Thông tin tài liệu
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 47: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Định lý: Nếu hàm số * đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục f x k k const Định lý: Nếu hàm số * y f x u; v � a; b : f u f v � u v * Phương trình * KIẾN THỨC CẦN NHỚ: y f x y f x y f x đồng biến a; b nghịch biến Định lý: Nếu hàm số a; b y f x có nhiều nghiệm khoảng a; b a; b : u; v � a; b : f u f v � u v : u; v � a; b : f u f v � u v đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục lim f x lim f ( x) phương trình Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: Cho số dương a �1 số dương b, c x �a liên tục : a; b x �b f x k k const a; b , đồng thời có nghiệm a; b 1.2 Hệ quả: Cho số dương a �1 số dương b, c o Khi a log a b � b o Khi a log a b � b o log a b log a c � b c Logarit một thương: a, b1 , b2 với a �1 , ta có Cho số dương o Khi a log a b log a c � b c o Khi a log a b log a c � b c Logarit mợt tích: a, b1 , b2 với a �1 , ta có Cho số dương log a (b1.b2 ) log a b1 log a b2 log a b1 log a b1 log a b2 b2 log a Logarit lũy thừa: Cho a, b 0, a �1 , với mọi , ta có log a b log a b log a n b log a b n Đặc biệt: ( n nguyên dương) log a b b Đặc biệt: với a, b 0, a �1 Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a �1, c �1 , ta có log a b Đặc biệt: �0 log a c log c b log c a 1 log a b log a b log c a với BÀI TẬP MẪU Câu 47 ĐỀ MINH HỌA LẦN - BDG 2020-2021) Có số nguyên a a �2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a cho tồn số thực x thỏa mãn log x 2 log a x 2? Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B C D Vô số Lời giải Chọn A log x log a log y Điều kiện x > Đặt y = a + > y = x - � a + = x Từ ta có hệ �y = a log x + � � log y � �x = a + t Do a �2 nên hàm số f (t ) = a + đồng biến � Giả sử x � y f ( y ) � f ( x ) kéo theo y �x, tức phải có x = y Tương tự x � y log x log a Vì , ta đưa xét phương trình x = a + với x > hay x - x = log a Ta phải có x > x > x � > log a � a < 10 log a log a 1- log a - 1) - có Ngược lại, với a < 10 xét hàm số liên tục g ( x ) = x - x - = x ( x lim g ( x ) = +� x�+� g (2) < nên g ( x ) có nghiệm (2; +�) Do đó, mọi số a �{2, 3,K , 9} thỏa mãn Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu x; y thỏa mãn Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số 2 e3 x 5 y e x3 y 1 x y , đồng thời thỏa mãn log x y 1 m log x m A B C Lời giải D Chọn B x 5 y x 5 y 3x y e x 3 y 1 x y 1 e x 3 y 1 x y � e Ta có: e f� t et nên hàm số đồng biến � � Ta có f x y f x y 1 � x y x y � y x Do phương trình có dạng: 2 log x m log x m Thế vào phương trình cịn lại ta được: 2 t log x , phương trình có dạng: t m t m Đặt � m Để phương trình có nghiệm �0 � 3m 12m �0 ۣ Do có số nguyên m thỏa mãn Xét hàm số Câu f t et t �2 x � log � y 1 2x ? � x; y thỏa mãn �y �2020 � y � Có cặp số nguyên A 2019 B 11 C 2020 D Lời giải Chọn B �y �0 �x �2 � 2x � x � y � �y �0 Từ giả thiết ta có: � Ta có: PT � log x 1 x log y y TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA (*) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét hàm số Khi f t log t t 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 0; � 1 f t log3 t t 0; � t ln hàm số đồng biến f x 1 f y � y