho y  x3  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 là:  : y  y '  x0  x  x0   f  x0    : y  12 x0  12 x0   x  x0   x0  x0  Điều kiện  qua M  1; 9  tương đương với hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong   x0  9  12 x  12 x0   1  x0   x  x   8x  x  12 x0  10     x0  1 3  15   y '  x0   15 21 15  5  x0     : y  x   : y  x 4 4  16 yx     16    y '  x0   24  x0  1     : y  24  x  1    : y  24 x  15 y  x0   9   Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C   : y  15 21 x  ,  : y  24 x  15 4 C Bài tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng: 1)  C  đồ thị hàm số y  x  x  hồnh đợ tiếp điểm bằng ; 2)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  tung độ tiếp điểm bằng ; x  3x  tiếp điểm giao điểm  C  với trục tung; x 1  19  4)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  tiếp tuyến qua A  ;  ;  12  3)  C  đồ thị hàm số y  5)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  tiếp tuyến qua A  1;  Bài Cho y  x3  3x  12 x   C  Tìm điểm thuộc  C  mà tiếp tuyến đó qua gốc tọa độ D Hướng dẫn đáp số Bài 1) y  24 x  43 ; 2) y  , y  x  ; 3) y  x  ; 4) y  12 x  15 , y   y  ; 5) y  , y   21 645 x , 32 128 x  Bài M  1;12  4 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §2 Điều kiện tồn tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Xét toán sau Bài tốn Cho đồ thị hàm sớ y  f  x   C  Tìm điều kiện tham số để  C  có tiếp tuyến thỏa mãn mợt điều kiện đó Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh đợ x0  C  :  : y  f '  x0  x  x0   f  x0  B2 Áp điều kiện toán lên đường thẳng  để nhận được một phương trình ẩn x0 Tiếp tuyến tồn lại phương trình có nghiệm x0 B Các ví dụ Ví dụ Cho y  x   1 x x 1  C  Chứng minh qua điểm I  1; 1 không tồn tiếp tuyến C  Giải Xét tiếp tuyến điểm có hoành độ x0  C   : y  f '  x0  x  x0   f  x0    : y  2  x0  1  x  x0    x0 x0   qua I  1; 1 nghĩa 1  2  x0  1  1   1  x0    x0  x0  1   x0  x0  x0    x0  1   x0  x0     x0  x0   x0    Vậy không tồn x0 để  qua I Nói cách khác qua I khơng có tiếp tuyến  C  Ví dụ Cho y  x  3mx   C  Tìm m để  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  Giải Phương trình tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh đợ x0 là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  8 x0  3m  x  x0   x0  3mx0   C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  phương trình sau có nghiệm đối với x0 : 2  8x0  3m 1  x0   x0  3mx0  Tiếp tuyến tiếp xúc  * hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Ta có  *  4x0  8x0  3m   (  '  12m  48 ) Do đó * có nghiệm  '   12m  48   m  4 Vậy  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  m  4 Ví dụ Cho y  2x 1  C  Tìm đường thẳng x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến x2 C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  5  x0    x  x0   x0  x0  Điểm A nằm đường thẳng x   tọa độ A có dạng A  3; a  Qua A có tiếp tuyến tới  C  phương trình sau có nghiệm đối với x0 : :a  5  x0     x0   x0  x0  1 Ta thấy 1 a  x0  2  5   x0    x0  1 x0     x0        x0     a  x0    5   x0    x0  1 x0   2   a   x0   2a  1 x0  4a  17   2 Trường hợp a    a  Khi đó   trở thành 10 x0  21   x0  21 10 Trong trường hợp   có nghiệm  1 có nghiệm Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Trường