các dạng bài tập phần cơ học có lời giải chi tiết

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT CHƯƠNG I• Dạng 1: Xác định vận tốc góc trung bình hoặc góc mà vật quay được; gia tốc góc trung bình hoặc độ biến thiên tốc độ góc trong một khoảng thời

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT CHƯƠNG I

• Dạng 1: Xác định vận tốc góc trung bình (hoặc góc mà vật quay được); gia tốc

góc trung bình (hoặc độ biến thiên tốc độ góc) trong một khoảng thời gian.

Phương pháp giải

 Học sinh vận dụng các công thức: ω = ∆∆ϕt và γ = ∆∆ωt để thực hiện yêu

cầu của đề bài.

 Khi giải các bài toán dạng này cần lưu ý học sinh phân biệt được 2 khái

niệm: góc mà vật quay được với toạ độ góc; nắm được ý nghĩa của vận

tốc góc trung bình, gia tốc góc trung bình.

Ví dụ 1: Tìm vận tốc góc trung bình của trái đất quay xung quanh trục của nó với

chu kì 24 giờ

Giải

Theo đề ra ta có : ∆t = 24 giờ , ∆ϕ = 2π (rad)

Vận tốc góc trung bình của trái đất quanh trục của nó là:

ω = ∆∆ϕt = ( / ) 7 , 3 10 ( / )

86400

s rad s

π

Lưu ý: dạng bài tập biết vận tốc góc trung bình và khoảng thời gian vật quay, tính góc quay (hoặc ngược lại) thì hoàn toàn tương tự

Ví dụ 2: Khi nghiên cứu về máy bay trực thăng, người ta xác định được rằng vận

tốc của rôto thay đổi từ 320 vòng/phút đến 225 vòng/phút trong 1,5 phút khi rôto quay chậm dần để dừng lại

a) Gia tốc góc trung bình của rôto trong khoảng thời gian này là bao nhiêu?

b) Với gia tốc góc trung bình này thì sau bao lâu cánh quạt sẽ dừng lại, kể từ lúc chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vòng/phút

c) Kể từ lúc chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vòng/phút, cánh quạt còn quay được bao nhiêu vòng mới dừng?

) 320 225

Dấu (-) cho biết cánh quạt đang quay chậm lại

b) Thời gian để cánh quạt dừng lại kể từ khi vận tốc góc có giá trị 320 vòng/phút được tính:

60

2 11 , 0

) 320 0 (

ω

(phút)

c) Áp dụng công thức: ω2 - ω02 = 2 γTB∆ϕ

Số vòng quay được: n = ∆2πϕ

Ta có: n =

2 2

2 0 2

60

2 ) 11 , 0 (

2

320 0 2

1 2

2

 Trong quá trình vận dụng các công thức cần lưu ý :

+ Điều kiện áp dụng các công thức trên là : chuyển động quay biến đổi

đều (γ = hằng số), hoặc chuyển động quay đều (γ = 0)

+ Dấu của ω và γ được quy ước như sau:

Vật quay theo chiều dương: ω > 0 Vật quay theo chiều âm: ω < 0 Vật quay nhanh dần: ωγ > 0 Vật quay chậm dần: ωγ > 0

Ví dụ 1 Một đĩa mài bắt đầu quay với vị trí góc ϕ0 = 0 và gia tốc góc không đổi γ = 0,35 rad/s2 Tính tốc độ góc của đĩa tại thời điểm t = 18s và số vòng mà đĩa quay được trong thời gian đó

Giải

Tốc độ góc của đĩa tại thời điểm t = 18s là:

ω = γt = 0,35.18 = 6,3 (rad/s)Góc đĩa quay được trong khoảng thời gian t = 18s đó là:

ϕ = 12 γt2 = 21 0,35.182 ≈ 56,7 (rad)

Số vòng quay được :

n =2ϕπ = 2 π

7 ,

56 ≈ 9 vòng

Ví dụ 2: Một cái đĩa bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi Sau

5,0s nó quay được 25 rad

a) Gia tốc góc của đĩa là bao nhiêu?

b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?

c) Vận tốc góc tức thời của đĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?

t =

∆ ϕ = 5 (rad/s)

c) Vận tốc góc tức thời tại cuối thời gian 5s là:

ω = ω0 + γt = 2.0,5 = 1(rad/s)

