Bất phương trình mũ và logarit ôn thi đại học và cao đẳng

VẤN ĐỀ 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT-MŨ... LOGARIT-Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ bất phương trình Logarit-Mũ A.. Giả sữ fx , gx và αx là hững hàm số

VẤN ĐỀ 6

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT-MŨ

LOGARIT-Vấn đề 6

Bất phương trình Logarit-Mũ và hệ bất phương trình Logarit-Mũ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên một tập con D của R, khi đó :

a) Nếu a > 1 thì bất phương trình logaf(x) > logag(x)

(1) tương đương với hệ bất phương trình

( ) ( ) ( )

II Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con

D của R Khi đó bất phương trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) tương đương với 2 hệ bất phương trình :

B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

Giải bất phương trình sau :logx( ) 3 x ≤ log ( ) 3 x3

Giải Điều kiện x > 0 và x ≠ 1

log

0 3 log

(1) 0 3x

log

0 log3x

2 2

3

x x

x

x x

log

1 log 3 log

3

x

x x

01313

x x

x x

3 log

0 2 3 1 0

2

x x

x x

2

1 3

1 0

x

x x

b 3

1 0

3 1 1

3 1

3

1 x 0

1 3 log

2

1

1 3 log

x x

x

x x

x

x

x x

Hợp (a) và (b) và (c) ta có x > 0

Giải bất phương trình sau : log2(1 +

9 1log x – log9x) < 1

Giải Điều kiện : x > 0

⇔ 1 – log9x – log9x < 1 (với x > 0) ⇔ 1 – 2log9x < 1

t t

-lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10

⇔ x > 10-2 ⇔ x >

100 1

− : bất phương trình vô nghiệm

KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x >

100 1

5

3 = 1 Vậy ta có BPT : t2 + 2at + 2a + 1 < 0

Vậy ta có f(t) = t2 + 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t ∈(0;1]

2 1 2

2

+

Giải TXĐ : x > 0

06xlog)5x2(x

) 1 x ( 5

3 +Để biết vị trí của t1 và t2 ta cần biết dấu của hiệu số của chúng

Do đó ⇒

• Xét hiệu t1 – t2 =

1 x

1 x 1 x

3 2

+

−

= +

3 x log

2 x log t

x

log

t

t x

1

) 5 (

) 4 (

Khi 0 < x ≤

2

1 thì (4) thoả , (5) vô nghiệm

Suy ra 0 < x ≤ 1 là nghiệm của (3)

Bài 7

Với giá trị nào của m thì : y = 2log2[(m+1)x2−2 mx−m] có tập nghiệm xác định là R

Giải Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R

• m = -1 : 0.x2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x >

-2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛− ,+∞

2

1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R

• m ≠ -1 (*) ⇔

⎩ ⎨ ⎧ > + < ∆ 0 1 m 0 ' ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − > < + + 1 m 0 1 m m2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ − > ∅ ∈ 1 m m ⇔ m ∈ ∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài 8 Giải bất phương trình : ( x e 8 ) x e 8 x4 − x − 1 > 2 x − 1− (Đại Học Xây Dựng 2001) Giải ( x e 8 ) x e 8 x4 − x − 1 > 2 x − 1 − ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > 0 ⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > 0 (*)

Xét hàm số : f(x) = x – ex-1 f’(x) = 1 – ex-1 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên : x -∞ 1 +∞

f’(x) + 0 -

f(x) 0

-∞ +∞

Bảng biến thiên cho :

f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1)

Dể thấy x = 1 không thỏa (*)

Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 Khi đó : (*) ⇔ x3 + 8 < 0 ⇔ x < -2

<

<

11mx

2

x

1m

1m

)1(0mx2x

1m0

2 2

Xét (1) : ta thấy x2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x

Xét (2) :x2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R

+ + − < với mọi giá trị của m : 0 < m ≤ 4

(Đại học Giao thông vận tải ) Giải

Vì x > 1 ⇒ 2(x2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4

⇒

m

) x x (

2 2 + > 1 và x + m – 1 > 0

Bất phương trình đã cho được viết thành :

x+ m –1 <

m

) x x (

Giải bất phương trình : 2x + 23-x ≤ 9

(Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A

năm1998 – 1999) Giải

Đặt t = 2x với t > 0 ta được : t2 – 9t + 8 = 0

Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 và 8 Tam thức ấy âm khi và chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8

Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3

Bài 11

a) Giải bất phương trình 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1)

b) Định m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình :

(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0

(Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999)

Giải a) Ta có : 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + 4 ≤ 0

Đặt t = 2x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t2 – 9t + 4 ≤ 0

Nghiệm của tam thức theo t là

Bài 12

Giải bất phương trình :

3

1 6

(1) ⇔

x x

1

x x

Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11

Bài 13

Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương :

( ) ( )

0 3 1

a x a

a x a

(Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải

Xét a = -1

Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3

Hai bất phương trình ấy không tương đương

11) log log3 44x 1 log1/ 3log1/ 4 x 1;

1) log (3x 1) log (2 x);2 + < 2 − 2) log (7x 3) log (1 2x);7 − ≥ 7 −

3) log1/ 2(3x 1) log − ≤ 1/ 2(3 x); − 4) log0,7(x 2) log− > 0,7(3x 4);−

Khi x ≥ 1 , x ≤ 0 , ta có : x – x2 ≤ 0 Vậy 0 < y ≤ 1

Ta đưa về bài toán : Tìm m để bất phương trình

f(y) = 25y2 - (m + 1) y – m < 0 thoả mãn với mọi y sao cho 0 < y ≤ 1

⇔ f(y) có 2 nghiệm y1 ; y2 thoả y1 ≤ 0 < 1 < y2

0 m

⇔ m > 12

Bài 16

1 Giải bất phương trình :

02)5x(log4)5x(log6)5x(log3)

5 2

25 1 5

5 2

5

⇔

0 2 ) 5 x ( log 2 ) 5 x ( log 3 ) 5 x ( log 2 )

m x (không thoả)

• Trường hợp 2 : khi m < 35

m x

(1) có nghiệm duy nhất trong [10;30] ⇔ m = 10

Bài 17

Giải bất phương trình :

log2( x2 + 3 − x2 − 1 ) + 2 log2 x ≤ 0

Giải log2( x2 + 3 − x2 − 1 ) + 2 log2x ≤ 0

Điều kiện của nghiệm:

0 1 x 3

⇔ 0 < x < 1 Khi đó : log2x < 0 và x2 + 3 − ( x2 + 1 ) < 1

⇒ log2( x2 + 3 − x2 − 1 )< 0

Vậy vế trái bất phương trình luôn âm với 0 < x < 1

Nghiệm của bất phương trình là : 0 < x <1

Bài 18

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :

0)m2mxx

(log)m4m2xx

(

2 1 2

=

− +

−

0 m 2 mx

x

m 2 mx x m 4 m 2 x

x

2 2

2 2

2 2

+

−

0 x 2 mx

x

0 ) m 1 ( m 2 x ) 1 m

(

x

2 2

m 1 x

m 2 x

2 2

Điều kiện của bài toán :

−

− +

−

>

− +

m 1

m

2

1 ) m 1 ( )

m

2

(

0 m 2 ) m 1 ( m )

m

1

(

0 m 2 ) m 2 ( m )

m

2

(

2 2

2 2

2 2

0m2m5

01mm2

0m42 2 2

5

2

0 m

f '(t) 0 = ⇔ t = 1

vậy : f (t) 2m t > 0 ≤ ∀ ⇔ 2 2m ≤ ⇔ 1 m ≤

Lưu ý :

Dạng 1 : g(T) m,T D ≤ ∈ g(*), luôn có nghiệm khi m Ming(T)T D ≥ ∈ g

Dạng 2 : g(T) m,T D ≥ ∈ g(*) lu6n có nghiệm) ⇔ m Maxg(T), T D ≤ ∈ g

a a

2

> 1 (cơ số a dương và khác 1 )

(Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giải

2

x

log

2x

Đặt t = loga x, ta có bất phương trình theo t :

02t

4t1

x nếu

1x

−+

1)xx2(

log

0xx

2

2 2

0xx22 2

11 x 0

Nghiệm của (1) thoả mãn (2) khi ⎢⎣⎡1−≤1<kπk≤π≤20 ⇔ k = 0

Vậy x = 0

2 2

−

−

+

−+

Vì thế (**) không thể xảy ra , khi x− ≥ 0 hay x ≤ 0

Vậy phải có x > 0 ,do đó x > 2

Lúc đó , (**) trở thành :

