NW359 360 DẠNG 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP hàm số GIẢI PHƯƠNG TRÌNH mũ và LOGARIT GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 47: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Định lý: Nếu hàm số * đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục f ( x ) = k ( k = const ) Định lý: Nếu hàm số * y = f ( x) ∀u; v ∈ ( a; b ) : f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v * Phương trình * KIẾN THỨC CẦN NHỚ: y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) đồng biến ( a; b ) nghịch biến Định lý: Nếu hàm số có nhiều nghiệm khoảng liên tục : ( a; b ) y = f ( x) : ∀u; v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v : ∀u; v ∈ ( a; b ) : f ( u ) > f ( v ) ⇔ u < v đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục lim f ( x ) lim− f ( x) < x→a+ ( a; b ) ( a; b ) ( a; b ) x →b f ( x ) = k ( k = const ) phương trình Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: b, c a ≠1 Cho số dương số dương log a b > log a c ⇔ b > c a >1 o Khi log a b > log a c ⇔ b < c < a ⇔ b > a >1 o Khi log a b > ⇔ b < < a 0, a ≠ log a = − log a b b Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Logarit lũy thừa: a, b > 0, a ≠ α Cho , với mọi , ta có log a bα = α log a b log a n b = Đặc biệt: Công thức đổi số: a, b, c a ≠ 1, c ≠ Cho số dương với , ta có log c b log a b = log c a 1 log a c = log aα b = log a b log c a α Đặc biệt: với α ≠0 log a b n n ( nguyên dương) BÀI TẬP MẪU Câu 47 ĐỀ MINH HỌA LẦN - BDG 2020-2021) a ( a ≥ 2) Có số nguyên B A (a x cho tồn số thực C log x + 2) log a = x − 2? thỏa mãn D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện x > Đặt y = a log x + > y log a = x - Û a log y + = x ìï y = a log x + ïí ïï x = a log y + î Từ ta có hệ t x³ y f (t ) = a + f ( y) ³ f ( x) ¡ nên hàm số đồng biến Giả sử y ³ x, x £ y x = y kéo theo tức phải có Tương tự x = a log x + x >0 x - x log a = Vì , ta đưa xét phương trình với hay log a x > x Û > log a Û a 2 Ta phải có g ( x ) = x - x log a - = x log a ( x1- log a - 1) - a < 10 Ngược lại, với xét hàm số liên tục có lim g ( x ) = +¥ g (2) < xđ+Ơ v g ( x) (2; +Ơ ) a ẻ {2, 3,K , 9} nên có nghiệm Do đó, mọi số thỏa mãn Do a³ Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Có giá trị nguyên tham số e3 x +5 y − e x+3 y +1 = − x − y A m để tồn cặp số thỏa mãn log 32 ( 3x + y − 1) − ( m + ) log x + m + = , đồng thời thỏa mãn B C Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x; y ) D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B x +5 y + ( 3x + y ) = e x +3 y +1 + ( x + y + 1) e3 x +5 y − e x +3 y +1 = − x − y ⇔ e Ta có: t t f ( t) = e +t f ′( t ) = e +1 > ¡ ¡ Xét hàm số Ta có nên hàm số đồng biến f ( x + y ) = f ( x + y + 1) ⇔ x + y = x + y + ⇔ y = − x Do phương trình có dạng: log 32 x − ( m + ) log x + m + = Thế vào phương trình cịn lại ta được: 2 t − ( m + 6) t + m + = t = log x Đặt , phương trình có dạng: ∆ ≥ ⇔ −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Để phương trình có nghiệm m Do có số nguyên thỏa mãn  2x −1  log  = y +1 − 2x ? ÷ ( x; y ) ≤ y ≤ 2020  y  Có cặp số nguyên thỏa mãn 2019 2020 11 A B C D Lời giải Chọn B y ≠  x  −1 > ⇔ 2x > ⇔ x >  y   y ≥ Từ giả thiết ta có: ⇔ log ( x − 1) + x − = log y + y (*) Ta có: PT f ( t ) = log t + t ( 0; +∞ ) Xét hàm số f ′( t ) = +1 > f ( t ) = log3 t + t ( 0; +∞ ) t ln Khi đó hàm số đồng biến x x f ( − 1) = f ( y ) ⇔ y = − (*) có dạng ≤ y ≤ 2020 ⇔ ≤ x − ≤ 2020 ⇔ ≤ x ≤ 2021 ⇔ ≤ x ≤ log ( 2021) Vì 0 ≤ x ≤ log ( 2021) ⇔ x ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10}  ( x; y )  x ∈ ¢ 11 Vậy có cặp thỏa mãn ( x; y ) Có cặp số nguyên log ( 512 x + 768 ) + x − = y + 16 A 2019 B thỏa mãn ≤ x ≤ 2020 y ? 2020 C Lời giải D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Ta có: log ( 512 x + 768 ) + x − = y + 16 y ⇔ log 256 ( x + ) + x − = y + y ⇔ log ( x + 3) + ( x + 3) = y + y f ( t) = t + t Xét hàm số t f ' ( t ) = + ln > 0, ∀x ∈ ¡ ¡ Suy hàm số đồng biến log ( x + 3) = y ⇔ x + = 16 y ⇔ x = Khi đó: ≤ x ≤ 2020 ⇔ ≤ Vì: y ∈ ¢ ⇒ y ∈ { 1; 2} Mà y =1⇒ x = Với 13 ( l) y =2⇒ x = Với y 16 y − ≤ 2020 ⇔ ≤ 16 y ≤ 4043 ⇔ log16 ≤ y ≤ log16 4043 253 ( l) Vậy khơng có cặp số Câu 16 − ¡ ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu tốn x3 + y = a ×103 z + b ×102 z a; b Giả sử số thực cho: với mọi số thực dương x; y; z A 31 thỏa mãn: log ( x + y ) = z log ( x + y ) = z + B 29 − Giá trị a+b 31 là: − C Lời giải D 25 Chọn B Đặt t = 10 z Ta có: Khi đó: x + y = a.t + b.t   x + y = 10 z = t t − 10.t log ( x + y ) = z ⇔ ⇒ xy =   2 2 z  log ( x + y ) = z +  x + y = 10.10 = 10t x + y = ( x + y ) − xy ( x + y ) = t − 3 3 Khi đó: a=− Suy ra: b = 15 3t ( t − 10t ) = − t + 15t 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU a+b = Vậy Câu 29 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( xy − 1) 22 xy −1 = ( x + y ) x x y Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức giá trị nhỏ A ymin = ymin y B +y Tìm ymin = C Lời giải ymin = D ymin = Chọn B ( xy − 1) 2 xy −1 = ( x + y ) x + y ⇔ ( xy − − 1) 22 xy −1 = ( x + y ) x + y +1 ( 1) Ta có Xét hàm Khi f ( t ) = ( t − 1) 2t với t ≥1 f ′ ( t ) = 2t + ( t − 1) 2t.ln > với ∀t ≥ x +2 ⇔ y = ⇔ xy − = x + y + ( ) 2x −1 Từ y′ = 2x2 − x − ( x − 1) =0 x = ⇔ ⇔ x2 − x − =  x = −1 x = −1 Loại điều kiện Ta có bảng biến thiên: Vậy GTNN Câu y t nên f ( 2) = x=2 y x Có số nguyên cho tồn số thực thỏa mãn A B C Lời giải Chọn B Đặt log ( x + y ) = log ( x + y ) = t TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Điều kiện: x + y >0 log ( x + y ) = log ( x + y ) D Vô số Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Suy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ìï x + y = 3t ìï x + y = 3t ï ïìï x + y = 3t ïí ïí t t Û Û í 2 ïï x + y = 4t ïï ( x + y ) - xy = 4t ïï xy = - ỵ ïỵ ïïỵ ỉ 9t ³ ỗ ỗ ỗ ố t S P Û ( x + y ) ³ xy x, y Để tồn t £ log Khi 2 log » 3, 27 Ta có: Với x = −1 nên t tư ỉư - 4ữ t 9ữ ữ Ê 2.4t ỗ ữ ỗ ữ ữÊ ỗ ữ ố4 ứ ø nên log ( x + y ) = t £ log Û x + y £ x S = 3t 9t - t Mặt khác Thử lại: P= số nguyên nên ta có x =- 1; x = 0, x =  y = 3t + t ≥ ⇒ ⇒ x2 + y2 ≥   t  y + = ≥  y ≥  y = t = ⇒   t y =1  y = Suy loại x = −1 t Với x=0 ta có Suy nhận t =  y = − ⇒  t  y = −  y = x=0 t Với x =1 ta có x =1 x=0 x =1 thỏa yêu cầu toán  4a + 2b +  log  ÷ = a + 3b −  a+b  a b Cho , hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Vậy có hai giá trị nguyên Câu Suy nhận biểu thức A T = a + b2 x B C Lời giải D Chọn D  4a + 2b +  log5  ÷ = a + 3b − ⇔ log5 ( 4a + 2b + 5) = log5 ( a + b ) + a + 3b −  a+b  ⇔ log5 ( 4a + 2b + 5) + ( 4a + 2b + 5) = log5 5 ( a + b )  + ( a + b ) Xét hàm f ( x ) = log5 x + x, x > f ′( x) = + > 0, ∀x > x.ln Đạo hàm Phương trình (*) viết lại: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA (*) Suy hàm số f ( x) đồng biến ( 0; +∞ ) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f ( 4a + 2b + 5) = f ( ( a + b ) ) ⇔ 4a + 2b + = ( a + b ) ⇔ a + 3b = 52 = ( a + 3b ) ≤ ( 12 + 32 ) ( a + b2 ) ⇒ T = a + b2 ≥ Mặt khác: Dấu Câu "=" ⇔ a b = ⇒ a = ;b = 2  1− 2x  ln  ÷ = 3x + y − Pmin  x+ y  x y Xét số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P= xảy 1 + x xy A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = 16 Lời giải Chọn A 0< x < Điều kiện Từ giả thiết Xét hàm số  1− 2x  ln  ÷ = 3x + y − ⇔ ln 1− 2x + 1− 2x = ln x + y + x + y ( ) ( ) ( ) ( )  x+ y  f ( t ) = ln t + t ( 0; +∞ ) ( 1) f ′ ( t) = + 1> f ( t) ∀t > t có , hàm đồng biến ( 0; +∞ ) khoảng ( 1) ⇔ 1− 2x = x + y ⇔ 3x + y = ( 2) Vậy 1 2 P= + ≥ + = + x xy x x + y x 1− 2x Có 4x − g′ ( x) = − + = 2 2 g( x) = + g′ ( x) = ⇔ x = x ( 1− 2x) x − x ( ) x 1− 2x Đặt , ta có suy Ta có bảng biến thiên: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU g( x) =  1  0; ÷  2 Do Câu Cho hai số thực P = 2a + 4b − A Vậy a; b Pmin = thỏa mãn: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ log a2 +b2 ( a + b ) ≥ a + b2 > Giá trị lớn biểu thức : 10 10 B C Lời giải 10 D 10 Chọn B Điều kiện: a+b > a + b2 > log a2 +b2 ( a + b ) ≥ Do nên 2 ⇔ a −a +b −b ≤ 1  1  ⇔ a − ÷ +b + ÷ ≤ 2  2  Ta có: 1 1   P = 2a + 4b − =  a − ÷+  b − ÷ 2 2   2  1  1  ⇒ P ≤ ( 22 + 42 )  a − ÷ +  b − ÷  ≤ 10 2     Suy ra: Câu 10 − 10 ≤ P ≤ 10 Có số nguyên hai nghiệm thực phân biệt ? A B m để phương trình log ( x + m ) − log x = x − x − 2m − 1 C Lời giải D có Chọn C x >   m  x > − Điều kiện log ( x + m ) − log x = x − x − 2m − ⇔ log ( x + m ) − log x = x − ( x + m ) − ⇔ log ( x + m ) + ( x + m ) + = log x + x ⇔ log 2 ( x + m ) + ( x + m ) = log x + x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA (1) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f ( u ) = log u + u, ( u > ) f '( u ) = +1 > u ln (0; +∞) , hàm số đồng biến 2 ⇔ f ( ( x + m ) ) = f ( x ) ⇔ ( x + m ) = x ⇔ x − x = 2m Khi (1) Xét hàm số g ( x ) = x − x, ( x > ) Phương trình có nghiệm dương −4 < 2m < ⇔ −2 < m < suy có giá trị nguyên  Mức đợ Câu y x Có số nguyên cho tồn số thực thỏa mãn A B C Lời giải Chọn B 2 x + y = log t  2 2 x + y = 3x + y = t  x + y = log t Đặt , suy ( x + y)   1  = x + y ÷ ≤  + 1÷( x + y )   2  x + y = log t = log 3.log t ≤ 3, Mà = 3x + y ? D Vô số nên x ∈ { −1;0;1}  y = log t = log 3.log3 t   y = log t + Với + y2 nên suy ra: 3 log 32 t ≤ log t = log 3.log t ⇒ log t ≤ log ≈ 2,37 2 x∈¢ 2 Ta có Do 22 x x=0 , ta có , suy  + y = log t = log 3.log t  1 + y = log t y = y = y.log ⇔   y = log + với x =1 , ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , suy Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ + y = log ( + y ) ⇔ y − log y + − log = phương trình có nghiệm 2 + y = log t = log 3.log3 t  −1 + y = log t x = −1 + Với , ta có , suy 2 + y = log ( −1 + y ) ⇔ y − log y + + log = phương trình vơ nghiệm Câu y x Có số nguyên để tồn số thực thỏa mãn A B C Lời giải Chọn B  x + y = 3t log ( x + y ) = log ( x + y ) = t ⇔  2 t  x + y = Đặt log ( x + y ) = log ( x + y ) ? D vô số (*) t Ta có ( x + 2y) Suy Vì ≤ ( + 4) ( x2 + y ) = ( x2 + y ) x + y = 2t ≤ y ∈¢ log ≈ 2.1 9 ≤ 5.2 ⇔  ÷ ≤ ⇔ t ≤ log 2 t nên: t y ∈ { −1;0;1} nên y = −1 +Với , hệ (*) trở thành t t  x − =  x = + t ⇔ ⇒ + = 2t − ⇔ 9t + 4.3t + − 2t = ( )   t t  x + =  x = − Nếu t t t t t t t ≥ ⇒ − ≥ ⇒ + 2.3 − + > Nếu Vậy (**) vô nghiệm - Với y=0 (**) hệ (*) trở thành t t  x = 9 t t ⇒ = ⇔  ÷ =1⇔ t = ⇒ x =1  t 2  x = 2  x + = ⇒ ( 3t − ) = 2t − ( ***)  t  x + = t - Với y =1 hệ (*) trở thành t =1⇒ x =1 Dễ thấy (***) ln có nghiệm y = 0, y = y Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn Câu Có cặp số nguyên ( x, y ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA log thỏa mãn x+ y = x ( x − 3) + y ( y − ) + xy x + y + xy + 2 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C Lời giải D Chọn D x+ y > ⇔ x + y > x + y + xy + 2 Điều kiện log x+ y = x ( x − ) + y ( y − ) + xy x + y + xy + 2 ⇔ log ( x + y ) − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy − 3x − y ⇔ log ( x + y ) + − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy + − x − y ⇔ log ( 3x + y ) + ( 3x + y ) = 2log ( x + y + xy + ) + x + y + xy + f ′( t ) = f ( t ) = log t + t , t ∈ ( 0; +∞ ) , Xét hàm đặc