BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH Lê Xuân Trường Ngày 10 tháng năm 2008 SAI SỐ Bài Cho số gần a = 1, 8921 b = 22, 351 với sai số tương đối δa = 0, 1.10−2 δb = 0, Tìm sai số tuyệt đối chữ số a, b Bài Biết a = 12, 3057 số gần có hai chữ số không Hãy tính sai số tuyệt đối sai số tương đối a Bài Cho a = 23, 35781 số gần với sai số tương đối δa = 1, 25% Hãy làm tròn số a với chữ số không đánh giá sai số kết thu Bài Sử dụng thước đo với sai số thu kết sau đáy lớn a = 17, 247cm để cạnh hình thang ta đáy bé b = 9, 148cm chiều cao h = 5, 736cm a) Tính diện tích hình thang sai số tuyệt đối = 0, 01 b) Để tính diện tích với sai số tương đối 0, 1% Bài bao nhiêu? Cho hàm số x + y2 z Tính giá trị u với sai số tuyệt đối sai số tương đối x = 3, 28; y = 0, 932 z = 1, 132 biết x, y, z số gần với chữ số không u= GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f (x) = Bài Dùng phương pháp chia đôi, tìm nghiệm phương trình x3 +3x2 −3 = với sai số 10−3 khoảng phân ly nghiệm (−3; −2) Bài Cho biết phương trình x2 − ex + 10 = có nghiệm ξ ∈ (2; 3) Tìm ξ phương pháp lặp đơn trường hợp sau a) sử dụng bước lặp Cho biết sai số b) nghiệm gần có chữ số c) nghiệm gần có sai số không 10−5 Bài Phương trình x3 + x − 1000 = có nghiệm ξ ∈ (9; 10) Lấy x0 ∈ (9, 10) Xét dãy lặp sau xn = ϕ(xn−1 ), n = 1, 2, √ ϕ(x) = 1000 − x Xác định n để sai số |xn − ξ| ≤ 10−6 Bài Phương trình x4 − 3x2 + 75x − 10000 = có nghiệm ξ ∈ (−11; −10) Sử dụng phương pháp tiếp tuyến tính gần ξ với a) hai bước lặp Đánh giá sai số b) chữ số c) sai số không 10−4 Bài 10 Phương trình x2 − sin x − 12 = có nghiệm ξ ∈ (1; 2) Sử dụng phương pháp tiếp tuyến tính gần ξ với sai số 10−3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 11 Cho hệ phương trình 10, 1, 1, 11, 2, 1, 0, 2, 2, 0, x1 −7, 1, 2, x2 = 5, 9, 1, x3 10, 1, 21, x4 24, (*) Giải phương hệ (∗) phương pháp lặp đơn với bước lặp Đánh giá sai số nghiệm Để thu nghiệm với sai số 10−3 cần bước lặp? Bài 12 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Seidel với sai số 0, 01 6x − y − z = 11, 33 −x + 6y − z = 32 −x − y + 6z = 42 PHÉP NỘI SUY PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Bài 13 Hàm số y = f (x) xác định [0; 5] cho bảng giá trị sau x y = f(x) Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrance L3 (x) f (x) tính gần giá trị f (2) cách lấy f (2) ≈ L3 (2) Bài 14 Xây dựng đa thức Lagrance cho hàm f (x) = x3 + x2 − 10 nút x = −4; −3; −1; Từ đó, xác định số A, B, C, D cho x3 + x2 − 10 A B C D = + + + x(x + 1)(x + 3)(x + 4) x x+1 x+3 x+4 Bài 15 Tính tổng Sn = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 biết Sn đa thức bậc Bài 16 Cho bảng giá trị hàm y = f (x) x -1 y -6 39 822 1611 Xây dựng đa thức nội suy Newton hàm f (x) Tính gần f (−0, 25) nhờ đa thức vừa tìm Bài 17 Cho hàm số y = f (x) xác định bảng giá trị sau x y 1,4 1,3 1,4 1,1 1,3 1,8 1,6 2,3 Tìm biểu thức f (x) phương pháp bình phương tối thiểu biết a) f (x) đa thức bậc b) f (x) đa thức bậc hai c) f (x) = aebx d) f (x) = ln(ax + b) Bài 18 Tìm a, b cho max x2 + ax + b −1≤x≤1 bé TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài 19 Cho hàm số y = f (x) xác định bảng giá trị x 0,98 1,00 1,02 y=f(x) 0,7739332 0,7651977 0,7653321 Tính gần f (1) Bài 20 Xét tích phân I = dx 2x+1 a) Tính I công thức hình thang với 10 đoạn chia đánh giá sai số b) Tính I công thức hình thang với sai số không 10−4 c) Để tính I công thức hình thang với 10 chữ số số đoạn chia tối thiểu bao nhiêu? Bài 21 Giải 20 cách sử dụng công thức Simpson Bài 22 Cho tích phân 3,1 I= 2,1 x3 dx x−1 Để tính gần I công thức Simpson, cần chia đoạn [2, 1; 3, 1] thành đoạn để có sai số không 10−4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 23 Xét toán Cauchy y =y− y(0) = 2x ,0 y < x < 1, (∗) Sử dụng phương pháp Euler, a) Giải toán (∗) với bước lưới h = 0, Từ đó, tìm đa thức bậc xấp xỉ nghiệm y(x) b) Tính gần giá trị y(0, 15) với bước lưới h = 0, 05 Bài 24 Tương tự 23 sử dụng phương pháp Euler cải tiến Bài 25 Xét toán Cauchy y = sin(x + y ), < x < 2, y(1) = Sử dụng phương pháp Runge - Kutta bậc 2, với bước lưới h = 0, 25, giải toán Từ xấp xỉ nghiệm y(x) đa thức bậc phương pháp bình phương tối thiểu Bài 25 Giải toán 25 phương pháp Runge - Kutta bậc Hết