1xxx

x2 − ≥− + − = 1− , là hiển nhiên đúng

Vậy nghiệm của (*) là : x ≥ 2

Cách khác :

Xét x > 1 : đưa về dạng A≥ hoặc A ≤ B B

Xét x < 1 : bạn hãy tự giải , rất dễ sẽ ⇒ đáp số

b) Điều kiện x + 1 > 0 Nếu x + 1 = 1 thì tử thức bằng 0 , vô lý ; Nên phải có x + 1 ≠ 1 Lúc đó :

log2(x +1)2 – log3(x + 1)3 =

3log.2log

2log33log23log

32log

2

1 x 1 x

1 x 1

x 1

x 1

+ +

+ +

2

log

8

9log

2 3

1 x 1

+

Do đó :

4xx

)1x(log)1x(log

2

3 3

2 2

−

−

+

−+ > 0 (1) trở thành :

x 4x11

12xlog6xxlog

3

1 3

03

log

3

1 3

)3x)(

2x

Bài 25

Tìm m để bất phưong trình log (x2 x m) 3

2

1 − + >− có nghiệm Giải

3)mx

0mxx2 2

<>x − x=8 f (x)

m

)x(fxx

x2 + x2+ 1+ x2 > 2 x2 + +

Giải 1-\ x2 +x.2x2+ 1+3.2x2 >x2.2x2 + x+12

⇔ 4(x2 x 3) 2x 2( x 3 x2) 0

>

−++

03xx

2x

03xx

2 2 2 2

x

3x

1

2x

1x2

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là : (− 2;−1)U( 2;3)

(Đề Đại Học Dược Hà Nội ) Giải

1 2 tgx x sin 2 tgx x sin 2 tgx

xcos

13xcos

1xlogx > 1 Giải

1xlogx > x

−

−

;0

1x

2

1x2

53

5

3

Bài 29

Giải bất phương trình : 214x + 349x – 4x ≥ 0

(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải ) Giải

Bất phương trình được viết thành : 3 0

7

2249

Bài 30

Cho bất phương trình : (m−1)4x +2x + 1+m+1>0 (1)

1-\ Giải bất phương trình (1) khi m = 1−

2-\ Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình (1) thoả mãn với mọi x

(Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải ) Giải

Nếu m > 1 : (2) rõ ràng thoả

Vậy (1) thoả mãn với mọi x ⇔ m ≥ 1

Bài 31

Giải bất phương trình : ( ) ( )x 1

3 x 1

x 3 x

3103

13

x 3 x

3103

3

−+ < ( ) x 3

1 x3

+

−+

3x

1x1x

3x3x

1x

−

−

⇔+

−

⎡1<x< 5

Bài 32

Giải bất phương trình :

)1x(log)322.124

(Đề Học Viện Quan Hệ Quốc Tế ) Giải

)1x(log)32

)2xxlg( 2+

+

− > 2 (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải

)2xxlg( 2

1x

1

x 2x

Với điều kiện đó (1) ⇔ (2)

1< <− +

KL: nghiệm bất phương trình đã cho là: 1<x<−1+ 11

Bài 34

Cho phương trình : (x−2)log 2 4 ( x − 2 )=2α(x−2)3

1 Giải phương trình với α = 2

2 Xác định α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn :

1x2

3 )

2 x

Điều kiện : x – 2 > 0 hay x > 2

Lúc đó (1) ⇔ [log2(x−2)]2.log2(x−2)=3log2(x−2)+2

=

=+

522x2)2x

2 Vì x > 2 và không thể có duy nhất x = 3 là nghiệm nên

5 ≤ x2 ≤ 4 ⇔ phương trình f(t) = t2 – t α− = 0 (2) có 2 nghiệm phân biệt trong [ 1− , 1 ]

⇔ 0

4

14100

4

02

12

11

1 Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm

2 Giải và biện luận bất phương trình theo m

(Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải

1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng :

xlog)2x(

6

x

x

2 1

⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2)log x

2

1 ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0

* Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô nghiệm

* Nếu x > 2 ⇒ x – 2 > 0 ; x + log2x – 3 > 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm )

* Nếu 0 < x < 2 ⇒ x – 2 < 0 ; x + log2x – 3 < 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm )

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

* Nếu m ≥ 0 : bất phương trình (1) có nghiệm : 0 < x < 2

* Nếu 0 < x < 2 : (1) có nghiệm m < x < 2

* Nếu m = 2 (1) vô nghiệm (theo phần I )

* Nếu m > 2 (1 ) có nghiệm : 2 < x < m

Bài 35

Giải bất phương trình :

)1x(log

11

xxlog

1

3 1 2

< − + ≠

<

11x

1

x 2

3x

0x

0

x x

1x1

Lúc đó :

)1x(log

11

xx

log

1

3 1 2

3

⇔

)1x(log

11

xx

log

1

3 2

−

⇔

)1x(log

11

xx

log

1

3 2

t2+− ≥ t – m (1)

1 Giải bất phuơng trình khi m = 1

2 Tìm m để bất phuơng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0

(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải

1 Bất phuơng trình có dạng :

1

t2+

−t

− ≥ – m (1) ⇔

2t

1t2++ ≤ m Đặt f (t) =

2t

1t

2

++ ; t ∈ [0 ;+ ∞] ⇒ f’(t) = 2

)2t

3+ > 0 Vậy (1) đúng ∀ t ≥ 0 ⇔ m ≥ 2

mxmx)

+

−

Rx,m1xx

m1

x

5xx

5xx2

2+

+

− và g(x) =

1x

4x+

− ; g’(x) = 22 2

)1x(

4x+

−

Từ bảng biến thiên của f(x) và g(x) :

Hệ (*) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 2 < m ≤ 3

* Cách giải khác :

)mxmx(log)1

≥++

+

Rx,0mx

mx

0mxmx

)1x(

Rx

;0m4' 0m

1mxmx

)1x(52 2

+

−+

xmx

)m5(xx

m 5m

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2

Bài 40

Tìm tất cả các số x thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau :

)x3(logx5log

3

1 3

(Đề Đại Học Sư Phạm Hà Nội ) Giải

)x3(log

1x 3x

5)

;3

133

1x3

4

++

5x3

)8xx(log2

2 2

−

+

− < 2 (Đề Đại Học Tổng Hợp (KHTN) TP HCM ) Giải

0)x3(1

2 ⇔ x < 1 Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0

Phương trình đã cho ⇔ log (x2 x 8

3

1

− < x < 1

Bài 42

Cho bất phương trình (a+2)x−a ≥ x+1 (1)

1 Giải bất phương trình (1) khi a = 1

2 Tìm tất cả giá trị a để (1) có nghiệm x thoả điều kiện 0 ≤ x ≤ 2

(Đề Đại Học Kỹ Thuật TP HCM ) Giải

3xsinx

sin31

x

cos

2 2

0xsin32x

sin

3x

)x9(log2

3 2

Giải a) Điều kiện x ≥ 0

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 0 ≤ x ≤ 16

b) Giải bất phương trình (2)

0 4 3

log

5

x x

Ta xét các trường hợp sau :

• 0 < x < 1 : Lúc đó log5x < 0

(2) ⇔ log5 3x+4<log5 x ⇔ 3 x + 4 < x

⇔ 3x + 4 < x2 ⇔ x2 – 3x – 4 > 0 vô nghiệm (do 0 < x < 1)

• x > 1 :Lúc đó log5 x > 0

5 1

− +

>

+ +

1 2

4 log

1 log

0 2 4

2 5

2 5

2

m x x x

m x x

4

1 log

0 2 4

5 2

2 5

2

m x x

x

m x

>

+ +

5

1 2 4 1

0 2 4

2 2 2

m x x x

m x x

4

0 2 4

2

2

m x

x

m x

=

0 2 5 1

0 2 5 1

m g

m f

⇔

2

5 2

5 , mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3)

Bài 45

Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0

a) Giải bất phương trình trên khi m = 2

b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ?