hợp a    a  Khi đó   phương trình bậc hai có   5a  35 Do đó, trường hợp 1 có nghiệm   có nghiệm, tức    5a  35   a    Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu toán A  3; a  a   2m  1 x  m2  C  d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d x 1 Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  ) là: Ví dụ [ĐHD02] Cho y   : y  y '  x0  x  x0   y  x0   m 1   2m  1 x0  m2  : y    x  x0   x0   x0    m 1   m 1   2m  1 x0  m2  : y   x  x0  x0   x0    x0    C  tiếp xúc với d tồn x0 cho hai đường thẳng  d trùng Tức hệ sau có nghiệm đối với x0  m  2   1  x0    2m  1 x0  m   m 1   0  x0    x0    x0    * Ta có  m     1  x0    *    2m  1 x0  m2    x0   x0   1  2  x0   x0   1    x0   m     x0  m   x    m  x   m    m   m   m   1 vô nghiệm  * vô nghiệm Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong  x0  m Thay x0  m vào vế trái   ta có m  1: 1    x0   m   2m  1 m  m2  m    x0  m một nghiệm *  * có nghiệm Vậy m 1  C  tiếp xúc với d m  VT   Ví dụ Cho y  x  x   C  Tìm m để đường thẳng d : y  60 x  m tiếp xúc với  C  Với m tìm được, hồnh đợ tiếp điểm d  C  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  y '  x0  x  x0 y '  x0   y  x0  C  tiếp xúc với d tồn x0 cho  d trùng nhau, điều đó có nghĩa hệ sau có nghiệm đối với x0  y '  x0   60  y '  x0   60       x0 y '  x0   y  x0   m m  60 x0  y  x0    1 1  2  4x0 16 x0  60  x0  Thay x0  vào   ta có m  164 Vậy d tiếp xúc với  C  m  164 Khi đó hồnh đợ tiếp điểm x0  C Bài tập Bài Cho y  x  C  Chứng minh rằng qua I 1;1  C  , không tồn tiếp tuyến x 1  C  Bài Tìm m cho đồ thị hàm sớ y  xm có tiếp tuyến qua điểm A  0; 2  x 1 m Bài Cho y  x  x  C  1) Tìm trục tung điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C  ; 2) Tìm điểm đường thẳng y  mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C  D Hướng dẫn đáp số Bài 2  m  Bài 1) Những điểm cần tìm có dạng A  0; a  với a  ; 2) Những điểm cần 3   tìm có dạng A  a;3 với a  ;     3;    Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §3 Hệ số góc tiếp tuyến A Giới thiệu Ta biết rằng f '  x0  hệ sớ góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh đợ x0 Trong học này, quan tâm nhiều đến hệ sớ góc tiếp tuyến B Các ví dụ Ví dụ Cho y  x  x  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng  C  Giải Ta có  x0  1 2 y '  x0    x0  x0    x0  x0      x0  Ta có y  1  , y     Suy các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: 3 13 1 : y   x  1   1 : y  x  , 3 14 2 : y   x  2   2 : y  2x  3 Ví dụ Cho y  x3  3x  12 x   C  Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ C  Giải Hệ sớ góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  C  là: k  f '  x0   3x0  x0  12   x0  1  15  15  k  15 Dấu “  ” xảy x0  Do đó k nhỏ bằng 15 , đạt được x0  Ta có f 1  9 , suy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  C  là:  : y  15  x  1    : y  15 x  Ví dụ [ĐHD10] Cho y   x  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y  x   C  Giải Gọi  tiếp tuyến với  C  điểm có hoành độ x0   có hệ số góc k  y '  x0  d   k  1  k  6  4 x0  x0  6  x0  x0   y  x0     : y  6  x  1    : y  6 x  10 Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Vậy tiếp tuyến vuông góc với d  C   : y  6 x  10 Chú ý (Vị trí tương đối góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc) Cho 1 : y  k1 x  m1  : y  k2 x  m2 Ta có:   k1  k2 1     ;  m1  m2   k1  k2 1    ;  m1  m2  1    k1k2  1 ;  Cho    ;90  , ta có: 1 tạo với  góc   k1  k2  tan  ;  k1k2 Đặc biệt, k2  thì: 1 tạo với  góc   k1  tan  Ví dụ [ĐHD05] Cho y  m x  x  3  Cm  Gọi M điểm tḥc  Cm  có hồnh đợ bằng 1 Tìm m để tiếp tuyến M  Cm  song song với đường thẳng d : x  y  Giải Phương trình tiếp tuyến M  Cm   : y  y '  1 x  1  y 1   : y   m  1 x  1  m m   : y   m  1 x   2 m    Ta có d : y  x Do đó  d   m  m4  1   Vậy tiếp tuyến M  Cm  song song với đường thẳng d  m    Ví dụ Cho y  mx   3m   x  24    Cm  Gọi A B lần lượt các điểm có hồnh đợ bằng 1  Cm  Tìm m để các tiếp tuyến  Cm  A B vuông góc với Tiếp tuyến tiếp xúc hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong 1  Giải Ta có y '  x   4mx3   6m   x  hệ số góc các tiếp tuyến  Cm  A B lần 12   1 lượt y '  1  10m  y '    44m  Do đó các tiếp tuyến  Cm  A B 12 vuông góc với  1  y '  1  y '    1   10m   44m    1 12  6     m  24 16 71 440m  m  0   72  m   71  1320  C Bài tập Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết 1)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 2)  C  đồ thị hàm số y   x  x  x  , tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài Cho y  x  mx  x  m   C  Tìm m để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng 1) [ĐHB06]  C  đồ thị hàm số y  x2  x 1 tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x2 d : y  x  1 2x tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y   2x 1 1 3)  C  đồ thị hàm số y  x  x  x  tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2 d : x  y   góc 45 2)  C  đồ thị hàm số y  Bài Tìm tất các điểm đồ thị  C  hàm số y  x  x  mà tiếp tuyến đó 3 vuông góc với đường thẳng d : y   x  3 Tiếp tuyến tiếp xúc 10 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Bài Cho y  mx   m  1 x   3m   x   Cm  Tìm điều kiện m để  C m  có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  2012 D Hướng dẫn đáp số Bài 1) y  x  ; 2) y  x  Bài m  3 , m  tiếp tuyến d1 : y  10 x  11 , m  3 tiếp tuyến d : y  10 x  13 Bài 1) y   x  2  , y   x  2  ; 2) 1 229 29  4 x , y  x , y  2 x  , y  2 x  Bài  2;0   2;  2 54 27  3 Bài m  hoặc m   hoctoancapba.com 48 240 y  4 x  3) y  Tiếp tuyến tiếp xúc 11 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §4 Một số tính chất hình học tiếp tuyến A Tóm tắt lý thuyết Phần sử dụng một số kiến thức sau: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng  : ax  by  c  Ta có cơng thức tính khoảng cách từ M đến  : d  M ;   ax0  by0  c a  b2 Giao điểm hai đường thẳng Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ gồm các phương trình đường thẳng B Một số ví dụ Ví dụ Cho y  x3  x  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 Giải Hệ sớ góc tiếp tuyến  điểm có hồnh đợ x0  C  là: k  y '  x0   x0  x0  Ta có  , Ox   45  k   k  tan 45    k  1  x0  k   x  8x0      x0    +) x0   y  x0     : y  x +) x0   28 64  28   y  x0      : y   x     : y  x 27 27  27   x0  k  1  6x  8x0   1    x0    Tiếp tuyến tiếp xúc 12 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong +) x0   y  x0   1   : y    x  1    : y   x +) x0  1 1   y  x0      : y   x      : y  x  27 27  27  Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45  