trưng ta có f ( t) ( 0; +∞ ) Suy hàm đồng biến khoảng + > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t.ln ⇔ f ( x + y ) = f ( x + y + xy + ) ⇔ x + y + xy + = 3x + y Phương trình ⇔ x + ( y − 3) x + y − y + = Điều kiện y để phương trình có nghiệm ⇔ −3 y + y + ≥ ⇔ Do y ∈¢ + Với + Với + Với y=0 y =1 3− 3+ ≤ y≤ 3 y ∈ { ;1 ; 2} , ta , ta y=2 Vậy có Câu nên , ta ( y − 3) − ( y2 − y + 2) ≥ x = x2 − 3x + = ⇔  x = x = x2 − x = ⇔  x = x = x2 − x = ⇔  x = cặp số thỏa mãn đề Có giá trị nguyên dương tham số e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = − x − y thời A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA m để tồn số thực x, y thỏa mãn đồng log ( x + y + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = C D Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C Ta có e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = − x − y ⇔ e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = ( x + y − ) − ( 3x + y − 10 ) ⇔ e3 x +5 y −10 + ( 3x + y − 10 ) = e x+ y −9 + ( x + y − ) ( 1) f ( t) = e + t t Xét hàm số liên tục ¡ , có f ′ ( t ) = et + > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t ) = et + t ( −∞; +∞ ) Do đồng biến ( 1) ⇔ 3x + y − 10 = x + y − ⇔ x + y = Khi phương trình log 52 ( x + y + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = ⇔ log 52 ( x + ) − ( m + ) log5 ( x + ) + m + = t = log5 ( x + ) , t ∈ ¡ Đặt , ta 2 t − ( m + 6) t + m + = ( 2) ( 2) ⇔ ∆ = ( m + ) − ( m + ) = −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ có nghiệm m Câu Vậy số giá trị nguyên dương tham số thỏa mãn giá trị log (2 x + 2) + x − y = y ( x ; y) ≤ x ≤ 2020 Cho Có cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện trên? A 2019 B 2018 C D Lời giải Chọn D log (2 x + 2) ≤ x ≤ 2020 Do nên ln có nghĩa y log (2 x + 2) + x − y = Ta có ⇔ log ( x + 1) + x + = y + 23 y ⇔ log ( x + 1) + 2log2 ( x +1) = y + 23 y (1) Xét hàm số f (t ) = t + 2t Tập xác định D=¡ Suy hàm số f (t ) ⇔ y = log8 ( x + 1) f ′(t ) = + 2t ln ⇒ f ′(t ) > ∀t ∈ ¡ đồng biến ¡ Do (1) ⇔ log ( x + 1) = y ⇔ x + = y TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ≤ x ≤ 2020 Ta có Lại có log 2021 ≈ 3, 66 ( x ; y) Vậy có cặp số Câu nên Cho hai số thực biểu thức − A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ≤ x + ≤ 2021 nên y ∈¢ suy ≤ log ( x + 1) ≤ log8 2021 y ∈ { 0;1; 2;3} nguyên thỏa yêu cầu toán cặp (0;0) (7 ;1) (63; 2) (511;3) , , , x + x − y + = log x, y không âm thỏa mãn P = e x −1 + x − y + y +1 x +1 Giá trị nhỏ B C D −1 Lời giải Chọn A y +1 2 ⇔ ( x + 1) + log 2 ( x + 1) = log ( y + 1) + ( y + 1) x +1 ( x + x − y + = log Xét hàm số f ( t ) = t + log t , ( t > ) f ′( t ) = 1+ ; ( x + 1) = y + ⇒ y = ( x + 1) − Suy g ′ ( x ) = 2e x −1 Vậy tất 2017  a  2 + a ÷   A 29 hàm số đồng