Tiểu luận PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Chương Sai Số Bài 1: Hãy xác định giá trị hàm số với sai số tuyệt đối sai số tương đối tương ứng với giá trị đối số cho 1) u = tg ( x y + yz ) , x = 0,983, y = 1,032, z = 2,114 2) u = zesin( xy ) , x = 0,133, y = 4,732, z = 3, 015 3) u = x cos( yz ) , x = 1,132; y = 2,18; z = 0,145 4) u = z ln( xy ) , x = 0,123; y = 1,734; z = 2,015 5) u = x sin( yz ) , x = 1,113; y = 0,102; z = 2,131 6) u = ze , x = 0,162; y = 4,531; z = 1,91 2 7) u = ln( xy ) x +2 y2 8) u = (1 + zx ) , x = 0,085; y = 0, 055; z = 2,152 , x = 0,192; y = 1,034; z = 5,174 y 9) u = (1 + xyz ) x 10) u = (2 yz − x ) , x = 2, 918; y = 1, 032; z = 2,114 sin( xy ) , x = 0,151; y = 1, 236; z = 2,015 Bài 2: Tính thể tích V hình cầu sai số tuyệt đối, biết đường kính đo d = 1,112m sai số phép đo mm Bài 3: Hãy xác định sai số tương đối giới hạn sai số tuyệt đối giới hạn chữ số đáng tin cạnh hình vng a Biết diện tích hình vng S = 16, 45cm , ∆ S = 0, 01 Chương Giải phương trình Đại Số phương trình Siêu Việt Bài 1: Dùng phương pháp chia đơi giải phương trình sau, tính số lần lặp với ε = 10−3 ; x0 ∈ [1, ] x − cos x = ; x0 ∈ [ 0,1] 1) x sin x = 2) 3) x = tgx ; x0 ∈ [ 4, 4.5] ; x0 ∈ [ 0,1] 5) x − x − = ; x0 ∈ [ 3, ] 4) tg ( x + 1) = x 6) x = 4sin x 2 ; x0 ∈ [1, 3] 7) x − 1.3 − cos 3x = ; x0 ∈ [ 0,1] 8) x − 4sin x − = ; 9) ln x − 3x sin x + = ; 10) ln x − x sin x + = x0 ∈ [ 2;3] x0 ∈ [ 0.25;1] ; 11) x ln( x − 1) − x sin 3x+1 = ; 12) x ln( x + 1) − x cos e x − = 0; x0 ∈ [ 0.1;0.7] x0 ∈ [1,1;2] x0 ∈ [1;2] -Trang 1- 13) x − 7x + 14x − = (0;1), (1; 3.2) (3.2, 4) , ε = 10−2 14) x − 2x − 4x + 4x + = ( −2; −1) , (0;2), (2,3) ( −1;0) , ε = 10−2 15) + cos(e x − 2) − e x = (0,5;1,5), ε = 10−3 16) x − − x = (0;1), ε = 10−3 17) e x − x + 3x − = (0;1), ε = 10−3 18) 2x cos(2x) − (x + 1)2 = ( −3; −2) ) ( −1;0) , ε = 10−3 19) x cos x − 2x + 3x − = (0,2;0,3) (1,2;1,3), ε = 10−3 20) x + x − = (1;4), ε = 10−2 21) x − sin x = (1;2), ε = 10−3 22) tg(x + 1) = x (0;1), ε = 10−3 Bài 2: Dùng phương pháp lặp giải phương trình sau với xn+1 − xn < 10−5 , đánh giá sai số: 1) x − x − = ; x0 ∈ [1;2] 2) x − x − = ; x0 ∈ [1;2] 3) x − x − = ; 4 4) x − tgx = x =x =0 5) π +0,5sin 6) x − − x x0 ∈ [ 2;3] ; x0 ∈ [ 0.2;1] ; x0 ∈ [ 0;2π ] ; x ∈ [0.3;1] 7) 3x − e x = ; x ∈ [0;1] 8) x − cos x = ; x ∈ [0;1] 9) x+ ln x − = ; x ∈ [3;5] x − x +1 = 10) 11) esin x − x + = x − e2 x −1 − x + 10 = 13) x − 3cos x − = 12) tg 14) 15) x − cos x − = ( x − 1) x0 ∈ [1;2 ] ; − 3ln x − = ; x0 ∈ [1;2 ] ; x0 ∈ [ 3;4] ; x0 ∈ [1;2] ; x0 ∈ [ 2;3] x0 ∈ [ 2;3] ; 16) x ln( x + 1) − cos ( x + ) − 2.92 = ; x0 ∈ [ 0.8;1.3] 17) arcsin x + x − = ; 18) arccos x − 3x + = ; x0 ∈ [ 0;1] x0 ∈ [ 0;1] 19) +arccos x + x − = ; x0 ∈ [ 0;1] 20) −arcsin x + x4 − = ; x0 ∈ [1;2] Bài 3: Dùng phương pháp Newton (tiếp tuyến) giải phương trình sau với xn+1 − xn < 10−5 , đánh giá sai số 1) x − x − = ; x0 ∈ [1 ;4] 2) x + x − = -Trang 2- ; x0 ∈ [ −3; −2] π ; x0 ∈ 0; 2 x −x 5) e + + cos x − = ; x0 ∈ [1;2 ] π ; x0 ∈ 0; 2 6) x cos(2 x ) − ( x − 2) = ; x0 ∈ [ 2;3] ; [ 3;4] 7) x − − s inx = 8) x − e x = 3) x − cos x = −x 9) x − xe + e −2 x ; x0 ∈ [1;2] = ; x0 ∈ [ 0;1] =0 x2 x 13) ln x − + = x 15) ln x − + = 11) ln x − x ln( x + 1) 10) sin x − e −x =0 ; x0 ∈ [ 0;1] ; [ 3;5] ; x0 ∈ [ 0;1] ; [ 3;4] ; [ 6;7] ; x0 ∈ [1; ] 12) ( x − 2) − ln x = ; x0 ∈ [1;2] ; [ e;4 ] ; x0 ∈ [ 0.2;1] x 14) cos( x + 2) + x ( + 2) = ; x0 ∈ [ −2; −1] 16) ln x − = ; x0 ∈ [1;2 ] x ; x0 ∈ [ 0,1 ;1] ; x0 ∈ [ 2;3] 18) x + 5sin(ln( x + 2)) − 1,1 = ; x0 ∈ [ −1;0] − x − = ; x0 ∈ [ 0;1] 20) cos x − 3ln( x − 2) − 1,12 = ; x0 ∈ [ 2,15;3] 17) xln5x − x + = 19) 4) x − 0,8 − 0, 2sin x = x 21) Tìm nghiệm dương lớn phương trình : e − 2x = x 22) Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình : e − 2x = 23) Tìm nghiệm dương lớn phương trình : x + 2x − 7x + = 24) Tìm nghiệm âm nhỏ phương trình : x + 2x − 7x + = 25) Tìm nghiệm dương phương trình : 1,8x − sin(10x) = 26) Tìm nghiệm phương trình : x − sin πx = 27) Tìm nghiệm phương trình : x − cosπx = 28) Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình : x − 4x = 29) Tìm nghiệm phương trình : 4x − 5ln x = 30) Tìm nghiệm phương trình : x − 10 ln x = Chương Hệ phương trình Tuyến tính Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp qua bước 1, 02 x − 0, 05 y − 0,1z = 0, 795 1/ −0,11x + 1, 03 y − 0, 05 z = 0,849 −0,11x − 0,12 y + 1, 04 z = 1, 398 6,1x + 2, y + 1, z = 16,55 1,5 / 2, x + 5,5 y − 1,5 z = 10,55; vớ i X = 2, 2,5 1, x − 1,5 y + 7, z = 16,80 Bài 2: Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Seidel qua bước: x + 0,1 y + 0,1z = 1, 0 1/ 0,1x + y + 0,1z = 1, ; vớ i X = 0 0,1x + 0,1 y + z = 1, -Trang 3- 6,1x + 2, y + 1, z = 16,55 1.5 / 2, x + 5,5 y − 1,5z = 10,55 vớ i X = 2, 2,5 1, x − 1,5 y + 7, z = 16,80 Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn với sai số 10-5 1, 02x − 0,05y − 0,1z = 0,795 1/ −0,11x + 1, 03y − 0, 05z = 0,849 −0,11x − 0,12y + 1,04z = 1,398 6,1x + 2, 2y + 1, 2z = 16,55 2/ 2, 2x + 5,5y − 1,5z = 10,55 1, 2x − 1,5y + 7, 2z = 16,80 1, 02x − 0, 25y − 0,30z = 0,515 3/ −0, 41x + 1,13y − 0,15z = 1,555 −0, 25x − 0,14y + 1, 21z = 2, 780 4x − y + z = 4/ 2x + 5y + 2z = x + 2y + 4z = 11 4x + y + 2z = 5/ 2x + 4y − z = −5 x + y − 3z = −9 3x − y + z = 6/ 3x + 6y + 2z = 3x + 3y + 7z = =9 10x − y 7/ − x + 10y − 2z = − 2y + 10z = = 24 4x + 3y 8/ 3x + 4y − z = 30 − y + 4z = −24 0, 42x − 5, 05y − 0,11z = 0, 215 2,1x + 2, 2y + 7,5z = 14, 65 10/ 5, 2x + 0,5y − 1,5z = 20,15 9/ 12,5x + 1,02y − 0,05z = 0,743 −0,11x − 0,12y + 2,09z = 1,395 1, 6x − 4,5y + 1, 2z = −6,18 Bài 4: 1/ Giải lại hệ phương trình phương pháp Seidel với sai số 10-5 2/ Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel sai số 10-5 1, 42x1 − 0,5x − 0,1x + 0, 2x = 2,525 0,5x + 5, 02x − 1,15x − 0,3x = 0, 741 a/ 0,17x + 2,12x + 13,5x + 0, 4x = 5,190 −0,18x1 − 0,12x + 1, 05x − 20,7x = 1,824 0, 42x1 − 5, 05x − 0,11x + 0,1x = 0, 215 12,5x + 1, 02x − 0,05x − 0,5x = 0, 743 b/ −0,11x1 − 0,12x + 2,09x + 0, 4x = 1, 395 −0,11x1 − 0,12x + 1,05x − 5, 2x = 2,092 8x1 − x + 2x + x + 2x = 24 2x + 12x − x − 2x + x = 72 c/ − x1 + 5x + 23x + x + 3x = 46 3x + 2x − 5x − 35x − x = 70 4x1 − x + x + 2x − 72x = 144 -Trang 4- 25x1 − x + 3x + 2x + x = 75 x + 17x − x − 3x − 4x = 170 d/ −3x1 + 2x + 35x + x − 5x = 105 4x − 5x − x + 55x + 7x = 330 − x1 − x + x + 2x + 29x = 580 Chương Nội Suy Lagrange - Newton Bài 1: Cho mốc nội suy sau : x 1,5 f(x) 3,873 1,54 3,924 1,56 3,950 1,60 1,63 4,037 a/ Viết đa thức Lagrange với mốc nội suy b/ Tính giá trị đa thức : x = 1,52 ; x = 1,58 ; x = 1, 615 Bài 2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange, tính gần giá trị tính sai số 1/ x 8,1 8,3 8,6 8,7 f(x) 16,94410 17,56492 18,50515 18,82091 f(0,84) = ? 2/ x -0,75 -0,5 -0,25 f(x) -0,071812 -0,024750 0,334938 1,101000 f(-1/3) = ? 3/ x 0,1 0,2 0,3 0,4 f(x) 0,62049 -0,28398 0,00660 0,24842 f(0,25) = ? 4/ x 0,6 0,7 0,8 1,0 f(x) - 0,176944 0,013752 0,223633 0,650892 f(0,9) = ? Bài 3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm sau tính sai số tuyệt đối [x ; x n ] 1/ f (x) = e2x cos3x , x = ; x1 = 0, ; x = 0, ; n = 2/ f (x) = sin(lnx) , x = 2,0 ; x1 = 2, ; x = 2, ; n = 3/ f (x) = ln x , x = ; x1 = 1,1 ; x = 1, ; x = 1, ; n = f (x) = cosx + s inx , x = ; x1 = 0, 25 ; x = 0,5 ; x = 1,0 ; n = Bài 4: Cho mốc nội suy sau : x f(x) -1 3 1/ Viết đa thức Newton tiến, tính giá trị x = 2,5 ; x = 3,15 2/ Viết đa thức Newton lùi, tính giá trị x = 5,5 ; x = 6,82 Bài 5: Cho mốc nội suy cách : -Trang 5- x f(x) 2 -1 1/ Viết đa thức Newton tiến Pp mốc nội suy cách tính f (1,5) = ? 2/ Viết đa thức Newton lùi Pp mốc nội suy cách tính f (4,5) = ? Bài 6: Xây dựng đa thức nội suy Newton 1/ x 8,1 8,3 8,5 8,7 f(x) 16,94410 17,56492 18,18572 18,82091 a/ tiến, tính gần f(0,82) ? b/ lùi , tính gần f(0,865) ? 2/ x f(x) -0,75 -0,071812 -0,5 -0,024750 -0,25 0,334938 1,101000 a/ tiến, tính gần f(-0,7) ? b/ lùi, tính gần f(-0,1) ? 3/ x 0,1 0,2 f(x) 0,62049 -0,28398 a/ tiến, tính gần f(0,15) ? b/ lùi, tính gần f(0,38) ? 0,3 0,00660 0,4 0,24842 4/ x f(x) 0,6 -0,176944 0,7 0,8 1,0 0,013752 0,223633 0,650892 a/ tiến, tính gần f(0,62) ? b/ lùi, tính gần f(0,96) ? 5/ x f(x) 0,0 1,00000 0,2 1,22140 0,4 1,49182 0,6 1,82212 0,8 2,22554 a/ tiến, tính gần f(0,05) ? b/ lùi, tính gần f(0,75) ? 