Bài tập phương pháp tính ôn cuối kì

bài tập phương pháp tính có giải×bài tập phương pháp tính giá×bài tập phương pháp tính có lời giải×bài tập phương pháp tính giá có lời giải×bài tập phương pháp tính×bài tập phương pháp tính đặng hữu thịnhbài tập phương pháp tính có giải×bài tập phương pháp tính giá×bài tập phương pháp tính có lời giải×bài tập phương pháp tính giá có lời giải×bài tập phương pháp tính×bài tập phương pháp tính đặng hữu thịnh

GIẢI ÔN TẬP CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2014

Câu 1 Cho phương trình ex+ 2x2+ cos x − 10 = 0 trong khoảng cách lynghiệm [1, 2] Sử dụng phương pháp Newton, xác định x0 theo điều kiệnFourier, tìm nghiệm gần đúng x2 của phương trình trên và đánh giá sai sốcủa nó.

dx− chọn X = 1 và X = 2 Sosánh |f0(1)|, |f0(2)| Ta có |f0(x )| > min{|f0(1)|, |f0(2)|} = |f0(1)| = m

Shift-STO-A Do đó sai số của nghiệm gần đúng xnvà nghiệm chính xác xlà

|x − xn| 6 |f (xn)|

|ex n+ 2xn2+ cos xn− 10|

n xn ∆x n

1 1.656561316

2 1.597323235 0.002748308Bấm máy Tính xn

X − e

X + 2X2+ cos X − 10

eX + 4X − sin XCALC x = 2 ⇒ x1

CALC Ans ⇒ x2

Sai số

abs(eX + 2X2+ cos X − 10)

ACALC Ans ⇒ ∆x2

Kết quả x2≈ 1.5973; ∆x2 ≈ 0.0028

Câu 2 Cho phương trình x =√3

10 − 2x Sử dụng phương pháp lặp đơn,tìm chỉ số n nhỏ nhất để |xn− xn−1| < 10−10 biết x0 = 2

Kết quả n =

Giải x =√3

10 − 2x = g (x ) Chọn x0 = 2 Tính xn, n = 1, 2, theo côngthức xn= g (xn−1) =√3

10 − 2xn−1.Tiếp tục quá trình như vậy đến khi n thỏa |xn− xn−1| < 10−10

Bấm máy D = D + 1 : A =√3

10 − 2B : |A − B| − 10−10: B = A, CALCD?=0, B?=2, trong đó D là biến đếm n Bấm đến khi nào

|xn− xn−1| − 10−10< 0 có nghĩa là |A − B| − 10−10< 0

Câu 3 Cho hệ phương trình





2x1+ 2x2− 3x3 = 9

−4x1− 3x2+ 4x3 = −152x1+ x2+ 2x3 = 3

Câu 4 Cho hệ phương trình

 tính X(1), X(2), X(3)

MatA =

0 −1.73

14.3

1.85 14.3

Shift 4 - Dim - MatB - 3 × 1 - AC

Shift 4 - Dim - MatC - 3 × 1 - AC

Shift 4 - MatB+MatA*MatC= ⇒ x(1) - AC

Shift 4 - MatB+MatA*MatAns= ⇒ x(2) - AC

Shift 4 - MatB+MatA*MatAns= ⇒ x(3) - AC

Kết quả x1(3) ≈ 0.9432; x2(3)≈ 1.1387; x3(3)≈ 1.2020

Câu 5 Cho hệ phương trình

d0 = c1− c0

3h0 = −

28375

728 ,Khi k = 1 ta có

d1 = c2− c1

3h1 =

3625

84 ,

d2 = c3− c2

3h2

= −9375

364 ,Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là g (x ) =

Câu 7 Cho bảng số x | 1.1 1.6 2.1

ba g (x ) thỏa điều kiện g0(1.1) = 0.2 và g0(2.1) = 0.5 nội suy bảng số trên

để xấp xỉ giá trị của hàm tại x = 1.4 và x = 1.9

d0 = c1− c0

3h0

= −231

10 ,Khi k = 1 ta có

d1 = c2− c1

3h1

= 69

10,

Chú ý.Nếu tính ra b06= α thì CHÚNG TA ĐÃ TÍNH SAI vì b0 = g0(x0).Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là

x , y , như sau:

sin 0.7 3.1sin 1.0 2sin 1.2 4.5sin 1.3 2.6sin 1.5 6.7

Sau đó, bấm AC Thoát ra Chọn Shift 1

-chọn 7 - Reg - -chọn 1- A = Chọn Shift 1 - -chọn 7 - Reg - -chọn 2- B =.Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 3- C =