Ví dụ 3: Một bánh xe quay nhanh dần đều quanh trục của nó Lúc bắt đầu tăng tốc,

bánh xe đang có tốc độ góc là 5 rad/s Sau 10s tốc độ góc của nó tăng lên đến 10 rad/s Hãy tìm:

a) Gia tốc góc của bánh xe

b) Góc mà bánh xe quay được trong khoảng thời gian đó

c) Số vòng mà bánh xe quay được trong thời gian đó

ϕ2

752

Ví dụ 4: Một đĩa mài đang quay với tốc độ góc ω0 = - 4,6 rad/s và gia tốc góc không đổi γ = 0,35 rad/s2 Xác định các thời điểm để:

a) Tốc độ của đĩa mài bằng 0

b) Đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương

t1 = ω−γω0

35 , 0

) 6 , 4 (

b) Sau khi tốc độ của đĩa bằng 0, đĩa sẽ quay nhanh dần đều với gia tốc góc γ = 0,35 rad/s2 Thời gian để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương được tính:

∆t = 2∆γϕ = 20.5,35.2π ≈13,4 (s)

Thời điểm để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương là: t = t1+∆t ≈26,4(s)

Ví dụ 5: Tại thời điểm ban đầu một bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là -

7 , 4

Đường mốc đạt được một góc cực đại ϕmax :

 Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:

- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các

điểm trên vật rắn:

+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay.

+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay

trên vật có cùng góc quay, vận tốc góc và gia tốc góc

- Đối với vật rắn quay đều thì: a t = 0 nên a = a n

Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc độ góc không đổi ω = 20 rad/s

quanh trục đi qua O Xác định tốc độ dài của một điểm M (thuộc OA) ở trên cánh quạt cách A một khoảng 10 cm?

Ví dụ 2: Một bánh xe bán kính 50cm quay đều với chu kì là 0,1 giây Hãy tính:

a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe

b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh; của điểm chính giữa một bán kính

Giải

a) Vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe là:

) / ( 8 , 62 1 , 0

b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh xe:

) / ( 92 , 1971 5

, 0 8 ,

2

2 1

2

n = ω = =

Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung

quanh trục của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s2 Hỏi, sau giây thứ nhất:

a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?

b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh?

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh)?

Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe:

a

→ α= 17046’

 Bài tập áp dụng dạng tự luận

1 Tìm vận tốc góc trung bình của:

a) Kim giờ và kim phút đồng hồ

b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất một vòng mất 27 ngày đêm)

c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái Đất quay trên quỹ đạo tròn với chu kì bằng 88 phút

Đáp số: a) 14,5.10-5rad/s, 1,74.10-3rad/s; b) 2,7.10-6rad/s; c) 1,19.10-3rad/s

2 Khi tắt điện thì một cánh quạt điện đang quay với tốc độ góc 20 vòng/phút dừng lại

sau 2 phút Tính gia tốc góc trung bình

Đáp số: 0,05π rad/s.

3 Một bánh xe quay đều với tốc độ 300 vòng/phút Trong 10s bánh xe quay được góc là

bao nhiêu?

Đáp số: 314 rad

4 Một cái đĩa quay quanh một trục cố định, từ nghỉ và quay nhanh dần đều Tại một thời

điểm nó đang quay với tốc độ 10 vg/s Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc độ góc của nó là 15 vg/s Hãy tính:

a) Gia tốc góc của đĩa

b) Thời gian cần thiết để quay hết 60 vòng nói trên

c) Thời gian cần thiết để đạt tốc độ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho đến khi đĩa đạt tốc độ góc 10vg/s

Đáp số: a) 6,54 rad/s2; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng

5 Một bánh đà đang quay với tốc độ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần đều được 40

vòng cho đến khi dừng

a) Thời gian cần để dừng là bao nhiêu?

b) Gia tốc góc là bao nhiêu?

c) Nó cần thời gian là bao nhiêu để quay được 20 vòng đầu trong số 40 vòng ấy.

Đáp số: a) t = 335s ; b) γ = - 4,48.10-3rad/s2; c) t’ = 98,1s

6 Một cái đĩa ban đầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần đều với gia tốc bằng 4,0

rad/s2

a) Hỏi sau bao lâu thì đĩa dừng lại?

b) Đĩa quay được một góc bao nhiêu trước khi dừng?