biến nửa khoảng nghiệm, nhẩm nghiệm Có + x − ( x + 1) + + = e2 x −1 + x − x = g ( x ) x= Câu > 0, ∀t > t.ln + 4x − P = − P = e x −1 + x − y + = e x −1 ) x= bao giá [ 0;+∞ ) nên g′( x) = có tối đa nên nghiệm trị nguyên tham số a thuộc ( 1999; 2050 ) để a   ≤  22017 + 2017 ÷   B 33 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C Lời giải 34 D 32 Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B 2017  a  2 + a ÷   Ta có: a   ≤  22017 + 2017 ÷   ⇔ 2017 ln ( 2a + − a ) ≤ a ln ( 22017 + 2−2017 ) ⇔ ln ( 2a + 2− a ) ≤ a ln ( 22017 + 2−2017 ) 2017 f ( x) = Xét hàm số f ′( x) = (2 ln ( x + 2− x ) x x ( x + 2− x ) x ln = ln < ln ( + Suy x f '( x) < ⇒ f ( x) ln ( + a Vậy có: 33 −a a Do đó: ⇔ a ≥ 2017 Câu Chọn B Điều kiện PT D = ¡ \ { 0} ) < x − 2− x < x + 2− x ( Do x ∈ ( 1999; 2050 ) ) nghịch biến ) ≤ ln ( giá trị m ∈ ( −18;18 ) 20 −x 2017 + −2017 ) 2017 Cho phương trình A Tập xác định − − x ) x ln − ( x + − x ) ln ( x + − x ) x x Vì : a ∈ ( 1999; 2050 ) ; a x + m = log ( x − m ) với m tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có hai nghiệm ? 17 B C Lời giải D 21 x>m ⇔ x + x = x − m + log ( x − m ) ⇔ x + x = 2log5 ( x −m ) + log ( x − m) Xét hàm số ¡ biến f ( t ) = 2t + t , ∀t ∈ ¡ Từ (1) suy Xét hàm số ; Ta có: (1) f ′ ( t ) = 2t ln + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số f ( t) đồng f ( x ) = f ( log ( x − m) ) ⇔ x = log ( x − m) ⇔ x − m = x ⇔ m = x − x g ( x ) = x − 2x ( m; +∞ ) Ta có: g ' ( x ) = − x ln ; g ' ( x ) = ⇔ x ln = ⇔ x = log ( log e ) ⇒ g ( log ( log e ) ) = log ( log e ) − log e TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ lim g ( x ) = m − 2m ; lim g ( x) = −∞ x →m+ x →+∞ Bảng biến thiên: Do Phương trình cho có nghiệm m − 2m < m < log ( log e ) − log e ⇔ m < log ( log e ) − log e ≈ −0,91 Vì  m ∈ ¢   m ∈ ( −18;18 ) m ∈ { −17; −16; −15; ; −1} nên m Vậy có 17 giá trị Câu Cho số dương A = 6x + y + A x, y + x y 31 thỏa mãn  x + y −1  log  ÷+ 3x + y ≤  2x + y  Giá trị nhỏ biểu thức B 11 C 27 D 19 Lời giải Chọn D  x + y −1 >0  ⇔ x + y >1  2x + 3y  x, y >  ĐK: Ta có:  x + y −1  log  ÷+ x + y ≤  2x + 3y  ⇔ ( log ( x + y − 1) + 1) + ( x + y − 1) ≤ log ( x + y ) + x + y ⇔ log 5 ( x + y − 1)  + ( x + y − 1) ≤ log ( x + y ) + x + y ( *) Xét hàm số f (t ) f (t ) = log ( t ) + t đồng biến trên ( 0; + ∞ ) f ′(t ) = , + > 0, ∀t ∈ ( 0; + ∞ ) t ln nên hàm số ( 0; + ∞ ) ( *) ⇔ ( x + y − 1) ≤ x + y ⇔ x + y ≤ Mặt khác, ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A = 6x + y + 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  4  9 + =  x + ÷+  y + ÷− ( x + y ) ≥ 2.6 + 2.6 − = 19 x y  x  y Dấu “ = ” xảy Vậy GTNN  x =  x   x=    ⇔ 4 y = ⇔ y  y = 3 x + y =    A (thỏa mãn điều kiện) 19 Câu 10 Có tất giá trị nguyên tham số 2019 x + A 4038 x − mx − 2m − + =0 x +1 x−2 B 2019 m ∈ [ −2019; 2019] có nghiệm thực phân biệt ? 