C  là: y  x , y  x  Ví dụ Cho y  1 x 2x 1 C  64 , y  x , y  x  27 27 Viết phương trình tiếp tuyến  1 I   ;   một khoảng bằng  2 C  biết tiếp tuyến cách 10 Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hoành độ x0 ( x0   ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0   : y   d  I;   3  x0  1  x  x0    x0 2   : 3x   x0  1 y  x0  x0   x0  2    x0  1  x0  x0  2   x0  1  x0    x0  1 Do đó: d  A;     10 x0    x0  1  10  x0 x  x0  1     x0  1 10  x0  1      x0  x0  1     x0  0  1 1  2   y '  x0   3  x0      : y  3 x   y  x0      y '  x0   3  x0  1     : y  3  x  1    : y  3 x   y  x0   2  Tiếp tuyến tiếp xúc 13 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong   1  y '  x0    x0      : y    x  1   : y   x  3  y  x0      1  y '  x0    x0  2     : y    x  2 1   : y   x  3  y  x0   1  1 Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  3 x  , y  3 x  , y   x  , 3 y  x 3 Ví dụ Cho y   2x x 1  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cách đều các điểm A  7;6  B  3;10  Giải Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh đợ x0 ( x0  1 ) là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y    x0  1  x  x0    x0 x0    : 5x   x0  1 y  x0  x0    cách đều các điểm A B khi: 35   x0  1  x0  x0  d  A;    d  B;    25   x0  1 15  10  x0  1  x0  x0   25   x0  1 2 2  x0  x0  32  12 x0  14 x0   x0  3x0  16  x0  x0  2  x0  3x0  16  x0  x0   x0  x0     '  5   voâ nghieäm      2  x0  3x0  16    x0  x0    x0  x0      x0     x0  2 Tiếp tuyến tiếp xúc 14 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong    y '  x0    5  x0      : y    x  1    : y   x  4 yx       y '  x0   5  x0  2     : y  5  x      : y  5 x  17  y  x0   7  Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A B  C  y   x  , y  5 x  17 4 Ví dụ Cho y  2x 1  C  Tìm tọa độ điểm M   C  cho khoảng cách từ điểm I 1;  x 1 tới tiếp tuyến  C  M đạt giá trị lớn Giải Giả sử x0 hồnh đợ M  tiếp tuyến M (C ) có phương trình:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y    x0  1  x  x0    x0   3x   x0  1 y  x0  x0   2   x0  1  x0  x0   d  I;     x0  1 Theo bất đẳng thức Cô-si:  x0  1  x0    x0  1   x0  1   x0  1   x0  1   , suy d  I ,    Đẳng thức xảy 2  x0  1   x0  1  2  x0  1 Vậy khoảng cách d  I ;   lớn bằng  M 1  3;2    hoặc M 1  3;2     x0  1  , đạt được x0  1   2x  C  Tìm tọa độ điểm M thuộc  C  biết tiếp tuyến  C  x 1 M cắt hai trục Ox , Oy A , B cho tam giác OAB có diện tích bằng Ví dụ [ĐHD07] Cho y  Tiếp tuyến tiếp xúc 15 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Giải Ta có y '  với  C  M :  x  1 Phạm Hồng Phong Xét điểm M   C  , M có hoành độ x0 Ta có phương trình tiếp tuyến hoctoancapba.com  : y  f   x0  x  x0   f  x0    : y   : y  2x  x0  1 2  x0  1   x  x0   2 x0  x0  1 2 x0 x0   x0 2x  y  2 A    Ox  A :   x0  1  x0  1  A   x02 ;0 ,  y   x0 2x  y  x0   2 B    Oy  B :    x0  1  x0  1  B  0;   x  12     x  Ta có OA  x0 , OB  SOAB   2 x0  x0  1 x0  x0  1  S ABC  x0 OA.OB   x0  1  x0  x0  1   4x0   x0  1    x0    x0  1   M 1;1  x0  x0    x0           M   ; 2   x0  x0      7   vô nghiệm   x0        C Bài tập 1  Bài Cho y  mx    2m  x  2   Cm  Tìm m để tiếp tuyến  Cm  các điểm có hồnh đợ bằng tạo với một góc có cô-sin bằng Bài Cho y  3 x x4 C  A  4; 1 