BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐÁP ÁN MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NĂM HỌC: 2012-2013 HỌC KỲ: ĐỀ Câu Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel qua bước lặp Đánh giá sai số lần lặp thứ  x + y + 3z + 10t = 20  20 x − y − 3t = 20    x + y + 10 z + t = 20 10 y + z + 2t = 10 Giải Hệ cho tương tương với  x = 0,1 y + 0,15t +  y = −0,1z − 0, 2t +    z = −0,1x − 0,1 y − 0,1t + t = −0,1x − 0,1 y − 0,3 z + ( I) Ta đặt 0,1 0,15   1  ÷  ÷ 0 −0,1 −0, ÷  A= ;B =  ÷  −0,1 −0,1 2÷ −0,1 ÷  ÷  ÷   −0,1 −0,1 −0,3 2 Hệ ( I ) viết lại dạng ma trận X = AX + B với A ∞ = 0,5 < Xét dãy X n = ( xn yn tn ) , n ≥ , x0 = y0 = z0 = t0 = , xây dựng hệ thức: T zn  xn +1 = 0,1yn + 0,15tn +   yn +1 = −0,1zn − 0, 2tn +   zn +1 = −0,1xn +1 − 0,1yn +1 − 0,1tn + tn +1 = −0,1xn +1 − 0,1 yn +1 − 0,3zn +1 + Từ ( II ) ta tính    1, 289   ÷  ÷ ÷ 0,568 ÷ X1 =  ; X2 =   1,8 ÷  1,6883 ÷  ÷  ÷ 1, 26  1,30781 Ước lượng sai số X − X* với ∞ ≤ U ∞ 1− A ∞ X − X1 ∞ = 0, 2592 ( I) 0,15   0,1  ÷ 0 −0,1 −0, ÷ U = 0 0 −0,1 ÷  ÷ 0  0 Chú ý: + Nếu ta đặt X = B ta kết sau:  1,   1, 2401   ÷  ÷ 0, ÷ 0,5712 ÷ X1 =  ; X2 =   1,62 ÷  1,68547 ÷  ÷  ÷ 1,334   1,313229  Khi đó, ta có ước lượng sai số X − X* ∞ U ≤ ∞ 1− A ∞ X − X1 ∞ = 0,10272 + Có thể đánh giá sai số nhiều cách khác nhau, cho trọn điểm Câu Cho bảng số liệu x y -1 1,7 4,1 Từ bảng số liệu trên, phương pháp bình phương bé tìm hàm có dạng y = a ln x + b ( x − ) + Giải Ta lập hàm hai biến F ( a, b ) = ∑  a ln xi + b ( xi − ) + − yi  i =1 Hàm F ( a, b ) đạt cực tiểu  F ′ ( a ) =   F ′ ( b ) = 3   a ∑ ln xi + b∑ ln xi ( xi − ) = ∑ ( yi − 1) ln xi  i =1 i =1 i =1 ⇔ 3  a ln x ( x − ) + b ( x − ) = ( y − 1) ( x − ) ∑ ∑ ∑ i i i i i  i =1 i =1 i =1 1,687402 a + 1,098612 b = 3,890901 ⇔ = 5,1 1.098612 a + 2b  a = 1,005086 ⇔ b = 1,997900 Câu Cho phương trình e x + x − = Dùng phương pháp Newton tìm nghiệm gần sau lần lặp đoạn [ 0;1] Đánh giá sai số nhận giá trị xấp xỉ nghiệm lần lặp thứ Giải x Đặt f ( x ) = e + x − , ta có f ′ ( x ) = e x + x > 0, x ∈ [ 0;1] f ′′ ( x ) = e x + 12 x > 0, x ∈ [ 0;1] Ta xây dựng dãy ( xn ) n = 0, ∞ sau: + Vì f ( ) × f ′′ ( ) < nên ta chọn x0 = + Với n ≥ xn +1 = xn − f ( xn ) e xn + x − = xn − xn n f ′ ( xn ) e + xn Từ ta tính x1 = 0,893085487 x2 = 0,878190579 x3 = 0,877932627 x4 = 0,877932551 Ước lượng sai số x4 − x* ≤ với M x4 − x3 2m M = max f ′′ ( x ) = max ( e x + 12 x ) = 14,718282 x∈[ 0;1] x∈[ 0;1] m = f ′ ( x ) = ( e x + x ) = x∈[ 0;1] x∈[ 0;1] M x4 − x3 = 4,16 × 10−14 2m Câu Cho hàm số y = y ( x ) thỏa mãn hệ Khi x4 − x* ≤  y′ = xy ( x + 1)   y ( 0,5 ) = ∀x ∈ [ 0,5;1] Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y ( 0,7 ) với h = 0,1 Giải Dựa vào giả thiết ta h = 0,1; f ( x, y ) = xy ( x + 1) + Tính y ( 0,6 )  k1( 1)   ( 1)  k2    k ( 1)    k ( 1)  = hf ( x0 , y0 ) = 0,062500  k ( 1) h = hf  x0 + , y0 + 2   k2( 1) h = hf  x0 + , y0 + 2   ÷ ÷ = 0,073876   ÷ ÷ = 0,074284  = hf x0 + h, y0 + k3( 1) = 0,087662 ( ) Khi đó, y ( 0,6 ) = y0 + + Tính y ( 0,7 ) ( ) ( 1) k1 + 2k2( 1) + 2k3( 1) + k4( 1) = 1,074414  k1( 2)   ( 2)  k2   k ( 2)   k ( 2)  = hf ( x1 , y1 ) = 0,087672 ( 2)  k h = hf  x1 + , y1 + 2   k ( 2) h = hf  x1 + , y1 + 2   ÷ ÷ = 0,103396   ÷ ÷ = 0,104123  = hf x1 + h, y1 + k3( 2) = 0,122921 ( ) Khi đó, y ( 0,7 ) = y1 + ( ) ( 2) k1 + 2k2( ) + 2k3( 2) + k4( 2) = 1,178686