CAC DẠNG BÀI TẬP -PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VECTO

Vecto : Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.. i 5: Cho hình bình hành ABCD... Cho tam giác ABC với G là tr ng tâm.. G là trọng tâm tam giác ABC... P Tính độ dài đại số của các vec tơ ,

CAC DẠNG BÀI TẬP -PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VECTO

CHƯƠNG I : VECTO

A Vecto

: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 đ ểm A, B, C , D , O

a) Bằng vectơ AB ; OB

b) Có độ dài bằng OB 

: C o t m g ác C đ ểm v n t t ng đ ểm C C C :

MN BP ; MAPN

: C o tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q l n t là tr ng đ ểm AB, BC, CD, DA Chứng minh:

MQ NP

QP

i 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H v O tâm đ ờng tròn ngoại tiếp Gọ ’ đ ểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH  B ' C

i 5: Cho hình bình hành ABCD Dựng AM  BA , MN  DA , NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ  O

B CH

: C o đ ểm t ì C ứng m n các đ ng t ức :

a) PQNPMNMQ; b) NPMN QPMQ;

c) MNPQMQPN;

: C o ng g ác C C ứng m n ằng:

a) ADBA BC EDEC0;

b) ADBCECBDAE

: C o đ ểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:

a) MNPQMQPN b)MP NQRS MS NPRQ

: C o 7 đ ểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh rằng :

a) AB + CD + EA = CB + ED

b) AD + BE + CF = AE + BF + CD

c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF

d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0

5: C o ìn ìn n C có tâm O C : OA OB OC OD   0

: C o ng g ác đều ABCDE tâm O Chứng minh :

O OE OD OC

OB

7: Cho lục g ác đều ABCDEF có tâm là O CMR :

a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0

b) OA + OC + OE = 0

c) AB+ AO +AF =AD

d) MA+ MC +ME = MB+MD+MF ( M tùy ý )

i 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS

Chứng minh rằng : RF + IQ + PS = 0

i 9: c o tứ g ác C ọ n t t ng đ ểm C v ọ t ng đ ểm C :

0

EA EB ECED

: C o t m g ác C v t ng đ ểm C C C :

a)ANBP CM 0; b) AN AMAP;

c) AMBNCP0

: C o ìn t ng C đá n C đá n gọ t ng đ ểm C :

EA EB ECEDDA BC

: H t ức t ng đ ểm C o đ ểm v

a) C o t ng đ ểm C v đ ểm t ì : IA IB 2IM

b) o c o NA 2NB C v t ì : IA2IB3IN

c) o c o PA3PB C v t ì : IA3IB 2IP

: H t ức t ọng tâm C o t m g ác C có t ọng tâm :

a) CMR: GA GB GC  0 t ì : IA IB IC3IG

b) t ộc đoạn v 1

4GA CMR 2MA MB MC  0 c) C o t m g ác có t ọng tâm ’ C :

+ ADBE CF 0 + T u t m g ác có c ng t ọng tâm : H t ức ìn ìn n C o ìn ìn n C tâm O C :

a) OA OB OC OD   0;

v t ì : IA IB ICID4IO

C I ÁN I N N N I

t t u cạ 2 Tí ộ d ve tơ BABC,CACB

2 t ạ 0

60

BAD O 2 Tí

|ABAD | ; BA BC ; OBDC

vu ạ Tí

ACBD ; ABBC CD DA

t tru v tí

IBIDJA JC

D C

Cho tam giác ABC và M, N lầ ợt tru m AB, AC

a) G P Q tru m MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng

b) G i E, F thoả mãn : 1

3

3

BF BC CMR : A, E, F thẳng hàng

2 t E tru m AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC

a) G M tru v m thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấ K tru m EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng

t v M N P m thoả mãn : MB3MCO, AN3NC, PB PA O 

MP CB CA MN CB CA)

t v M N t ả mãn LB2LC, 1

2

, NB NA O  CM : L, M, N thẳng hàng

Cho tam giác ABC với G là tr ng tâm I, J thoả mãn : 2IA3ICO, 2JA5JB3JCO

a) CMR : M, N, J thẳng hàng vớ M N tru m AB và BC

b) MR tru m BI

c) G E m thuộc AB và thoả mãn AEkAB X ị C, E, J thẳng hàng

t t ả mãn : IA2IB, 3JA2JC O= MR Đ ng thẳ qu

t M tru tu e tru e M v K t e

trên cạnh AC sao cho AK =

3

1

AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

i 8: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức

O AC NA

AB O

MA

BC   ;   3  Chứng minh MN // AC

E P X ịnh vị trí mộ m thoả mãn một

ng th V

m A, B, C Tìm vị trí m M sao cho :

i 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB G là trọng tâm tam giác ABC D, E xác định bởi : AD = 2 AB và AE =