2017 C Lời giải để cho phương trình D 4039 Chọn C D = ¡ \ { −1; 2} TXĐ: Ta có x − mx − 2m − 2019 x + + =0 x +1 x−2 x − m( x − 2) − ⇔ 2019 x + + =0 x +1 x−2 2x −1 ⇔ 2019 x + − = − m (*) x +1 x − f ( x) = 2019 x + Đặt 2x −1 − x +1 x − Khi f '( x) = 2019 x ln 2019 + + > ∀x ∈ D ( x + 1) ( x − 2) Ta có bảng biến thiên (*) Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực phân biệt − m > ⇒ m < −2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Mà m ∈ [ −2019; 2019] m∈¢ ( 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ nên có ) ( 2017 3x 32 x + − 3x + m + Câu 11 Cho phương trình giá trị nguyên âm A B m ) giá trị m thỏa mãn 3x + m + = x + m + , với để phương trình có nghiệm thực? C Lời giải m tham số Có D Chọn A ( ) ( x 32 x + − x + m + ( ) 3x + m + = 3x + m + ) ( ⇔ 3x 32 x + = 3x + m + ( ⇔ 33 x + 3x = 3x + m + ⇔ 33 x + 3x = ( ) ) x + m + + 3x + m + 3x + m + + x + m + ) 3x + m + + x + m + f ( t) = t +t Xét hàm đặc trưng ⇔ 33 x + 3x = Vậy ( ) có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ 3x + m + + 3x + m + ⇔ f ( x ) = f ⇔ 3x = 3x + m + ⇔ 32 x − 3x − = m ( 3x + m + ) (*) g ( u) = u2 − u − u>0 , với điều kiện đặt ⇔ g ( u) = m Phương trình (*) g ′ ( u ) = 2u − g ′ ( u ) = ⇔ u = g ( u) , ta có bảng biến thiên : Đặt u = 3x m>− 13 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm thực m Vậy có tất giá trị nguyên âm để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1 Câu 12 Cho phương trình 3x ( 32 x + 1) − ( 3x + m + ) 3x + m + = 3x + m + giá trị nguyên âm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA m , với m tham số Có để phương trình có nghiệm thực? Trang 17 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B C Lời giải D Chọn A ( ) ( x 32 x + − x + m + ( ) 3x + m + = 3x + m + ) ( ⇔ 3x 32 x + = 3x + m + ( ⇔ 33 x + 3x = 3x + m + ⇔ 33 x + 3x = ( ) ) x + m + + 3x + m + 3x + m + + x + m + ) 3x + m + + x + m + f ( t) = t +t Xét hàm đặc trưng ⇔ 33 x + 3x = Vậy ( ) có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ 3x + m + + 3x + m + ⇔ f ( x ) = f ⇔ 3x = 3x + m + ⇔ 32 x − 3x − = m ( 3x + m + ) (*) g ( u) = u2 − u − u>0 , với điều kiện đặt ⇔ g ( u) = m Phương trình (*) g ′ ( u ) = 2u − g ′ ( u ) = ⇔ u = g ( u) , ta có bảng biến thiên : Đặt u = 3x m>− 13 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm thực m Vậy có tất giá trị ngun âm để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1 Câu 13 Có bao 2021x −a A 3log( x +1) nhiêu (x số tự + 2020 ) = a nhiên 3log( x +1) B a cho tồn số thực x thoả + 2020 C D 12 Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 2021x −a 3log ( x +1) = 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a 3log( x+1) + 2020 