NW359 360 DẠNG 48 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG tỉ số DIỆN TÍCH GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH ) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng  Dạng : Biết cận tích phân Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm y  f (x), y  g(x) hai đường thẳng b x  a, x  b,(a  b) Khi diện tích miền D là: S� f (x)  g(x) dx a b  TH 1: Nếu f (x)  g(x)   f (x)  g(x) dx � S  a;b  vô nghiệm a  TH 2: Nếu f (x)  g(x)  có nghiệm a  x1  x   x n  b thì: S x1 x2 a x1  f (x)  g(x) dx  �  f (x)  g(x) dx   � b  f (x)  g(x)  dx � xn b  Chú ý: Nếu g(x)  (trục Ox) S� f (x) dx a  Dạng 2: Chưa biết cận tích phân Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm y  f (x), y  g(x) + Giải phương trình f (x)  g(x)  tìm nghiệm x1  x   x n TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU S 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x3 x2 xn  f (x)  g(x) dx  �  f (x)  g(x)  dx   �  f (x)  g(x)  dx � x1 x2 + Tình Chú ý: Nếu biết cận ta tìm cận cịn lại  Dạng 3: Miền cần tính giới hạn đồ thị + Tìm giao điểm cặp đồ thị + Vẽ đồ thị xác định miền D + Chia miền D để tính diện tích phần cộng lại DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT: Hình elip x y2  1 a b Cho elip có phương trình , diện tích elip là: S  ab x n 1 Hình parabol Diện tích parabol có chiều cao h bán kính đáy r là: S r.h II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Câu hỏi lý thuyết ứng dụng hình học tích phân  Xây dựng cơng thức tính diện tích theo hình vẽ  Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng y  f  x  , Ox y  f  x , y  g  x y  f  x , y  g  x , y  h  x  Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị … BÀI TẬP MẪU y  f  x f  x Cho hàm số bậc ba có đồ thị đường cong hình vẽ bên Biết hàm số đạt cực f  x1   f  x2   trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  Gọi S1 S diện tích hai hình S1 phẳng gạch hình bên Tỉ số S2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 3 B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong HƯỚNG GIẢI: B1: Từ đồ thị hàm số suy phương trình hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d B2: Dựa vào giả thiết tìm mối liên hệ hệ số hàm số: y  f ( x)  ax  bx  cx  d � f�  x   3ax  2bx  c x2  x1  f�  x1   f �  x2   � f �  x   3a  x  x1   x  x2   3a  x  x1   x  x1   � f  x  � f�  x  dx  a  x  x1   3a  x  x1   C Suy C f  x  � a �  x  x1    x  x1  � � x  x1   �  � � � x  x1  � � x  x1   � B3: Từ tính diện tích phần theo cơng thức Suy tỉ số diện tích Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D Cách f  x   ax  bx  cx  d � f�  x   3ax  2bx  c Gọi , với a  f�  x1   f �  x2   � f �  x   3a  x  x1   x  x2   3a  x  x1   x  x1   Theo giả thiết ta có � f�  x   3a  x  x1   6a  x  x1  � f  x  � f�  x  dx  a  x  x1   3a  x  x1   C Ta có f  x1   f  x2   � f  x1   f  x1    � C  8a  12a  C  � C  2a 3 f  x   a  x  x1   3a  x  x1   2a  a � �x  x1    x  x1   2� � Do � x  x1   � f  x  � a � 0�� x  x1   x  x1    x  x1   2� � � � x  x1   � S2  Suy  x1 1 �f  x  dx  x1 x1 1  xx  �a � � x1 x1 1  xx  �a � � x1   x  x1   2�dx �   x  x1   2�d  x  x1  � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x1 1 � � x  x1   5a  a�   x  x1    x  x1  �  � � � �x1 S1  S  x1 1 x1 1 �f  x  dx  f  x  �dx  f  x   2a Mặt khác ta có S1  S Vậy x1 1 x1 � S1  2a  S  3a Cách Rõ ràng kết tốn khơng đổi ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa f  x   ax  bx  cx  d f  x O độ Gọi hàm số dễ thấy lẻ nên có b  d  f  x   ax  cx có hai điểm cực trị tương ứng 1,1 nghiệm 3ax  c  Từ dễ dàng có f  x   k  x  3x  , k  Xét diện tích hình chữ nhật S2  k � x3  x dx  1 Vì S1  2k  S1  S   1 f  1  2k Ngoài ra, k S1 5k 3k   4 S2 Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Diện tích hình phẳng giới hạn parabol tơ đậm hình vẽ bên dưới) A S 11 B S 73 12 y   x  2 , đường cong y  x trục hoành (phần S C Lời giải: 12 D S Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA y   x  2 y  x x  Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU S� x dx  �  x   dx Vậy Câu hay S 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 12 Cho hàm số y  f ( x) liên tục � có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình ( A),( B) Tích tích phân A I  B I   cos x f � C Lời giải I (5sin x  1) dx D I  2 Chọn A f ( x)dx  3, �f ( x )dx  7 Theo đề � 1  1 cos x f (5sin x  1) dx  � Câu  � H Cho hình thang cong f (5sin x  1)d (5sin x  1)  1 f (t ) dt  � f ( x)dx  1 5� �1 � � �  �f ( x)dx � � giới hạn đường y  e , y  , x  , x  ln Đường thẳng x x  k (0  k  ln 4) chia  H  thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm k S  2S2 để y S2 S1 x O A k k ln ln k  ln B k  ln C Lời giải D k  ln Chọn D Cách 1: k Ta có k S1  � e x dx  e x  e k  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA S2  ln e dx  e � x k x ln k   ek Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S  S � e k     e k  � k  ln Ta có Cách 2: Y ln e dx  � e dx � X Bước : NHẬP S1  S2 biểu thức X Y Bước : Dùng chức CALC, gán X giá trị bất kỳ, Y giá trị đáp án A, B, C, kết vơ nhỏ đáp chọn đáp án đó, khơng thỏa mãn chọn D Câu Cho  H 2 hình phẳng giới hạn parabol y  x , cung trịn có phương trình y   x  H  (với �x �2 ) trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích y 2 x O 4  12 A 4  B 4   C Lời giải  2 D Chọn B 2 Phương trình hồnh độ giao điểm parabol y  x cung tròn y   x (với �x �2 )  x  x �  x  3x � x  (vì �x �2 )  H  Cách 1: Diện tích S  �3 x dx  �4  x dx  31 x I  I I  �4  x dx 3 với �  � t ��  ; � 2 �� dx  2cos t.dt x  2sin t � Đặt: , Đổi cận: x 1� t    x  2�t  6,    6 2 2 I �   4sin t 2cos t.dt  �  cos t.dt  �    cos 2t  dt   x  sin 2t  Vậy S    2  3 2 4  I     3  H diện tích phần tư hình trịn bán kính trừ diện tích hình phẳng giới hạn cung trịn, parabol trục Oy Cách 2: Diện tích Tức   S    �  x  x dx TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho hai hàm số f  x   ax3  bx  cx  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ g  x   dx  ex  với a, b, c, d , e �R Biết y  f  x y  g  x đồ thị hàm số cắt ba điểm có hồnh độ 2; 1;1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị có diện tích bằng? 37 A 13 B C Lời giải: 37 D 12 Chọn A f  x   g  x   � ax   b  d  x   c  e  x   x ;x ;x Xét phương trình có nghiệm 2; 1;1 Áp dụng định lý Vi  et cho phương trình bậc ta được: bd � � x1  x2  x3   a  2 � c e �  1 �x1 x2  x2 x3  x1 x3  � a2 a � � �� c  e  2 � x1 x2 x3   �b  d  � f  x   g  x   x3  x  x  a � � Suy 1  x3  x2  x   dx  �  x3  x  x   dx  376 � 2 1 Diện tích hình phẳng: Câu Cho hai hàm số f  x   ax3  bx  cx  g  x   dx  ex   a, b, c, d , e �R  Biết đồ y  f  x y  g  x thị hàm số cắt ba điểm có hồnh độ 3; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 125 B 12 253 A 12 253 C 48 Lời giải: 125 D 48 Chọn C Theo giả thiết hai đồ thị hàm số cắt điểm 3;1; nên ta có: � � � 27 a  9b  3c   9d  3e  27 a   b  d    c  e    � a  � � 2 � � � � � � � �  a   b  