ÔN THI PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐÁP ÁN MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NĂM HỌC: 2012-2013 HỌC KỲ: ĐỀ Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp Đánh giá sai số lần lặp thứ �2 x  y  20t  40 � 10 x  y  z  2t  10 � � �2 y  10 z  t  30 � �x  10 y  z  t  20 Giải Hệ cho tương tương với �x  0,1 y  0,1z  0, 2t  �y  0,1x  0, z  0,1t  � � �z  0, y  0,1t  � t  0,1x  0,15 y  �  I Ta đặt Hệ  I  0,1 0,1 0, � �� �0 � � �� 0,1 0, 0,1 � �� A� ;B  �0 0, 0,1 � �� � � �� 0,1 0,15 0 � �� � viết lại dạng ma trận X  AX  B với A �  0,  (1,0đ) Xét dãy X n   xn yn zn t n  , n �0 , x0  y0  z0  t0  , xây dựng hệ thức: T �xn 1  0,1 yn  0,1zn  0, 2t n  � �yn 1  0,1xn 1  0, zn  0,1tn  � �zn 1  0, yn1  0,1t n  � tn 1  0,1xn1  0,15 yn 1  �  II  (0,5đ) Từ  II  ta tính �1 � � 0,871 � � � � � 1,9 � 1, 2274 � X1  � ; X2  � �2,62 � �2,59302 � (0,5đ) � � � � 1,615 � 1,72879 � � � Ước lượng sai số X  X* với � U � � X  X1 1 A � �  0, 4484 (0,5đ) 0,1 0,1 0, � � � � 0 0, 0,1� U � � 0 0,1� � � 0 0 � � Chú ý: + Nếu ta đặt X  B ta kết sau: � 0,9 � �0,9799 � � � � � 1,11 � 1, 21206 � X1  � ; X2  � �2,578 � �2,583258 � � � � � 1,7435 � � �1,720201 � Khi đó, ta có ước lượng sai số X  X* � U � � X  X1 1 A � �  0,06804 + Có thể đánh giá sai số nhiều cách khác nhau, cho trọn điểm Câu Cho bảng số liệu x y -2 1,7 8,4 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng y  a  e x  1  b  x    Giải Ta lập hàm hai biến   F  a, b   �� a e xi   b  xi     yi � � � (0,5đ) i 1 Hàm F  a, b  đạt cực tiểu �  a  �F � �  b  �F � 3 � xi xi a e   b e  x      yi   e xi  � � i �� � i 1 i 1 i 1 �� 3 �a e xi   xi    b� xi   � yi    xi   � � i 1 i 1 � i 1 �43,77253a  1,71818b  40,37447 ��  1,0đ  5b  8,3 �1,71818a      �a  1,001032 �� b  2,003991 �      0, 5đ   0, 5đ  Câu Cho phương trình x  x   Dùng phương pháp Newton tìm nghiệm gần sau lần lặp đoạn  1; 2 Đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lần lặp thứ Giải Đặt f  x   x  x  , ta có  3x �     0, x � 1;2 2 x 25 � f�  x     x �  0, x � 1; 2 4 x f�  x  Ta xây dựng dãy  xn  n  0,� sau: �  1  nên ta chọn x0  (1,0đ) + Vì f  1 �f � + Với n �0 xn 1  xn  f  xn  x  f�  xn  n xn  xn3  1  3xn2 xn Từ ta tính x1  1,520387 x2  1,324123 x3  1, 288710 (1,0đ) x4  1, 287600 Ước lượng sai số M x4  x* � x4  x3 2m với � � � M  max f � x   max �  x � 12,16  x� 1;2 x� 1;2 �4 x � � � m  f � x   � 3x   � x� 1;2 x� 1;2 x� � Khi đó, M x4  x* � x4  x3  0,000003 (0,5đ) 2m Câu Cho hàm số y  y  x  thỏa mãn hệ �  y  x  1  �y� � � �y    x � 0;1 Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y  0,  với h  0,1 Giải Dựa vào giả thiết ta h  0,1; f  x, y   y  x  1  + Tính y  0,1 �k1 1 � �  1 �k2 � � �k  1 �3 � �k  1 �4  hf  x0 , y0   0,300000  1 � h k �  hf � x  , y  � 0,315288 0 � 2 � � � � h k2 1 �  hf � x  , y  � 0,316054 �0 2 � � �   hf x0  h, y0  k3 1   0,332921 Khi đó,    hf  x1 , y1   0,332909 y  0,1  y0  + Tính y  0,  �k1 2 � �  2 �k2 � � �k  2 �3 � �k  2 �4  1 k1  2k2 1  2k3 1  k4 1  1,315934 (1,0đ) � h k1 2  hf � x  , y  �1 2 � � h k2 2  hf � x  , y  �1 2 � � � � 0,351574 � � � � 0,352528 �  hf x1  h, y1  k3 2  0,373520   Khi đó, y  0,   y1     2 k1  2k2   k3 2  k4 2  1,668373 (1,5đ)