x + 2020 Xét phương trình: , điều kiện: 3log x + 3log x + ⇔ x3 − a ( ) = log 2021 a ( ) + 2020 − log 2021 ( x + 2020 ) ( ) ( x > −1 , ) ⇔ x3 + log 2021 ( x + 2020 ) = a 3log( x+1) + log 2021 a3log( x +1) + 2020 ( ∗) Xét hàm số f '(t ) = 3t + Do f (t ) = t + log 2021 ( t + 2020 ) , ( 0; +∞ ) 3t > 0, ∀t > ( t + 2020 ) ln 2021 ( ∗) x=a log ( x +1) trở thành: log x ⇔ log a = < 1, ∀x > −1 log ( x + 1) Câu 14 Cho số thực trị nguyên A z x, y , z ( 0;+∞ ) f (t ) nên hàm số đồng biến log a ⇔ x = ( x + 1) ⇔ log x = log a.log( x + 1) nên a < 10 ⇒ a ∈ { 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} ( ) ( ) log3 2x2 + y2 = log7 x3 + 2y3 = log z thỏa mãn để có hai cặp 211 B ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức 99 C Lời giải Có bao giá D Chọn B 2x2 + y2 = 3t ( 1)  log3 2x2 + y2 = log7 x3 + 2y3 = log z = t ⇔ x3 + 2y3 = 7t ( 2)  t ( 3)  z = 10 ( Ta có ) ( ) 2t + Nếu + Nếu y = ( 2) ⇒ x = t thay vào ( 1) 2.7 = 3t ⇔ t = log ta 3 49 log z = 10 3 49 y≠0 Từ ( 1) & ( ) ( (  2x2 + y2    x3 + 2y3  ) ) suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x + 2y ) ⇒ = 49 ( 2x + y ) = 27t t 3 2   x 3    ÷ + 2÷ t t  y ÷  49   =  49  , * = ÷ ⇔   27 ÷ ( )  27      x 2   2 ÷ + 12 ÷   y ÷   Trang 19 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU f ( u) = x = u,u ≠ − y Đặt ( 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ) u3 + 2 ( 2u + 1) ⇒ f ′ ( u) = ( ) 6u u3 + ( u − 4) ( 2u + 1) Xét u =  = ⇔ u = − u =  Ta có bảng biến thiên Nhận xét với giá trị u tương ứng với cặp z 211 số nguyên nên có A log5 x +3 ) log5 m = x − ( 1) m với m >1 cho tồn số thực x thỏa mãn: B giá trị thỏa mãn Câu 15 Có giá trị nguyên (m thỏa mãn tốn   49 t  log49  81÷ log 49  ≤ ÷ 0 mlog5 x + = u thay vào phương trình ( 1) u log5 m = x − ⇔ x = u log5 m + ta được: u = mlog5 x +  log5 m +3 u log5 m = mlog5 u x = u Vì Từ ta có hệ Phương trình t f ( t) = m + ¡ Xét hàm đặc trưng f ( t) m >1 ¡ Do Suy hàm số đồng biến TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f ( log x ) = f ( log u ) ⇔ x = u Do đó, Vì thế, ta đưa xét phương trình: ( x = m log5 x + ⇔ x = x log5 m + ⇔ x − = x log5 m ) ⇔ log ( x − 3) = log x log5 m ⇔ log ( x − 3) = log x.log m ⇔ log m = Do log m = x>0 Suy x −3< x nên nên  m∈¢ ⇒ m ∈ { 2,3, 4}  1 < m < log ( x − ) 0 ĐK: Đặt y = mln x + > vào phương trình ta có y ln m + = x ⇔ x = + m ln y m ln y = y ln m ( 1) ( 2)  y = mln x +  ln y  x = m + Khi ta có hệ phương trình: Xét hàm số ¡ Khi đó: Từ (2) : (Do m≥2 ) Nên hàm số f ( t) đồng biến x= y x = mln x + ⇔ x ln m = x − ⇔ ln ( x ⇔ ln m = x>0 Do f ( t ) = mt + ⇒ f ' ( t ) = ln m.mt > ln m ) = ln ( x − ) ⇔ ln m.ln x = ln ( x − ) ln ( x − ) ln x x − < x ⇒ ln ( x − ) < ln x ⇒ nên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ln ( x − )