6/ Cho bảng nội suy x f(x) 0,0 -6,00000 0,1 -5,89483 0,3 0,6 1,0 -5,65014 -5,17788 -4,28172 a/ Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến cấp b/ Thêm giá trị f(1,1) = - 3,99583, xây dựng đa thức nội suy Newton tiến cấp 7/ Cho bảng liệu sau, đổi biến số dùng phương pháp bình phương nhỏ tìm hàm số / y = a + bx ; y = a + bx + cx ; y = a + b cos x + csin x; y = ae bx ; y = ax b (a > 0) 2/ y= ax + bx + c , y= , y = ax + b, y = , y= ax + b x + a + bx a/ -Trang 6- ( b + ax ) x y 6,62 1,5 3,94 2,17 2,4 1,35 0,89 x y 0,2 0,1960 0,4 0,7830 0,6 1,7665 0,8 3,1405 1,0 4,9075 x y 1,0 1,84 1,1 1,96 1,9 2,94 2,1 3,18 x y 1,000 0,15 1,004 b/ c/ 1,3 2,21 1,5 2,45 d 0,31 1,031 0,5 1,117 0,6 1,223 0,75 1,442 Chương Tích phân Số Bài 1: Tính tích phân sau cơng thức hình thang với n = 10 0,5 1,5 ∫ x 4dx ∫ ∫ x ln xdx dx x−4 0,5 1,6 ∫ 2x dx x −4 0,35 ∫ π ∫ x + cos x dx sin x 2dx ∫0 ln ( + x ) xdx x dx 16 e x dx ∫0 sin (1 + x ) 1.2 ∫ 19 12 ∫ x dx ∫ sin (1 + x ) 15 18 1 dx x 0 17 10 11 ∫ ∫ ln ( + x ) 14 + xdx 1 ∫ π dx 0,1 ∫ e3x sin 2xdx x ∫ e dx 10 13 dx x −4 −x ∫x e π 1,5 ∫ sin xdx x arcsin xdx 2x + ∫ tgxdx e 1+ x 20 e 2x ∫0 + cos 3x dx Bài 2: Giải lại cách sử dụng cơng thức Simpson 1/3 với n = 10 Bài 3: Giải lại cách sử dụng cơng thức Simpson 3/8 với n = Bài 4: Sử dụng cơng thức cầu phương cấp cấp tính tích phân sau : 1,5 ∫x ln xdx dx π ∫ e3x sin 2xdx −x ∫x e 0,35 1,6 ∫x ∫ 2x dx −4 π dx x −4 ∫ cos2 xdx π 4 ∫ x sin xdx π ∫ cos3 2xdx Bài 5: sin x dx x a) Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành (n = ?) đoạn để tính I cơng thức hình thang đảm bảo sai số tuyệt đối nhỏ 3.10-4 b) Với n tính theo cơng thức Simpson 1/3 sai số bao nhiêu? c) Hãy tính I với n chọn cơng thức hình thang cơng thức Simpson 1/3 đến chữ số thập phân Cho tích phân I = ∫ -Trang 7- 3,1 ðể tính gần I = x3 ∫ x − dx cơng thức simpson 1/3, cần chia đoạn [2,1;3,1] 2,1 thành đoạn để đạt sai số nhỏ 10-4 x2 + ðể tính gần I = ∫ dx cơng thức simpson 1/3, cần chia đoạn [0;1] thành x+2 đoạn để đạt sai số nhỏ 0,75.10-4 Chương Phương trình vi phân Bài 1: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến Cho ε = 10 −4 a ) y / = x − y ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y / = − xy ; y (0) = đoạn [0;1], với bước h = 0,25 y c ) y / = x − ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 / d ) y = − xy ; y (0) = 1.5 đoạn [0;1], với bước h = 0,125 x2 − y ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,125 xy + 1 f ) y / = + x − 3x y ; y (0) = đoạn [0;1], với bước h = 0,125 e) y / = Bài 2: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Runge-kutta a ) y / = x − y ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 b) y / = − xy ; y (0) = đoạn [0;1], với bước h = 0,25 y c) y / = − ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 + x2 d ) y / = + 3xy ; y (0) = đoạn [0;1], với bước h = 0,25 e) y / = x2 − y ; y (0) = đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25 + xy - -Trang 8-