một khoảng bằng Tiếp tuyến tiếp xúc 13 Viết phương trình tiếp tuyến C  biết tiếp tuyến cách 16 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Bài Cho y  x 1 3x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  Phạm Hồng Phong biết khoảng cách từ điểm  1 I   ;  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn  3 x2 Bài [ĐHA09] Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt 2x  các trục tọa độ các điểm A , B cho tam giác OAB cân O x3 Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt các trục  x  1 tọa độ các điểm A , B cho trung trực đoạn thẳng AB qua gốc tọa độ O 2x Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng tiếp tuyến cắt các x2 trục tọa độ Ox , Oy lần lượt hai điểm A , B phân biệt cho AB  OA D Hướng dẫn đáp số hoặc m   Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: 48 240 25 y  7 x  15 , y  7 x  43 , y   x  , y   x  Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu 7 7 cầu toán là: y  x  , y  x  Bài Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu 3 toán y   x  Bài Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu toán y   x  , y   x  2 Bài Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y   x  Bài m  Tiếp tuyến tiếp xúc 17 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong §5 Điều kiện tiếp xúc A Tóm tắt lý thuyết y Định nghĩa (Hình 1) Cho y  f  x  C   C ' tiếp xúc với điểm  C  y  g  x   C ' M  x0 ; y0  hai điều kiện sau thỏa mãn:  M một điểm chung  C   C ' ; y0 M  Tiếp tuyến hai đường cong M trùng Điểm M được gọi gọi tiếp điểm hai đường cong cho O x0 x Hình Điều kiện tiếp xúc Để xét tiếp xúc hai đồ thị hàm số y  f  x  C  y  g  x   C ' , ta xét hệ:  f  x  g  x   f ' x  g ' x    * Ta có:   C   C '  Nghiệm * hồnh đợ tiếp điểm;  x0 hồnh đợ tiếp điểm  tiếp tuyến chung  C   C ' điểm có hồnh đợ x0 tiếp xúc  hệ * có nghiệm đối với x ; là: y  f '  x0  x  x0   f  x0  Hệ Đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x   C   f  x   kx  m  hệ  có nghiệm đối với x  f ' x  k  B Một số ví dụ x   C  y  x  x   C ' Chứng minh  C   C ' tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung Ví dụ [SGKNC] Cho y  x  Tiếp tuyến tiếp xúc 18 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Giải Ký hiệu f  x   x3  x  g  x   x  x  Xét hệ:  f  x  g  x    f ' x  g ' x  Ta có  I  I   x  x3  x   x  x   x  x         x '  x  x     x  x  ' 3x   x        Vậy  C   C ' tiếp xúc điểm có hồnh đợ bằng  1 g     1      phương trình tiếp tuyến chung là: y   x    hay y  x   2  g '      2  Ví dụ [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến parabol y  ax  bx  c ( a  ) phương trình ax  bx  c  kx  m 1 có nghiệm kép Giải Ta có 1  ax   b  k  x  c  m  (    b  k   4a  c  m  ) Do đó: 1 có nghiệm kép      b  k   4a  c  m   Đường thẳng parabol cho tiếp xúc hệ sau có nghiệm đới với x I  Ta có  I  I  ax  bx  c  kx  m  2ax  b  k  ax   b  k  x   c  m      k b x  2a  có nghiệm  x  1  2 k b nghiệm 1 2a k b  k b   a  c  m     b  k   2a  2a  Tiếp tuyến tiếp xúc b  k  4a b  k   2a   c  m  19 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong   b  k   4a  c  m    1 có nghiệm kép (ĐPCM) hoctoancapba.com Ví dụ [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; 2  tiếp xúc với parabol y  x2  2x Giải Phương trình đường thẳng qua A 1; 2  có hệ số góc k có dạng  : y  k  x  1    : y  kx  k  Xét phương trình x  x  kx  k  hay x   k   x  k  1 (    k     k   )  k  2  tiếp xúc với parabol cho  1 có nghiệm kép      k   k  2   : y  2  x  1    : y  2 x  k    : y   x  1    : y  x  Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y  2 x y  x  Ví dụ [ĐHB08] Cho y  x3  x   C  Viết phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  1; 9   C  Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng  : y  k  x  1   tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm I  4 x3  x   k  x  1    12 x  12 x  k  1  2 Thế   vào 1 ta có:  x  x  x   12 x  12 x   x  1   x  x  x      x  1 Do đó:  I  có nghiệm  x   Thay x  nghiệm   hoặc x  1 nghiệm   15 15 15 21 vào   ta có k    : y   x  1    : y  x  4 4 Tiếp tuyến tiếp xúc 20 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương  Phạm Hồng Phong Thay x  1 vào   ta có k  24   : y  24  x  1    : y  24 x  15 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua điểm M  C  y  15 21 x  , y  24 x  15 4  2m  1 x  m2 y  C  d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d x 1 Giải  C  tiếp xúc với d hệ sau có nghiệm đới với x Ví dụ [ĐHD02] Cho I  Ta có  I   f  x  x    f ' x    2m  1 x  m  x  x  1   2m  1 x  m2  x  x 1  x  m       x   m  m      x   x     1 Do đó  I  có nghiệm  m   m         2m  1 m  m  m  m  1 m nghiệm 1      2m 1  2  m        2m  1  m   m    m 1  m   2  m nghiệm 1      m     m   m   m    m   Vậy  C  tiếp xúc với d  m  C Bài tập Bài [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung 1) y  x  3x  y   x2  2x  x 1 x2 3x  x y  2) y  x2 2 3) y  f  x    x  3x  , y  g  x   x3  x  y  h  x   x  x  3 5 Bài [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến parabol y  x  3x qua điểm A  ;   2 2 chúng vuông góc với Tiếp tuyến tiếp xúc 21 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong Bài Viết phương trình tiếp tuyến qua A đồ thị  C  các trường hợp sau:  23  1) A  ; 2  ,  C  đồ thị hàm số y  x3  3x    x2 2) A  6;5 ,  C  đồ thị hàm số y  x2 Bài Chứng minh rằng qua A 1;0  có hai tiếp tuyến vng góc với đồ thị hàm số x2  x  x 1 Bài Tìm m để đường thẳng y  mx  tiếp xúc với đồ thị y  x  x  y D Hướng dẫn đáp số Bài 1) y  x  ; 2) y  x ; 3) y  x  Chú ý Ba đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  ,  f  x  g  x  h  x  y  h  x  tiếp xúc hệ  có nghiệm đối với x Bài f ' x  g ' x  h ' x   3 3 5  Đường thẳng  qua A  ;   có hệ sớ góc k   : y  k  x    Ta chứng minh tồn 2 2 2  3  hai giá trị k có tích bằng 1 cho phương trình x  3x  k  x    có nghiệm kép 2  61 Bài 1) y   x  , y  x  25 , y  2 ; 2) y   x  , y   x  Bài Chứng minh 27  x2  2x   x   k  x  1  tồn hai giá trị k có tích bằng 1 cho hệ  có nghiệm Bài '  x  x    k   x 1   m  Tiếp tuyến tiếp xúc 22 ... trình tiếp tuyến  C  Phạm Hồng Phong biết khoảng cách từ điểm  1 I   ;  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn  3 x2 Bài [ĐHA09] Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến. .. góc tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng 1) [ĐHB06]  C  đồ thị hàm số y  x2  x 1 tiếp tuyến. .. gồm các phương trình đường thẳng B Một số ví dụ Ví dụ Cho y  x3  x  x  C  Viết phương trình các tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 Giải Hệ sớ góc tiếp tuyến  điểm