đại số tuyến tính lê xuân đại đề ôn cuối ki co giai sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e  2 Cho hai ma trận A =     B =  −1  Tìm ma trận X thỏa AX − X = B T hV ie nZ on  in m Câu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e  hV 20  −6 −5 ie Vậy X nZ on ⇔ X = (A − I )−1.B T  −1  T =    −1  =  −9 −10  in m AX − X = B T ⇔ (A − I )X = B T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on nZ ie hV in m Câu Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1) a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U b) Tìm sở số chiều U ⊥ c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on nZ ie hV Hệ vô nghiệm nên m cho v ∈ U in m a) Để v ∈ U ∃α, β ∈ R : v = (1, 2, −1, m) = α(1, 1, 2, 2) + β(2, −1, 1, 0)   α + 2β =    α−β = 2α + β = −1     2α = m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on ie nZ x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 2x1 − x2 + x3 = hV Cơ sở U ⊥ : e1 = (−1, −1, 1, 0) e2 = (−2, −4, 0, 3) Số chiều dim(U ⊥) = in m b) Tìm sở số chiều U ⊥ Véctơ x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ⊥ nên x ⊥ (1, 1, 2, 2) x ⊥ (2, −1, 1, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on nZ ie hV in m c) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ z = αe1 + βe2 + g , với g ∈ (U ⊥)⊥ < z, e1 >= α < e1, e1 > +β < e1, e2 > < z, e2 >= α < e1, e2 > +β < e2, e2 > 14 3α + 6β = ⇔ ⇔ α = , β = − Vậy 6α + 29β = −7 17 17 hình chiếu z xuống U ⊥ 14 f = (−1, −1, 1, 0) − (−2, −4, 0, 3) = 17 17 14 14 21 (0, , , − ) 17 17 17 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 2x1 − x2 + 2x3 + x4 = ie V : nZ U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) > hV a) Tìm sở số chiều U ∩ V b) Tìm sở số chiều U + V in m Câu Trong R4 cho không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on nZ ie hV in m a) Tìm sở số chiều U ∩ V x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ∩ V ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ V x ∈ U ⇔ (x1, x2, x3, x4) = α(1, 1, −2, 1) + β(1, 2, 1, 0) = (α + β, α + 2β, −2α + β, α) −8α + 8β = x ∈V ⇔ ⇔ α = β −2α + 2β = Vậy x = α(2, 3, −1, 1) Từ suy (2, 3, −1, 1) tập sinh U ∩ V Véctơ (2, 3, −1, 1) độc lập tuyến tính nên sở U ∩ V (2, 3, −1, 1) Dim(U ∩ V ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 26 C o e on hV ie nZ U +V = < 11, 0, 5) >  (1, 1, −2, 1), (1, 2,1, 0),(−7, −4, 5, 0), (3,  1 −2 1 −2  0     →  −1   −7 −4   0 −18 10  11 0 0 Cơ sở U + V (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0), (−7, −4, 5, 0) Dim(U + V ) = in m Tìm sở V −5 −5 → −1 −5 −4 11 Cơ sở V (−7, −4, 5, 0) (3, 11, 0, 5) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 26 C o e on nZ ie hV in m [f (4, 3, 6)]B = A[(4, B =    3, 6)]  −2 −2     =  −4  −1 25 Vậy f (4, 3, 6) = 1(1, 1, 0) − 4(1, 0, 1) + 25(1, 1, 1) = (22, 26, 21) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 13 / 26 C o e on ie nZ  2 A =  −1 −3 −2  hV Tìm ma trận B ∈ M3(R) cho B = A in m Câu Cho ma trận cấp  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 14 / 26 C o e hV ie nZ on −λ 2 χA(λ) = |A − λI | = −1 −3 − λ −2 = 4−λ ⇔ −λ(λ + 1)(λ − 2) = ⇔ λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = in m Xét TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 15 / 26 C o e on nZ ie hV in m Ứng với λ1 = −1 ta xét hệ   x1 + 2x2 + 2x3 = −x − 2x2 − 2x3 =  x1 + 5x2 + 5x3 =   ⇒ X1 = α  −1  , α = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 16 / 26 C o e on nZ ie hV in m Ứng với λ2 = ta xét hệ   0x1 + 2x2 + 2x3 = −x − 3x2 − 2x3 =  x1 + 5x2 + 4x3 =   ⇒ X2 = β  −1  , β = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 17 / 26 C o e on nZ ie hV in m Ứng với λ3 = ta xét hệ   −2x1 + 2x2 + 2x3 = −x1 − 5x2 − 2x3 =  x1 + 5x2 + 2x3 =   ⇒ X3 = γ  −1  , γ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 18 / 26 C o e on nZ ie hV in m Vậy ta  có ma trận làm chéo hóa 1 S =  −1 −1 −1  1     −1 −1 −1 0 ⇒ S −1 =  −1 −1  D =  0  1 0 Do A = SDS −1 = B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 19 / 26 C o e on hV ie nZ   (−1)1/3 0 1 −1 −1  −1 −1 −1   01/3   −1 −1  = 1 1 0 21/3  1/3 1/3 2  −1 −21/3 − −21/3  24/3 + 24/3 in m Vậy ma trận B cần tìm   TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 20 / 26 C o e on nZ hV ie f (x1, x2, x3) = x12 −2x22 −2x32 −4x1x2 +4x1x3 +8x2x3 in m Câu Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao, nêu rõ phép biến đổi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 26 C o e on nZ ie hV in m Ma trận  dạng toàn  phương −2 A =  −2 −2  −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 22 / 26 C o e on nZ ie hV in m χA(λ) = det(A − λI ) = − λ −2 =0 −2 −2 − λ 4 −2 − λ ⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 23 / 26 C o e on nZ ie hV in m χA(λ) = det(A − λI ) = − λ −2 =0 −2 −2 − λ 4 −2 − λ ⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = Xác định  ma1 trận  trực giao Với λ1 = −2, ta có −3 P∗1 =  − 23  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 23 / 26 C o e − √25 √1 nZ √ 5 √  ,   hV  P∗3 =  − 3√2   ie  on  Với λ2 = λ3 = 2, ta có P∗2 =  in m  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 24 / 26 C o e on nZ ie hV in m Do đóma trận trực giao  − 31 − √25 − 3√2   P =  − 23 √15 3√4  √ 3 Phép biến đổi (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T đưa dạng tồn phương f dạng tắc f = −7y12 + 2y22 + 2y32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 25 / 26 C o e on nZ ie hV in m CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 26 / 26 ... 0) > hV a) Tìm sở số chiều U ∩ V b) Tìm sở số chiều U + V in m Câu Trong R4 cho không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 21 / 26 C o e on nZ ie hV in m Ma trận  dạng toàn  phương −2 A =  −2 −2  −2 TS Lê Xuân Đại. .. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 25 / 26 C o e on nZ ie hV in m CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI TS Lê Xuân Đại