5 2

AC

Tính DEvàDG theo AB và AC Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng

888=============================8888888888888===============================888

F ọ ộ ọ ộ

I.LÝ THUY T:

1.TRỤC TỌ :

Trục t ộ (Trục , hay trục số ) là một ng thẳ trê ĩ t x ịnh một m O và một ve tơ

ơ v i  i 1

Đ O ợc g i là gốc t ộ ve tơ i ợc g ve tơ ơ vị c a trục t ộ

2.Tọ ộ củ ủ m trên tr c:

ve tơ u nằn trên trục (O ; i ) Do i và u p ơ  u a i với a  R Số ợc g ộ

d ại số c a u hay t ộ c a u ối với trục (O ; i )

m M nằm trên (O ; i ) =>mR:OMm i

Số ợc g i là t ộ c m M

ộ d ại số củ ê c :

Trên trục ( O ; i ) ĩ 2 m A , B cĩ t ộ v b Độ d ại số c ve tơ ABký hiệuAB

Ta cĩ : ABba

Tính chất :

AC BC AB i

O C B A CD

AB CD

3.BÀI TÂP

Bài 1:

T ộ d ại số c ve tơ AB trên trục (O ; i ):

Áp dụng cơng th c : AB b a với a; b là t ộ c a A; B

Thí dụ : Trên trục t ộ (O ; i ) m A ; B ; C cĩ t ộ lầ ợt là –2 ; 1 và 4

1.Tính t ộ ve tơ AB; BC;CA 2.Ch tru m c a AC

GIẢI:

BA BC BA BC

     

       

tru m c a AC

Tổng quát :

Cho A ; B trên trục ( O ; i ) cĩ t ộ v b M tru m c a ABa+b = 2m (m là t ộ c a M)

Bài 2:

Chứng minh một hệ thức liên quan đến các độ dài đại số của các vec tơ trên trục (O ; i )

P

Tính độ dài đại số của các vec tơ , chứng minh hệ thức đại số

Chú ý.Chọn một trong các điểm là điểm gốc tọa độ để độ dài đại số của các vec tơ đơn giản hơn

Thí dụ :

u hòa : Trên trục t ộ (O ; i ) m A ; B ; C ; D có t ộ lầ ợt là a ; b ;c ; d

(ABCD) là một u hòa 

CB

CA DB

DA

2

3

AB

a b c d ab cd I A IB IC ID

AC AD

 

GIẢI:

a d b c b d c a ab ac bd cd bc ab cd ad

2 Ch tru m I c a AB là gốc t ộ ta có:

2

2

a -b -a

b cd

 

  

         

3 Ch n A là gốc t ộ ta có:

       

BÀI TẬP:

1.Trên trục t ộ (O; i ) 2 m A và B có t ộ lầ ợt a và b

a)Tìm t ộ m M sao cho MAk MB (k1) ĐS xM =

1





k

a kb

b)Tìm t ộ tru m I c ĐS

2

b a

x I  

c)Tìm t ộ m N sao cho 2NA5NB ĐS

7

2

x N  

2.Trên trục (O ; i ) m A ; B ; C có t ộ lầ ợt ; b ; T m I sao cho :

0





IB IC

3

c b a

x I   

3.Trên trục t ộ m A ; B ;C ;D bất kỳ

a.Ch ng minh AB.CDAC.DBAD.BC0

b.G i I,J ,K ,L lầ ợt tru m c a AC ; BD;AB và CD Ch v K ó u tru m

B.HỆ TRỤC TỌ I.Lý thuyết :

1.Tọ ộ m – Tọ ộ

 

)

; ( :

;

; :

;

y x M j

y i x OM R y x mpOxy

M

a a a j

a i a a R a a mpOxy

a

































2.C é

Tr p Ox ve tơ a (a1;a2) ;b (b1;b2)

a b

a b









a p ơ b  a pb

3.Tọ ộ một số ặt bi t :

Trong mpOxy cho 2 m A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3)

T ộ vecto ABx2 x1;y2 y1 T ộ M tru m c a AB 









2 2

2 1 2

x









3 3

3 2 1 3 2

x

II.BÀI TẬP:

Bài 1 Chứng minh 2 vecto u (a1;a2) ;v (b1;b2) cùng phương

P ơ Pháp:

Giả sử 2 ve t p ơ =>















p b a

p b a v

p u

2 2

1 1

Nếu h trên có nghi t 2 ve t ó p ơ ; Nếu h trên vô nghi t 2 ve t ó

p ơ

Chú ý :Nếu b1; b20 thì ;u v p ơ 1 2

a b

a b

 

Thí d :