(Đại học Văn Lang , năm 1998) Giải

Với m = 2 thì bất phương trình ⇔ 9x – 10.6x + 6.4x > 0

2

3 10

2

3

19 5

195log

2 3 2 3

x x

5

0302

52

00

:

25

120

01225

m m

m m

a b

f

II

m m

m I

Hợp (1) và (2) ta có : 0 < m < 12

Bài 45

Giải bất phương trình ( ) ( ) 3

1 1

3

3103

3

3103

≠

− 0 3

0 1

1

x x

3

3103

x

⇔

3

1 1

⇔ -3 < x < − 5 hay 1 < x < 5

Bài 46

Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng ∀x

(Đại học Mỏ – Địa chất , năm 1998) Giải

2

3

− là các giá trị cần tìm của m

Bài 47

Giải bất phương trình : 1

2 x

2 x logx ⎟ >

Giải 1

0 x

• Nếu x > 1 , BPT ⇔ x

2 x

2 x

2 x 1

) loai ( 1 x

2 x ) 1 x (

0 x

Bài 48

Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 :

0 ) 5 3 ( ) 5 3 )(

1 a 2 ( 2

Giải Đặt t =

x

2

5 3

5

3 = 1 Vậy ta có BPT : t2 + 2at + 2a + 1 < 0

Vậy ta có f(t) = t2 + 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t ∈(0;1]

2 1 2

2

+

Giải TXĐ : x > 0

06xlog)5x2(x

) 1 x ( 5

3 +Để biết vị trí của t1 và t2 ta cần biết dấu của hiệu số của chúng

Do đó ⇒

• Xét hiệu t1 – t2 =

1 x

1 x 1 x

3 2

+

−

= +

3 x log

2 x log t

x

log

t

t x

1

) 5 (

) 4 (

Khi 0 < x ≤

2

1 thì (4) thoả , (5) vô nghiệm

Suy ra 0 < x ≤ 1 là nghiệm của (3)

2 x 2 1 2

x log

1 x

3 x log t

x

log

t

t x

log

t

2

2 1

2

2 2

Kết luận : toàn bộ nghiệm của (3) là :

Bài 50

Giải và biện luận bất phương trình :

2 log 2

1 x log log x log

2

1 x log log 2

1 x log

1 x log log 2

log

2

3

a a

a a

m

) x

>

+ Vậy :

−

=

>

0 ) 6 x x ( 2 )

4

(

1

3 x 0 ) x x ( 2 )

Bài 52

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :

a.9x + (a – 1).3x+2 + a – 1 > 0 nghiệm đúng vơí mọi x

Giải Đặt 3x = t > 0 , bất phương trình đã cho tương đương với :

0a

2 ⇔ 1 < a <

77 81

) 1 a ( 9 2 S

0 ) 1 a ( a ) 0 ( a

0 ) 81 a 77 )(

1 a (

0 a

⇔ a = 1 hoặc a ≥

77 81

Kết luận : a ≥ 1

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Cho bất phương trình : log2 (7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m) , Với

những giá trị của m thì phương trình trên luôn đúng ∀x

(Đại Học An Ninh Hà Nội khối C)

2 Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau :

loga(26 – x2) ≥ 2 loga (4 – x) ,trong đó a > 0 , ≠ 1

(Học viện Kỹ Thuật Mật Mã )

3 1) Tìm miền xác định của hàm số :

y = log ( x2 x 2 4 x) ;

2) Cho : f1(x) = x2 - (2m + 1)x + m2 + m ;

f2(x) = x2 – mx – 3m –1

Tìm nghiệm của phương trình f1(x) = 0 Xác định m để cả hai nghiệm

ấy đều là nghiệm của phương trình f2(x) ≥ 0

(Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội)

4 Giải bất phương trình : 2

1 x

4 x 2

4x

≤

−

− +

BÀI TẬP THAM KHẢO TỪ DỄ ĐẾN KHÓ CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG – MŨ

<

+

− + >

7) log x log 32 4;2 − x ≤ 8) 2log x log 125 1;5 − x <

2 3

+ + >

7) (1/ 2)log log5 0,3(x 0,7)− < 1; 8) (2 / 5) log1/ 4(x2+ +5x 8) ≤ 5 / 2;

1) log (1 2x) log (5x 2);3 − ≥ 3 − 2) log (1 x) log (x 3);5 − < 5 +

3) log (3x 4) log (5 2x);2 + > 2 − 4) log (2 x) log (3x 6);7 − ≤ 7 +

11) log log3 44x 1 log1/ 3log1/ 4 x 1;

1) log (3x 1) log (2 x);2 + < 2 − 2) log (7x 3) log (1 2x);7 − ≥ 7 −

3) log1/ 2(3x 1) log − ≤ 1/ 2(3 x); − 4) log0,7(x 2) log− > 0,7(3x 4);−