CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐÁP ÁN MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NĂM HỌC: 2013-2014 HỌC KỲ: Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp Đánh giá sai số lần lặp thứ  x + y + z − 20t = 20 10 x − y − z + 3t = 20    x + y + 10 z + 2t = 30  x − 10 y − z + 3t = 20 Giải Hệ cho tương tương với  x = 0, y + 0,1z − 0,3t +  y = 0,1x − 0, z + 0,3t −    z = −0,1x − 0,1 y − 0, 2t + t = 0,1x + 0, 25 y + 0,1z − ( I) Ta đặt Hệ ( I ) 0, 0,1   0,1 −0, A=  −0,1 −0,1   0,1 0, 25 0,1 viết lại dạng ma trận X Xét dãy X n = ( xn yn zn −0,3   2  x ÷  ÷  ÷ 0,3 ÷ −2 y ; B =  ÷; X =  ÷  3÷ z÷ −0, ÷ ÷  ÷  ÷   −1  t = AX + B với A = 0,6 < (1,0đ) tn ) , n ≥ , x0 = y0 = z0 = t0 = , xây dựng hệ thức: T  xn +1 = 0, yn + 0,1zn − 0,3tn +   yn +1 = 0,1xn+1 − 0, zn + 0,3tn −   zn +1 = −0,1xn +1 − 0,1yn +1 − 0, 2tn + tn +1 = 0,1xn +1 + 0, 25 yn +1 + 0,1zn +1 − Từ ( II ) ta tính    2, 2236   ÷  ÷ −1,8 ÷ −2,65924 ÷   X1 = ;X =  2,98 ÷  3, 233964 ÷ (0,5đ)  ÷  ÷  −0,952   −1,119054  Ước lượng sai số X − X* ≤ U 1− A  0, 0,1 −0,3   ÷ 0 −0, 0,3 ÷  với U =  0 −0, ÷  ÷ 0  0 X − X = 1, 28886 (0,5đ) ( II ) (0,5đ) Chú ý Có thể đánh giá sai số nhiều cách khác nhau, cho trọn điểm Câu Cho bảng số liệu x y 5,4 7,2 13,8 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng y = a ( e x − 1) + b ln ( − x ) + Giải Ta lập hàm hai biến ( ) F ( a, b ) = ∑  a e xi − + b ln ( − xi ) + − yi  i =1 (0,5đ) Hàm F ( a, b ) đạt cực tiểu  Fa′ =   Fb′ = 3  xi xi a e − + b e − ln − x = ( ) ( yi − 1) e xi − ∑ ∑ i  ∑  i =1 i =1 i =1 ⇔ 3 xi a e − ln − x + b ln − x = ( ) ( ) ( yi − 1) ln ( − xi ) ∑ ∑ i i  ∑ i =1 i =1 i =1  43,77253a + 1,192022b = 92, 433265 ⇔ ( 1,0đ ) 1,192022a + 1,687402b = 9,131407 ( ) ( ) (  a = 2,002835 ⇔ b = 3, 996667 ) ( ) ( 0, 5đ ) ( 0, 5đ ) Câu Cho phương trình ( x + 1) ( − 9,5 x ) = − 9,9 x Dùng phương pháp Newton tìm nghiệm gần sau lần lặp đoạn [ 0,1;0, 2] Đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lần lặp thứ Giải 4 Đặt f ( x ) = 9,5 x ( x + 1) − ( x + 1) − 9,9 x + 1, x ∈ [ 0,1;0, ] , ta có f ′ ( x ) = 9,5 ( x + 1) + 38 x ( x + 1) − ( x + 1) − 9,9 > > 0, ∀x ∈ [ 0,1;0, ] 3 f ′′ ( x ) = 76 ( x + 1) + 114 x ( x + 1) − 12 ( x + 1) > 0, ∀x ∈ [ 0,1;0, ] 2 Ta xây dựng dãy ( xn ) n = 0, ∞ sau: + Vì f ( 0,1) × f ′′ ( 0,1) < nên ta chọn x0 = 0, (1,0đ) + Với n ≥ f ( xn ) 9,5 xn ( xn + 1) − ( xn + 1) − 9,9 xn + xn +1 = xn − = xn − 3 f ′ ( xn ) 9,5 ( xn + 1) + 38 xn ( xn + 1) − ( xn + 1) − 9,9 Từ ta tính x1 = 0,144679 x2 = 0,120365 x3 = 0,114504 x4 = 0,114150 Ước lượng sai số (1,0đ) x4 − x* ≤ M x4 − x3 2m với M = max f ′′ ( x ) = max 76 ( x + 1) + 114 x ( x + 1) − 12 ( x + 1) = 146,88 x∈[ 0,1;0,2] f ′ ( x ) = 9,5 ( x + 1) + 38 x ( x + 1) − ( x + 1) − 9,9 = 3,74275 m = x∈[ 0,1;0,2 ] x∈[ 0,1;0,2 ] 3 x∈[ 0,1;0,2 ] Khi đó, M x4 − x3 = 2, 46 × 10−6 (0,5đ) 2m Câu Cho hàm số y = y ( x ) thỏa mãn hệ x4 − x* ≤  y′ = y ( x + 1) + x   y ( 0,5 ) = ∀x ∈ [ 0,5;1] Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y ( 0,7 ) với h = 0,1 Giải Dựa vào giả thiết ta h = 0,1; f ( x, y ) = y ( x + 1) + x ; x0 = 0,5, x1 = 0,6, x2 = 0,7 + Tính y1 = y ( 0,6 )  k1( 1)   ( 1)  k2    k ( 1)    k ( 1)  = hf ( x0 , y0 ) = 0,200000  k ( 1)  h = hf  x0 + , y0 + ÷ = 0,231000 2 ÷    k2( 1)  h = hf  x0 + , y0 + ÷ = 0.233403 2 ÷   ( = hf x0 + h, y0 + k3( 1) ) = 0.269344 Khi đó, y1 = y ( 0,6 ) = y0 + + Tính y2 = y ( 0,7 )  k1( 2)   ( 2)  k2   k ( 2)   k ( 2)  ( ) ( 1) k1 + 2k2( 1) + 2k3( 1) + k4( 1) = 1.233025 (1,0đ) = hf ( x1 , y1 ) = 0,269284  k ( 2) h = hf  x1 + , y1 + 2   k ( 2) h = hf  x1 + , y1 + 2   ÷ ÷ = 0,310165   ÷ ÷ = 0,313538  = hf x1 + h, y1 + k3( 2) = 0.360916 ( ) Khi đó, y2 = y ( 0,7 ) = y1 + ( ) ( 2) k1 + 2k 2( ) + 2k3( ) + k4( ) = 1,545959 (1,5đ)