 Bài tập trắc nghiệm khách quan ( phụ lục - chủ đề 1)

2.7.2 Bài tập xác định mô men quán tính của một số vật đồng chất có hình dạng

hình học đặc biệt.

Phương pháp giải

 Sử dụng công thức tính mô men quán tính của một số vật đã biết (cho trong sách giáo khoa), tính chất cộng của mô men quán tính và định lí trục song song để tìm mô men quán tính của một số vật đặc biệt theo yêu cầu

+ Nếu vật được chia thành các phần mà mô men quán tính của các phần đó đối với trục quay đã biết thì ta vân dụng công thức:

I = I 1 + I 2 + ….+ I n + Nếu mô men quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối tâm đã biết thì

mô men quán tính của vật đối với trục quay (∆) song song với trục quay đi qua

khối tâm được tính: I (∆) = I G + md 2

 Mô men quán tính của một số vật đồng chất:

+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I = mR 2

+ Đĩa tròn, hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I = 12 mR 2

+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:

I = 121 ml 2 + Quả cầu đặc có trục quay đi qua tâm: I = 52 mR 2

Ví dụ 1: Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = 3 kg Gắn vào hai đầu

A và B của thanh hai chất điểm khối lượng m2 = 3kg và m3 = 4kg Tìm momen quán tính của hệ trong các trường hợp:

a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung điểm của AB

b) Trục quay tại đầu A của thanh và vuông góc với thanh

c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh

tính:

Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (A): I1

= 31m1l2

Mô men quán tính của m2 đối với trục quay (A): I2 = 0

Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (A): I3 = m3R32 = m3l2

Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (A):

2

l m l

Mô men quán tính của m3 đối với trục quay (O’):

I3 = m3R32 = m3 16

9 4

3

2

l m l

Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác

đều ABC Tính mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông góc với khung

Giải

Ta thấy:

mAB =mBC = mCA = m = M/3

l AB = l BC = l CA = l = L/3.

A và vuông góc với khung:

1 Tính mô men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa tròn đặc bán kính r có trục

quay vuông góc với đĩa và đi qua mép đĩa

Đáp số: 1 mR, 5 2

2 Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.

a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?b) Đặt vật nhỏ khối lượng m1 = 2 kg vào mép đĩa và vật m2 = 3 kg vào tâm đĩa Tìm momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?

Đáp số: a) 2,25 kg.m2; b) 6,25 kg.m2

3 Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m Một

người có khối lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2 trường hợp:

A

B

C G

Hình 5

a) Người đứng ở mép sàn

b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m

Đáp số: a)250kgm2; b) 100kgm2

 Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 2)

2.7.3 Bài tập áp dụng phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một

trục cố định.

• Dạng 1: Xác định gia tốc góc và các đại lượng động học khi biết các lực (hoặc

mô men lực) tác dụng lên vật, mô men quán tính và ngược lại

 Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên

quan), từ đó xác định được các đại lượng động học, học động lực học

Ví dụ 1: Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg Đĩa có

trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa Đĩa đang đứng yên thì chịu tác dụng của lực không đổi F = 2N tiếp tuyến với vành đĩa Bỏ qua ma sát Tìm tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động?

4 , 0

Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có

đường kính 60cm Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng đầu tiên Momen quán tính của bánh xe là bao nhiêu?

Giải

Gia tốc góc của bánh xe được tính:

ϕ - ϕ0 = 21 γt 2

4 ) / ( 4 4

2 2 ) (

21,0

kgm

Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M1 không đổi là 20Nm Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s Sau đó mô men lực M1 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s Cho biết mô men của lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng 0,25M1

a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục

Giải

a) Gia tốc góc của bánh xe:

- Giai đoạn quay nhanh dần đều:

2 1

0 1

1 2

M

= 10kgm2

Ví dụ 4: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm Mô men lực

cần thiết phải tác dụng lên đĩa để tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? Nếu biết rằng sau đó ngừng tác dụng của mô men lực thì đĩa quay chậm dần đều cho đến khi dừng lại mất 45s

Giải

Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là:

s rad t

π ω

) / (

s rad

2

s rad t

π ω

) / ( 9

s rad

π

−

Áp dụng phương trình động lực học trong chuyển động của đĩa ta có:

+ Khi quay chậm dần đều đĩa chịu tác dụng của lực ma sát sinh ra mô men cản: Mms

Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động

quay và một số vật chuyển động tịnh tiến Khi giải các bài tập loại này ta thực

hiện theo các bước sau:

 Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật

 Viết các phương trình động lực học cho các vật:

+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ

+ Đối với các vật chuyển động thẳng: ∑F=m a

 Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng

 Áp dụng các phương trình được suy ra từ điều kiện của bài toán:

+ Dây không dãn: a 1 = a 2 =….= rγ

+ Dây không có khối lượng thì: T 1 = T 2 (ứng với đoạn dây giữa hai vật sát

nhau).

Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán

Ví dụ 1: Trên hình vẽ 6: ròng rọc là một cái đĩa đồng tính có khối lượng M =2,5kg và có bán kính R = 20cm, lắp trên một cái trục nằm ngang cố định Một vật nặng khối lượng m = m 1,2kg

R

Hình 6

treo vào một sợi dây không trọng lượng quấn quanh mép đĩa Hãy tính gia tốc của vật nặng khi rơi, gia tốc góc của đĩa và sức căng của dây Giả thiết dây không trượt

2 , 1 2 8 , 9 2

m M

m g

+

= +

=

Gia tốc góc của đĩa :

24 / 2

2 , 0

8 ,

=

Ví dụ 2: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng

một dây nhẹ, không dãn, vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I

= 0,050kgm2 (hình vẽ) Biết dây không trượt trên ròng rọc Lúc đầu, các vật được giữ đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra Người ta thấy sau 2s, ròng rọc quay quanh trục của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi Cho g = 10m/s2 Coi

ma sát ở trục ròng rọc là không đáng kể

a) Tính gia tốc góc của ròng rọc

b) Tính gia tốc của hai vật

c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc

P

Fms

Hình 9

Lấy g = 10m/s2 Cho α = 300 Hãy tính:

a) Gia tốc của m1, m2 và gia tốc góc của ròng rọc

b)Lực căng của sợi dây nối với m1 và m2

Giải

a) Các lực tác dụng lên m1 gồm: P1,T1,N

Các lực tác dụng lên m2 gồm: P2,T2

đối với trục quay: /

1 , 0

) 1 5 , 0 4 ( 10 2 ) 2

2 (

) sin

(

2 1

2

m m m R

m m

g

+ +

−

= + +

T 

/ 2

T 

Hình 11

• Dạng 3: Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một

trục cố định khi mô men lực tác dụng lên vật thay đổi

Phương pháp giải

Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một

vị trí đặc biệt nào đó Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay

đổi Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:

 Xác định mô men lực tác dụng lên vật

 Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay

 Dùng toán học tìm kết quả

Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l

có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng với trục quay (O) nằm ngang Ban đầu thanh được giữ nằm ngang rồi thả cho rơi Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm bắt đầu thả

g l a

2

3 2

lượng, độ dài l1+l2 với l1=20cm và l2=80cm

vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động Lấy g = 10m/s2

Hình 12

•

A O

P 

Hình 13

•

Áp dụng định luật II Niu tơn cho m1 và m2 ta được:

m2g - T2= m2a2 (1)

T1 - m1g = m2a1 (2)Đối với thanh: T2l2-T1l1 = 0 (3)

Mặt khác:

2

1 2

1

l

l a

l l l

2 2

2 1

2 1 2

17

30

s m

+

−

g l l

l l l

2 2

2 1

2 1

T1= m1(g+a1) = N

17 20

T2= m2(g-a2) = N

17 5

 Bài tập áp dụng dạng tự luận

1 Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát Một sợi

dây không khối lượng quấn quanh bánh xe và buộc vào một vật, khối lượng 2,0kg Vật này trượt

không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 200 so với mặt phẳng ngang với gia tốc 2,0m/s2 Lấy g = 10m/s2 Hãy tính:

a) Lực căng của dây

b) Mô men quán tính của bánh xe

c) Tốc độ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ được 2,0s

Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm2; c) 10rad/s2

2 Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh

một trục thẳng góc với thanh và đi qua điểm giữa của nó Tìm gia tốc góc của thanh nếu mô men lực tác dụng lên thanh là M = 0,1Nm

Đáp số: γ = 2,25rad/s2

3 Một trụ đặc đồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang

trùng với trục của trụ Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không đáng kể Dầu tự do của đây có treo một vật nặng khối lượng M= 20kg Để vật nặng tự

do chuyển động Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây