Bài giảng môn phương pháp tính

CHNG I: SAI S Đ1.1 SAI S TUYT I V SAI S TNG I 1.1.Sai s tuyt i Trong tớnh gn ỳng ta lm vic vi cỏc giỏ tr gn ỳng ca cỏc i lng Cho nờn u tiờn cn nghiờn cu l sai s Xột i lng ỳng A cú giỏ tr gn ỳng l a Lỳc ú ta núi a xp x A v vit a A Tr tuyt i |a A| gi l sai s tuyt i ca a ( xem l giỏ tr gn ỳng ca A) Vỡ núi chung ta khụng bit s ỳng A, nờn khụng tớnh c sai s tuyt i ca a Do ú ta tỡm c c lng sai s ú bng s dng a no ú ln hn hoc bng | a A | : | a A | a (1_1) S dng a ny gi l sai s tuyt i gii hn ca a Rừ rng nu a ó l sai s tuyt i gii hn ca a thỡ mi s , > a u cú th xem l sai s tuyt i gii hn ca a Vỡ vy nhng iu kin c th ngi ta chn a l s dng nht cú th c tha (1.1) Nu s xp x a ca A cú sai s tuyt i gii hn l a thỡ ta quy c vit: A = a a (1_2) Vi ngha ca (1.1) tc l: a - a a (1_3) Vớ d 1.1: Chiu di v chiu rng ca mt phũng c o l a=5,43 m v b=3,82 m vi chớnh xỏc n cm ( tc l a 0,01 m v b 0,01 m ) ú din tớch ca phũng ny c tớnh theo cụng thc S=ab=20,7426 m Hóy tớnh s Gii : Theo iu kin u bi ta cú : a 0,01 m , b 0,01 m Nhng giỏ tri cn trờn , cn di ca din tớch s ln lt l : (a+0,01)(b+0,01)=20,8352 m2 ( S max ) v (a-0,01)(b-0,01)=20,6502 m2 ( S ) Khi ú S S max 0,0926 Sai s tuyt i gii hn trng hp ny cú th chn l : s 0,10 m2 ( sai s tuyt i gii hn cú th ly v phớa ln hn!) Do vy trng hp ny cú th vit di dng S 20,743 m , hoc l S 20,74 m hoc thm cú vit l S 20,7 m 1.2.Sai s tng i T s: = a |a| (1_4) Gi l sai s tng i gii hn ca sú gn ỳng a Sai sú tng i thụng thng c biu din di dng % Ta suy ra: a = | a | (1_5) Cỏc cụng thc (1_4) v (1_5) cho liờn h gia sai s tng i v sai s tuyt i Bit a thỡ (1.4) cho phộp tớnh a , bit a thỡ (1_5) cho phộp tớnh a T (1_5) nờn (1_2) cng cú th vit di dng sau : A = a(1 ) Trong thc t ngi xem a (1_6) l sai s tuyt i v a cng gi l sai s tng i ca s gn ỳng a 1.3 Chỳ ý Sai s tuyt i khụng núi lờn y cht lng phộp o ca mt s xp x, Cht lng y c phn ỏnh qua sai s tng i vớ d 1.1 Chiu di v chiu rng ca mt cn phũng c o l a=5,43 m v b=3,82 m vi chớnh xỏc n cm ( tc l a 0,01 m v b 0,01 m ) Trong vớ d ny , chỳng ta thy sai s tuyt i ca c chiu di v chiu rng nh (u l ,01 m ) ng nhiờn phộp o chiu di l cht lng hn phộp chiu rng, bi vỡ ta cú : a 0,01 0,01 0,18% b 0,26% 5,43 3,83 Đ1.2: CCH VIT S XP X 1.2.1.Ch s cú ngha Mt s vit dng thp phõn cú th gm nhiu ch s, nhng ta ch xột cỏc ch s t ch s khỏc khụng u tiờn tớnh t trỏi sang phi l cỏc ch s cú ngha Chng hn cú s 2,74 cú ch s cú ngha, s 0,0207 cng cú ba ch s cú ngha 1.2.2.Ch s ỏng tin Mi s thp phõn u cú dng: a = s 10 s (1_7) ú s l nhng s nguyờn t n s cú th nhn cỏc g ớa tr : 0; ; , vớ d: Cho s gn ỳng a = 1275,213 = 1.10 + + 2.10 +7.10 +5.10 +2.10 +1.10 +3.10 1.2.3 Cỏc qui tc xỏc nh cỏc ch s tin v cỏc ch s ỏng nghi Qui tc 1: Cho a v a ú nu a 0,5.10 s thỡ s l ch s ỏng tin ca s gn ỳng a Chỳ ý 1: nu s l ch s ỏng tin ca s gn ỳng a thỡ tt c cỏc s ng bờn trỏi nú ca s u l ch s ỏng tin ca s gn ỳng a Qui tc : Cho a v a ú nu a 0,5.10 s thỡ s l ch s ỏng nghi ca s gn ỳng a Chỳ ý 2: nu s l ch s ỏng nghi ca s gn ỳng a thỡ tt c cỏc s ng bờn phi ca s u l ch s ỏng nghi ca s gn ỳng a Cỏch vit s xp x : Ngi ta cú th vit s xp x theo cụng thc (1_5) hoc (1_6) Ngoi ngi ta cú th vit xp x theo qui c : mi ch s cú ngha u l ỏng tin Mt s vit theo cỏch ny thỡ sai s tuyt i ca nú khụng ln mt na n v hng cui cựng Cỏc bng s cho sn thng in cỏc s xp x theo qui tc ny v d1: a = 1275,213 v i a = 0,0047 Tỡm c ỏc ch s ỏng tin, ỏng nghi + a = 0,0047 < 0,0050 = 0,5.10 Cỏc ch s ỏng tin ca s gn ỳng a l : 1,2,7,5,2,1 + a = 0,0047 > 0,0005 = 0,5.10 Cỏc ch s ỏng nghi ca s gn ỳng a l v d2: b = 1275,2139 b = 0,0029 Tỡm ch s ỏng tin, ỏng nghi + b = 0,0029 < 0,0050 =0,5.10 Cỏc ch s ỏng tin ca s gn ỳng b l : 1,2,7,5,2,1 + b = 0,0029 > 0,0005 = 0,5.10 Cỏc ch s ỏng nghi ca s gn ỳng b = 3,9 v d3: a = 51379; a = 0,00001 Tỡm ch s ỏng tin, ỏng nghi Ta cú: a = a a = 51379.0,00001 = 0,51379 a + ta cú a = 0,51379 < 0,5.10 Vy cỏc s ỏng tin: 5,1,3,7 Đ1.3: CC QUY TC TNH SAI S 1.3.1 Sai s ca mt tng Cho u = a + a + a3 ++ an (1_8) Qui tc tớnh sai s tuyt i ca mt tng : Sai s tuyt i ca mt tng i s cỏc s hng bng tng cỏc sai s tuyt i ca cỏc s hng ú C th l nu u = a1 + a + a ++ a n u a1 a2 a3 an thỡ (1_9) Qui tc tớnh sai s tng i ca mt tng : Sai s tng i ca mt tng cỏc s hng cựng du nm gia giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca cỏc sai s tng i ca cỏc s hng ú Tc l nu thỡ u = a1 + a + a ++ a n ak u max ak ( ak 0, k 1,2,3, n) (1_10) 1.3.2 Sai s tng i ca mt tớch ( thng ) Cho Khi ú u a1a2 a3 am b1b2b3 bn u a a a b b b m n (1_11) Theo kinh nghim thng kờ , nu n+m>10 v tt c cỏc v b j ( i=1,2,m; j=1,2,n ) u cú cựng mt sai s tng i u 3(n m) thỡ ú (1_12) 1.3.3 Sai s ca mt mt s hm s n gin 1.Hm s mt bin s Cho hm s y f (x) vi sai s tuyt i ca i s l x Khi ú sai s tuyt i ca hm s y s l : y f ' ( x) x (1_13) Nu hm s y f (x) dng thỡ sai s tng i ca hm s c tớnh theo cụng thc sau : y Vớ d 1: f ' ( x) f ( x) x [ln f ( x)]' x (1_14) cho ng kớnh hỡnh trũn d 0,842 M ( phộp o chớnh xỏc n 0,001 M ).Hóy tớnh din tớch hỡnh trũn trờn v sai s tuyt i ca din tớch hỡnh trũn trờn Li gii : Din tớch hỡnh trũn tớnh theo cụng thc S d2 v sai s tuyt i ca din tớch hỡnh trũn Ly s ỳng 3,1416 ; s gn ỳng 3,142 Ta cú : 0,001 0,4 S ( ) 2. d 0,0024 0,0001 0,0024 0,0025 Khi ú : S 0,842 3142 d 3,142 0,842 0,5569 M 4 S S S 0,5569 0,0025 0,0014 M2 1.3.4 Sai s tuyt i ca hm s nhiu bin s Cho hm s u f x1 , x2 , xn Khi ú ta cú sai s tuyt i ca hm s ny l n u i f xi xi (1_16) V d 2: Cho hm s u xy z Vi x 37,1 ; y 9,87 ; z 6,052 V cỏc sai s tuyt i tng ng l : x 0,3 ; y 0,11 ; z 0,016 Hóy tớnh giỏ tr ca u v u Li gii : Tớnh c u 37,1.9,87 6,052 801.10 x 3 0,3 0,11 0,16 0,81 % ; y 1,11 % ; z 0,26 % 37,1 9,87 6,052 Sai s tng i ca hm s u s l : u x 2. y 3. z 3,8 % Sai s tuyt i ca hm s u s l : u u. u 801.1030,038 30.103 õy chỳng ta cú th lm trũn kt qu nh sau : u 8,0.10 ; u 0,3.10 V d 3: Cho hm s u ln( x y ) Hóy xỏc nh giỏ tr ca hm s cựng vi sai s tuyt i v sai s tng i ca nú ng vi giỏ tr ca cỏc i s cho vi mi ch s cú ngha u l ỏng tin : x 10,3 ; y 4,4 Li gii : T iu kin ca u bi , tỡm c : x 0,05 v y 0,05 Tớnh c : y 0,05 1,2 % nờn 4,4 y y 0,6 % y cú sai s tng i l : Vỡ giỏ tr ca Nờn y 4,4 2,10 v y y i vi hm s y 0,6 % 2,10.0,006 0,013 Khi ú sai s ca tng : x y 10,3 2,10 12,4 0,05 0,13 0,063 v sai s tng i l : Cú sai s tuyt i l : 0,063 0,5 % 12,4 ln x thỡ sai s tuyt i ca hm s v i s l nh Nờn ta cú z 0,005 Do ú z ln(10,3 2,10) 2,517 Nu kt qu cui cựng gi li ba ch s ỏng tin thỡ ta cú : z 2,52 v z 0,008 1.3.5 Xỏc nh sai s cho phộp ca i s theo sai s cho phộp ca hm s Chỳ ý Nu hm s Thỡ x y f (x) kh vi v tho iu kin f ' ( x) f ' ( x) y (1_17) Chỳ ý Nu cụng thc (1_16) m tt c cỏc s hng f x bng xi i thỡ ú : xi y f n xi (1_18) ( i 1,2,3, , n ) Trong phn ny ta xột mt vớ d sau : V d 4: Cho mt bỡnh hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy l R v chiu cao l H Hóy xỏc nh sai s tng i ca R v H th tớch ca bỡnh ny cú sai s tng i l % Li gii : Vit cụng thc th tớch hỡnh tr : V R H Li gii: Ly s ỳng 3,1416 ; s gn ỳng 3,142 Khi ú : V 2. R H % Vỡ Nờn 0,004 0.013 % 3,142 2. R H 0,013 0,987 % Theo [7] , s dng nguyờn lý nh hng nh ca cỏc i s ( tc l cho R 2. H ) , vy thỡ : 2. R H 5. H 0,987 % Tỡm c : H 0,987 0,9174 0,2 % v R 0,4 % Vớ d Cho u ln( x y ) vi x = 0,97; y = 1.132 ( cỏc ch s ó cho u l cỏc ch s ỏng tin ) Hóy tớnh : u ; u ; u Li gii: Thay x,y vo cụng thc u ln( x y ) , tớnh c u 0,81 Vỡ cỏc giỏ tr x = 0,97; y = 1,132 u l cỏc ch s ỏng tin, nờn x 0,005 v y 0,0005 Thay cỏc giỏ trờn vo cụng thc sau: u = 2y x + y Tỡm c x y x y2 V u = u 2,7.10 0,97 u 2,7.10 0,003333 = 0,81 |u | Bi v hng dn cỏch gii ca chng 1.1 Hóy xỏc nh cỏc ch s ỏng tin v cỏc ch s ỏng nghi cỏc s gn ỳng sau , ó bit sai s tuyt i ca nú : a) x 6,1532 ; x 0,032 b) y 1235,632 ; y 0,0051 Tr li : a) Cỏc ch s ỏng tin l : 6, Cỏc ch s ỏng nghi l : 5, ,2 b) Cỏc ch s ỏng tin l : 1,2,3,5,6 Cỏc ch s ỏng nghi l : ,2 1.2 Hóy xỏc nh cỏc ch s ỏng tin v cỏc ch s ỏng nghi cỏc s gn ỳng sau , ó bit sai s tng i i ca nú : a) x 9,1356 ; b) x 0,001 y 15,6327 ; y % Tr li : c) Cỏc ch s ỏng tin l : 9, Cỏc ch s ỏng nghi l : 3, ,6 d) Cỏc ch s ỏng tin l : 1,5 Cỏc ch s ỏng nghi l : ,3,2,7 1.3 Cho u xy a) vi x=3,49 ; y=8,6 b) vi x=25,1 ; y=1,743 10 S tớnh toỏn nghim gn dỳng ca bi toỏn Cụ-Si ( 6_16) c b trớ nh sau : S tớnh toỏn 6.6.2.1 i x u K=hf(x,y) u x0 u0 K 10 K10 x0 h u0 K 10 K 20 K 20 x0 h u0 K 20 K 30 K 30 u0 K 30 K 40 K 40 x0 h u x1 u1 tớnh tip c u chỳng ta coi x1 v u1 nh x v u bc trờn ( i=0) ri lp li ton b cỏc bc tớnh toỏn theo s trờn v c tip tc nh vy , chỳng tớnh cho n u n Vớ d 6.6.2.1 Dựng phng phỏp Runge_Kutta bc bn tớnh gn ỳng nghim ca phng trỡnh vi phõn y ' x y tho iu kin : y(0) vi h=0,05 trờn on [0;0,2] Kt qu tớnh toỏn lm trũn n ch s l thp phõn c cho bng 6.6.2.1 sau: Bng 6.6.2.1 i x 0.025 0.025 0.025 0.05 u h 0.05 0.05 0.05 0.05 K_10 K_20 K_30 K_40 K=h*f(xi,ui) ui 0.05 0.05 0.0525 0.105 0.0525625 0.105125 0.055128125 0.055128125 0.052542188 96 0.05 0.075 0.075 0.1 1.052542 0.05 0.05 0.05 0.05 K_11 K_12 K_13 K_14 0.055127109 0.057755287 0.057820992 0.060518159 0.1 0.125 0.125 0.15 1.110342 0.05 0.05 0.05 0.05 K_21 K_22 K_23 K_24 0.060517091 0.063280019 0.063349092 0.066184546 0.15 0.175 0.175 0.2 1.173668 0.05 0.05 0.05 0.05 K_31 K_32 K_33 K_34 0.066183423 0.069088009 0.069160624 0.072141455 0.2 1.242805 0.055127109 0.115510574 0.115641983 0.060518159 0.057799638 0.060517091 0.126560037 0.126698183 0.066184546 0.063326643 0.066183423 0.138176018 0.138321247 0.072141455 0.069137024 Vớ d 6.6.2.2 Dựng phng phỏp Runge_Kutta bc bn tớnh gn ỳng nghim ca phng trỡnh vi phõn y ' y x sin x tho iu kin : y(0,1) 1,5 vi h=0,1 y trờn on [0,1;0,5] Kt qu tớnh toỏn lm trũn n ch s l thp phõn Kt qu tớnh toỏn lm trũn n ch s l thp phõn c cho bng 6.6.2.2 sau: Bng 6.6.2.2 i x 0.1 0.15 0.15 0.2 u 1.5 1.57466722 1.5780216 1.65638166 h 0.1 0.1 0.1 0.1 K_10 k_20 k_30 k_40 0.2 0.25 0.25 0.3 1.656237 1.737850 1.741350 1.826820 0.1 0.1 0.1 0.1 K_11 K_21 K_31 K_41 0.3 0.35 0.35 0.4 1.826683 1.915590 1.919329 2.012363 0.1 0.1 0.1 0.1 K_12 K_22 K_32 K_42 0.4 0.45 0.45 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1 K_13 K_23 K_33 K_43 2.012226 2.108966 2.113033 2.214266 K=h*f(xi,ui) ui 0.149334444 0.149334444 0.156043201 0.312086402 0.156381665 0.31276333 0.163239331 0.163239331 0.156237251 0.163224681 0.163224681 0.170225906 0.340451812 0.170583122 0.341166244 0.177829012 0.177829012 0.170445291 0.177814862 0.177814862 0.185293866 0.370587732 0.185680023 0.371360045 0.193495736 0.193495736 0.185543063 0.193481513 0.193481513 0.201615573 0.403231147 0.20204014 0.40408028 0.210600739 0.210600739 97 0.201898947 0.5 2.214125 Yờu cu i vi tt c sinh viờn h i hc mi ngnh ngh u phi bit s dng phng phỏp Runge_Kutta bc bn lp trỡnh bng mt ngụn ng lp trỡnh thớch hp gii bi toỏn Cụ-Si i vi phng trỡnh vi phõn ,cng nh i vi h phng trỡnh vi phõn , vỡ õy l phng phỏp t chớnh xỏc cao ó c kim nghim nhiu thc t Bi chng 6 Tớnh gn ỳng nghim gn ỳng ca cỏc phng trỡnh vi phan sau bng cỏc phng php -Le, hỡnh thang , trung im Kt qu tớnh toỏn lm trũn ờn sỏu ch s l thp phõn xe x y y y ' a xy Trờn on [0;1] vi y(0)=1 v bc i h=0,2 b y' c y' x2 y2 d y' y x cos x y Trờn on [0;1] vi y(0)=1 v bc i h=0,2 e y' y x sin x y Trờn on [0;5] vi y(0)=2 v bc i h=0,1 f e x sin x y y y Trờn on [0;5] vi y(0)=1 v bc i h=0,1 ' Trờn on [0;5] vi y(0)=1 v bc i h=0,1 Trờn on [0;5] vi y(0)=1,5 v bc i h=0,1 Tớnh gần nghim ca cỏc bi toỏn sau ph-ơng pháp Runge_Kutta bậc bốn ( Vừa tính máy tính Casio vừa lập trình bng ngụn ng lp trỡnh t chn ) Kết tính toán làm tròn đến sáu chữ số lẻ thập phân a y 2x y y ' Trờn on [0;4] vi y(0)=1,25 v bc i h=0,1 98 b yy ' y x c xyy ' x y Trờn on [0,2;0,8] vi y(0)=1,7 v bc i h=0,1 Trờn on [0,2;0,8] vi y(0)=1,5 v bc i h=0,1 Chng Tớnh gn ỳng nghim ca bi toỏn cụ si i vi h phng trỡnh vi phõn thng tit (LT:4,BT:2) 7.1 H phng trỡnh vi phõn cp 7.1.t Xột h phng trỡnh vi phõn cp dng chớnh tc : y '1 f ( x, y1 , y , , y m ) y ' f ( x, y , y , , y ) 2 m y ' m f m ( x, y1 , y , , y m ) (7_1) Trong ú x l bin c lp , cũn y1(x),y2(x), ,ym(x) l cỏc hm s phi tỡm Hóy tỡm nghim gn ỳng ca h (7_1) trờn on [a,b] tho cỏc iu kin ban u sau : y1 ( x ) u10 y ( x0 ) u y (x ) u m m (7_2) Trong ú: x0=a , u10 , u 20 , , u m0 l nhng s cho trc Mun vy ta chia [a,b] thnh n on nh bng bi cỏc im chia : a=x0