Như vậy A + C = 55.37359957 Shift-STO-X ; B = −138.2293327;

−C = 88.70697384 Shift-STO-Y ⇒ A = X − C = X + Y = 144.0805734Kết quả A ≈ 144.0806;B ≈ −138.2293; C ≈ −88.7070

Bấm máy Shift-Mode-STAT-Frequency-ON

1 Tìm ma trận hệ số

Mode 3-STAT - 2: A+BX Nhập vào cột X là√X 2 + 1, nhập vào cột

Y là cos(X ) AC-thoát ra.

Shift - 1 - 4: Sum - 1:P x 2 = Shift-STO-A

Shift - 1 - 4: Sum - 5:P xy = Shift-STO-B

Shift - 1 - 4: Sum - 3:P y 2 = Shift-STO-D

2 Tìm cột hệ số tự do

Shift - 1 - 2: Data

Nhập giá trị của cột FREQ là giá trị y AC-thoát ra

Shift - 1 - 5: Var - 2:x × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-C

Shift - 1 - 5: Var - 5:y × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-M

3 Giải hệ phương trình: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn

Cách 2

Bấm máy:

A = A +pX2+ 12 : B = B +pX2+ 1 cos(X ) : C = C +pX2+ 1Y :

D = D + (cos(X ))2: M = M + cos(X )YBấm CALC A = 0, B = 0, C = 0, D = 0, M = 0 và nhập X , Y theo bảng

p31(x ) = (x − x0)(x − x2)(x − x3)

(x1− x0)(x1− x2)(x1− x3) =

(x − 1.1)(x − 2.4)(x − 3.3)(1.7 − 1.1)(1.7 − 2.4)(1.7 − 3.3)

p32(x ) = (x − x0)(x − x1)(x − x3)

(x2− x0)(x2− x1)(x2− x3) =

(x − 1.1)(x − 1.7)(x − 3.3)(2.4 − 1.1)(2.4 − 1.7)(2.4 − 3.3)

p33(x ) = (x − x0)(x − x1)(x − x2)

(x3− x0)(x3− x1)(x3− x2) =

(x − 1.1)(x − 1.7)(x − 2.4)(3.3 − 1.1)(3.3 − 1.7)(3.3 − 2.4)

y0(x ) ≈ L03(x ) =

−1.716[(x − 2.4)(x − 3.3) + (x − 1.7)(x − 3.3) + (x − 1.7)(x − 2.4)]++ 3.9

0.672[(x − 2.4)(x − 3.3) + (x − 1.1)(x − 3.3) + (x − 1.1)(x − 2.4)]++ 4.5

−1350

Cách 2

Vì đa thức nội suy là duy nhất nên ta gọi đa thức nội suy cần tìm là

y = a0+ a1x + a2x2+ a3x3 Vì đa thức nội suy đi qua tất cả các nút nộisuy nên ta có

a1+ 2 × 1.5a2+ 3 × (1.5)2a3 = 2.8

1320.3 3.7

−5

20.6 − 0.1 =

−4933.2 − 3.7

0.6 − 0.3 =

−53

80

9 −−4930.9 − 0.1 =

1135360.6 3.2

11

3 − −530.9 − 0.3 =

8094.3 − 3.2

0.9 − 0.6 =

1130.9 4.3

Như vậy công thức nội suy Newton tiến là

CALC X=0.5 ⇒ y0(0.5) ≈ −961

360Kết quả y0(0.5) ≈ −2.6694

Câu 12 Cho tích phân I =

2.5

R

1.3

ln√x + 6 dx Hãy xấp xỉ tích phân I bằngcông thức hình thang mở rộng với n = 8

Kết quả I ≈

20 + 6Vậy I ≈ h

X = b − h = 2.5 − 0.15 = 2.35 = 47

20.Kết quả I ≈ 1.2395

Câu 13 Cho bảng x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

f (x ) 4 3.3 2.4 4.3 10.2 6.2 7.4 củahàm f (x ) Sử dụng công thức hình thang mở rộng hãy xấp xỉ tích phân