d    c  e    � �b  d  � a  b  c   d  e  2 � � � � � � 8a  4b  2c   4d  2e  8a   b  d    c  e    ce   � � � 2 � � � Vậy diện tích cần tính là: S  3� �3 ax   b  d  x   c  e  x  �dx  � 3 � 2� � 1 3� � ax   b  d  x   c  e  x  �dx �� 2� � 1 1 26 15 3 63 253  20     4          4 4 2 16 48 Cách f  x   g  x   � a  x  3  x    x  1  Ta có:   � x  x   x    � x3  x  x    a  �a ax3   b  d  x   c  e  x   Đồng hệ số với phương trình ta có: 6 � f  x   g  x   x3  x  5x  253 S  �  x  3  x  1  x   dx  3 48 Do   Câu Cho đường thẳng y  x va parabol y x a S ,S ( a tham số thực dương) Gọi diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi khoảng đây? �1 2�  ; � � A � � � 1� 0; � � B � � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA �1 � �; � C �3 � Lời giải: S1  S2 a thuộc �2 � �; � D �5 � Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x 1 x  x2  a � x2  x  a  2 (có    2a ) Theo hình, ta có: 0a y x a : x    2a , x2    2a  1 hai hoành độ giao điểm: x1 � x2 � 1 � � S1  S � �� x  a  x � dx  ��x  x  a � dx x1 �2 � � � Khi đó: Gọi x1 , x2   x1  x2  x1 x2 � �1 �1 � x22 x23 � � x3  ax  x �  � x  x3  ax � �   ax2  � x2  x22  6a    �0 �2 �6 �x1 � � a� �a  1 ,   �  2a  4a  � � � 16a  6a  � Từ Câu x y  x2  a S S parbol Cho đường thẳng ( a tham số thực dương) Gọi , diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên y S1  S2 a thuộc khoảng đây? �1 � �3 � �7 � � 3� 0; � �; � � ; � � ; � � 32 16 32 16 � � � � � � A B C D �32 � Lời giải: Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x2  a � x  x  a   * Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số cắt hai điềm dương phân biệt Do phương Khi trình  * có hai nghiệm dương phân biệt    32a  � � � � � S  0 �0a 32 �  * có hai nghiệm dương phân biệt � � P  2a  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ   32a   32a x2   x  x2  4 Khi (*) có hai nghiệm dương phân biệt , , x1 � x2 � � � S1  S � �� x  a  x � dx  �� x  x  a � dx x � � �2 � x1  x1 x2 �x � x � �3 x x � �  ax  �  �   ax � �0 �8 �6 �x1 � �3x x � x13 3x 3x x  ax1     ax2  �   ax1 �� x2  x2  ax  8 6 �8 � � 4 x2  x2  24a  �3   32a �   32a � 4 �   24a  � � � 4 �  32a  64a  � � 64a   � � ��   32a    64a   � Câu 9 � a� � 64 � � a� 27 � �� � ��a  � a  64 128 � �� 27 4096a  864a  � �� a �� 128 Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.) 8m A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Lời giải: D 7.826.000 đồng Chọn B Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x2 y2  1 b Giả sử elip có phương trình a Từ giả thiết ta có 2a  16 � a  2b  10 � b  � 2 �y  64  x  E1  x y    1� � 64 25 �y   64  x  E  � � Vậy phương trình elip Khi diện tích dải vườn giới hạn đường  E1  ;  E2  ; x  4; x  diện tích 5 S  2� 64  x dx  �64  x dx 4 dải vườn S 40  20 3 Tính tích phân phép đổi biến x  8sin t , ta �40 � T  �  20 � 100000  7652891,82 ; 7.653.000 �3 � Khi số tiền Câu 10 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  x trục hoành Hai đường thẳng y  m y  n chia ( H ) thành phần có diện tích nhau( tham khảo hình vẽ) Giá 3 trị biểu thức T  (4  m)  (4  n) A T 320 B T 512 15 C T  405 Lời giải D T 75 Chọn A TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ *) Chứng minh cơng thức tính nhanh diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ax  bx  c (a �0) cắt trục hoành điểm x1 , x2 trục hoành ( x1  x2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ax  bx  c (a �0) trục hoành S x2 ax �  bx  c dx x1 Khơng tính tổng quát, sử a