Cho 2 vecto u (1;3) ;v (2;6) X t tí p ơ a 2 vecto trên

Giải :

Giả sử ;u v p ơ

1

2

p p

p

p

  



 

      

 



H có nghi m ; vậy u ; v p ơ

Thí d 2:

Tr pOx m A(–1; –2) B(3 ; 2) và C(4 ; –1) , Ch ng minh ABC là một tam giác

GIẢI

AC AB AC

AB( ; ) ( ; )   ;

1

4 5

4 1 5 4

4 p ơ => ; ; t ẳng hàng

Vậ m A ; B ; C tạo thành tam giác

Thí dụ 3:

2 ; 4

Đị 2 ve t ó p ơ

GIẢI :

Xét m = 0 =>u ( ; ) ;v ( ; )  u;v











4

2 2

0 2

0 4

Xét m0; ;u v p ơ

2

2 1

2

m

m

m

m

 

 



  



BÀI TẬP:

Tr pOx m A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ b tr m trên bộ nào thẳng

ĐS ; ;

2.Tr pOx m A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5)

a.Ch ng minh ABC là một tam giác

b.Tìm t ộ tr ng tâm c a tam gia1cABC

c)G i I(0 ; 2) Ch ng minh A ; G; M thẳng hàng

d) G i D(-5;4) Ch ng minh ABCD là hình bình hành

Bài 2:Tìm tọ ộ của vecto:

PP.Áp dụng các phép toán c a vecto:

Thí dụ :

Cho 3 vecto: a 3;2 b 1;5 c 2;5

Tìm t ộ c a vecto u 2a  b 4c va v   a 2b 5c

GIẢI

)

; ( )

; ( )

; ( )

;

(

)

; ( )

; ( )

; ( )

;

(

17 15 25

10 5

10 2 2

2

3

29 13 20

8 4 5 1 4

6

2











































v c

b a

u c

b

a

Bài tập

2

1 1 0









 



)

; (

5 4

u

2.Cho tam giác ABC , G là tr ng tâm c a tam giác Tính t ộ vecto u 3GA2GC4GB ĐS ( ; -14)

Bài 3: P â tí v tơ c ( ;c c1 2) theo 2 vecto a(a ;a ) va b1 2 (b ;b ) 1 2 p ơ

P ơ p p

xa yb c



     



Giải h trên tìm x ; y

Thí dụ :

Cho a 3;2 b 1;5 c 2;5

1.Ch ng minh a b; p ơ

2 P â tí v tơ c t e 2 ve tơ a và b

Giải:

1 3 2 ;

-1 5 a b p ơ

2 Giả sử

15

c

17

x

x y

x y

y

  



  

  



BI TẬP

1.Cho a 1; 2 b   3;1 c    4; 2 

P â tí ve tơ a theo 2 vecto b ; c Đ p số: 3 7

5 10

a  b c

2.Cho a 5;2 b 4;1 c    2; 7

a.Chứng minh a;b ông c ng p ơng B.Phân tích vecto

theo 2 vecto ; : 2 3

Bài 4:

Tìm tọ độ đỉnh thứ t của hình bình hành ABCD khi biết A (x1;y1); B (x2y2 ) ;C(x3;y3)

ơng p áp :

Cách 1

Gọi D (x;y) Tính DA BC ;

  



      



-Giải h trên tìm D(x ; y)

Cách 2:

-Tìm t ng đ ểm I của AC

-Tìm D biết t ng đ ểm của BD

Thí dụ :

Cho tam giác ABC v i A(1; –2) B(3 ;–1) C(–3 ; 5) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành GIẢI :

Gọ t ng đ ểm của AC =>I(–1 ;

2 3 )

C ìn ìn n > t ng đ ểm của BD => D( ; )

y

x

4 5 3

1

2 3





















Bài tập:

C o đ ểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3)

a.Chứng minh A,B,C không th ng hàng Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành ĐS: – 2;–1)

2.Cho tam giác ABC v i A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1)

Tìm t ng đ ểm I của AC b.Tìm D sao cho ABC ìn ìn n ĐS: ; D(0; 5)

2

3 2

3













 

T ong mpOx c o đ ểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) l n t t ng đ ểm của 3 cạnh BC ; CA

và AB của tam giác ABC

Tìm ; ;C ĐS: 8; -4;-5) C(-4;7)

b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

4.Cho tam giác ABC v i A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4)

a.Tìm tọ độ trọng tâm G củ t m g ác C ĐS:

b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành

5 C o đ ểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5)

a.Chứng minh AB //CD Tìm g o đ ểm I củ v C ĐS -12;-13)

5: Tìm g o đ ểm củ đoạn th ng AB và CD v i A(x1;y1) ; B(x1;y2) ; C(x3;y3) ;