I ≈ 0.2

2 (A + 2B + 2C + 2D + 2E + 2F + M) = 101.45792

xk+13 + xk+1+ 6 ,

yk+10 = f (xk+10 ) = 2x

02 k+1+ 3xk+10 + 1

xk+103 + xk+10 + 6

1.1

6 (A + 4B + C ) = 4.14206153 ≈ 4.1421

CALC A=0, X=a=0.2 Nhấn dấu0 =0 cho tới khi tính CALC tại

X = 6.8 − h = 5.7

B = B +h

6

 2(X + 0.55)2+ 3(X + 0.55) + 1(X + 0.55)3+ (X + 0.55) + 6

: X = X + h

CALC C=0, X=a=0.2 Nhấn dấu 0 =0 cho tới khi tính CALC tại

X = 6.8 − h = 5.7

Vậy I = A + 4B + C = 4.14206153 ≈ 4.1421

Câu 15 Cho bảng số: x | 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

f (x ) | 2 3.3 2.4 4.3 5.1 6.2 7.4 Sửdụng công thức Simpson mở rộng tính tích phân

6 ((y0+ y1+ y2) + 4(y

0

1+ y20 + y30) + (y1+ y2+ y3)) =0.4

6 ((y0+ 2y1+ 2y2+ y3) + 4(y

0

1+ y20 + y30))Bấm máy XY2+ 2.2X3

Câu 16 Cho hàm số f (x ) = exln (x4+ 1) − 4x Sử dụng sai phân hướngtâm, xấp xỉ giá trị của f0(0.7) và f00(0.7) với bước h = 0.15

Câu 17 Cho bài toán Cauchy: y

,

,

Bấm máy 0.2(2X + X sin (X + 2Y )).

Tính K0

1 CALC X = 1.0, Y = 2.4 ⇒ K0

1 Shift-STO-ATính K0

Câu 18 Cho bài toán Cauchy:

Bấm máy.

A = X + 0.2Y : B = Y + 0.2(4.2Y + 2C2X + 2.6) :

C = C + 0.2 : X = A : Y = BCALC X = x0 = 1.2, Y = y0 = 1.0, C = t0= 1.0 Nhấn dấu ’=’ ta được

A = 1.4 = x1 ≈ x(1.2), B = 2.84 = y1 Nhấn dấu ’=’ ta được x2, y2.Nhấn tiếp dấu ’=’ đến khi tính CALC tại C = 1.6 ta được

x4 = 6.1021184 ≈ x (1.8), y4

Câu 19.Cho bài toán Cauchy: x

00(t) = 4x0+ t2x + 2.6, 1 6 t 6 1.6

x (1) = 0.3, x0(1) = 1.1Đưa về hệ phương trình vi phân cấp 1 Sử dụng công thức Euler cải tiến,giải gần đúng x (1.2) và x (1.6) với bước h = 0.2

tk = 1.2 thì k = 1, còn nếu tk = 1.6 thì k = 3

Theo công thức Euler cải tiến, ta có

A = 2Y : B = 2(4Y + M2X + 2.6) : C = 2(Y + B) : M = M + 2 :

D = 2(4(Y +B)+M2(X +A)+2.6) : X = X +(A+C )÷2 : Y = Y +(B+D)÷2CALC Y = y0= 1.1, M = t0= 1.0, X = x0 = 0.3 Nhấn dấu ’=’ ta được

X = 0.6660 = x1 ≈ x(1.2), Y = y1 Nhấn tiếp dấu ’=’ đến khi tính CALCtại M = 1.4 ta được x3= 3.962611845 ≈ x (1.6)

Câu 20 Cho bài toán biên tuyến tính cấp 2:





y0 = 1, y4 = 1.2(r1−2p1

y3 = 0.6188429457.

Kết quả y (0.25) ≈ 0.5022, y (0.50) ≈ 0.4147, y (0.75) ≈ 0.6188