D(x4;y4)

Cách giải:

Gọ x; g o đ ểm củ đ ờng th ng AB và CD

; cung phuong

; cung phuong

AI AB

CI CD





g o đ ểm củ đoạn AB và CD  ;

;

IA IB nguoc huong

IC ID nguoc huong







Thí dụ 1:

T ong mpOx c o đ ểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3)

Tìm g o đ ểm củ đoạn th ng AC và BD

GIẢI:

; cung phuong (2)

AI AC cung phuong

I AC BD

BI BD



   



1

x y



x I  IA   IC   IA

            

1 2 1

IB  ID       IB

Vậy I 2;3

3

 

 

 là giao củ đoạn AC và BD

Bài tập :

1 T ong mpOx c o đ ểm ; ; C ;7 v ; Tìm g o đ ểm củ đoạn th ng

v C ĐS: Đoạn AD khơng cắt BC)

2 Trong mpOx c o đ ểm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) và D(-1;-1)

Tìm g o đ ểm củ đoạn th ng C v Tìm g o đ ểm của BD và AC

Bài 6: Tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng tọa độ:

Để tìm tọ độ đ ểm M(x ; y) trong mp Oxy , ta dựng đ ờng vuơng gĩc MA1 vơ Ox và MA2 v i Oy

Ta cĩ x = OA1 ;yOA2

Thí dụ : Cho hình bình hành ABCD cĩ AD = 4 và chiều cao ứng v i cạnh AD = 3, BAD=600 Chọn h trục tọ độ n ìn vẽ Tìm tọ độ các vecto AB;BC;CD; vàAC

Bài tập:

C o t m g ác đều ABC cĩ cạnh là a Chọn h trục tọ độ Ox n : O t ng đ ểm BC , trục

o n c ng ng v i tia OC , trục t ng c ng ng v i tia OA

a.Tìm tọ độ các đỉnh của tam giác ABC

b.Tìm tọ độ t ng đ ểm I của AC

c.Tìm tọ độ tâm đ ờng trịn nội tiếp tam giác ABC

: C o t m g ác C Các đ ểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) l n t t ng đ ểm các cạnh BC,

CA, AB Tìm tọ độ các đỉnh của tam giác

: C o ; ; ; ; C m+ ; m+ Tìm m để đ ểm A, B, C th ng hàng

H

y

D

: C o t m g ác đều ABC cạnh a Chọn h trục tọ độ (O; i; j t ong đó O t ng

đ ểm BC, i c ng ng v i OC, j c ng ng OA

a) Tính tọ độ củ các đỉnh của tam giác ABC

b) Tìm tọ độ t ng đ ểm E của AC

c) Tìm tọ độ tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 4 : Cho lục g ác đều ABCDEF Chọn h trục tọ độ (O; i; j t ong đó O tâm lục g ác đều ,

i c ng ng v i OD, j c ng ng EC

Tính tọ độ các đỉnh lục g ác đều , biết cạnh của lục giác là 6

Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọ độ đ ểm D nếu biết:

a) AD – 2BD + 3 CD = 0

b) AD– 2AB = 2BD + BC

c) ABCD hình bình hành

d) C ìn t ng có đá C v i BC = 2AD

Bài 6 :C o đ ểm I(1; -3), J(- ; c đọ n t n đọan bằng nhau AI = IJ = JB

a) Tìm tọ độ của A, B

b) Tìm tọ độ củ đ ểm ’ đối xứng v i I qua B

c) Tìm tọ độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)

Bài 7: Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2)

a) Tìm tọ độ củ vectơ u = 2 a - 3 b + c

b) Tìm tọ độ củ vectơ x th a x + a = b - c

Tìm các số m ; n th a c = m a + n b

i 8 : Trong mặt phẳng t ộ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3)

a/ Ch ng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng

b/ G i P, Q, R lầ ợt tru ạn thẳng OM, AC và BD Ch ng minh rằ m P, Q, R thẳng hàng

i 9 Trong mặt phẳng t ộ Ox m A(1 ; 3), B(-2 ; 2) Đ ng thẳ qu ắt Ox tại M

và cắt Oy tại N Tính di n tích tam giác OMN

i 10 Trong mặt phẳng t ộ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm t ộ m A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là

tr ng tâm tam giác OAB

i 11 Trong mặt phẳng t ộ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2)

a/ Ch ỉnh c a một tam giác

b/ Tính chu vi c a tam giác ABC

/ X ịnh t ộ tr ng tâm G và trực tâm H

i 12 Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3)

/ X ịnh t ộ m D sao cho ABCD là hình bình hành

b/ X ịnh t ộ E ối x ng với A qua B

c/ Tìm t ộ tr ng tâm G c a tam giác ABC