x f� t (*) có dạng ��� �� y 2020 2x�� 2020 � x 2021 x log 2021 Vì � �x �log 2021 � x � 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 � x; y thỏa mãn �x �� Vậy có 11 cặp Câu Có cặp số nguyên x; y log 512 x 768 x y 16 y A 2019 thỏa mãn �x �2020 ? B C 2020 Lời giải D Chọn B Ta có: log 512 x 768 x y 16 y � log 256 x x y y � log x 3 x 3 y y f t t4 Xét hàm số � t f ' t ln 0, x �� Suy hàm số đồng biến � t 16 y log x 3 y � x 16 � x Khi đó: y Vì: Mà 16 y ����� x 2020� �0 y ��� y � 1; 2 2020 16 y 4043 log16 y log16 4043 13 l Với 253 y 2�x l Với x; y Vậy khơng có cặp số thỏa mãn yêu cầu toán y 1� x Câu 3 103 z b � 102 z với mọi số thực dương Giả sử a; b số thực cho: x y a � 2 x; y; z thỏa mãn: log x y z log x y z Giá trị a b là: 31 A 29 B 31 C Lời giải D 25 Chọn B 3 z Đặt t 10 Khi đó: x y a.t b.t � log x y z �x y 10 z t t 10.t � � � xy � � log x y z �x y 10.10 z 10t Ta có: � TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x y x y 3xy x y t Khi đó: 3 3t t 10t t 15t 2 b 15 Suy ra: 29 ab Vậy a Câu xy 1 22 xy 1 x y x y x Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức y giá trị nhỏ y A ymin B ymin C Lời giải ymin D ymin y Tìm Chọn B xy 1 2 xy 1 x y x y � xy 1 22 xy 1 x y x y 1 1 Ta có Xét hàm Khi f t t 1 2t với t �1 f� t 2t t 1 2t.ln với t �1 x2 � y 1 � xy x y 2x 1 Từ 2x2 x x2 � y� 0 �� x 1 x 1 � x2 x � f 2 Loại x 1 điều kiện t nên Ta có bảng biến thiên: Vậy GTNN y x Câu log ( x + y ) = log ( x + y ) Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn A B C D Vô số Lời giải Chọn B log ( x + y ) = log ( x + y ) = t Điều kiện: x + y > t � t �x + y = 3t �x + y = � x + y = � �� �� �2 � � 9t - t 9t - t t �x + y = 4t � � x + y xy = xy = ( ) P = � � � � � nên S = 3t � Suy Đặt TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S �4 P � ( x + y ) �4 xy Để tồn x, y nên Khi Ta có: t �log � 9t - 4t � � � � ��� 4� 9t � � � � � t t 2.4 t �� 9� � � � � �� 4� log ( x + y ) = t �log � x + y �4 log �3, 27 Mặt khác x số nguyên nên x =- 1; x = 0, x = Thử lại: �y 3t t �0 � �� � x y �5 �2 t y �1 �y �2 Với x 1 ta có � Suy loại x 1 �y 3t t0 � � �� �2 t y 4 �y Suy nhận x Với x ta có � Với x ta có Câu t t0 � �y �� �2 t �y �y Suy nhận x Vậy có hai giá trị nguyên x thỏa yêu cầu toán x x �4a 2b � log � � a 3b a b � � a b Cho , hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức T a b A B C Lời giải D Chọn D �4a 2b � log5 � � a 3b � log5 4a 2b 5 log5 a b a 3b � ab � � log5 4a 2b 5 4a 2b 5 log5 � a b � � � a b Xét hàm f x log x x, x (*) 0, x f x 0; � x.ln Đạo hàm Suy hàm số đồng biến Phương trình (*) viết lại: f� x f 4a 2b 5 f a b � 4a 2b a b � a 3b 52 a 3b � 12 32 a b2 � T a b2 � Mặt khác: a b � � a ;b 2 Dấu " " xảy Câu �1 2x � ln � � 3x y x y � P y � x Xét số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P 1 x xy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A Pmin 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B Pmin C Pmin D Pmin 16 Lời giải Chọn A Điều kiện 0 x Từ giả thiết �1 2x � ln � � 3x y � ln 1 2x 1 2x ln x y x y �x y � Xét hàm số f t ln t t 0; � 1 f� t 1t 1 t f t có , hàm đồng biến 0; � khoảng 1 � 1 2x x y � 3x y 2 Vậy 1 2 P � x xy x x y x 1 2x Có 4x g� x 2 g x g� x � x x 1 2x x x x 1 2x , ta có Đặt suy Ta có bảng biến thiên: g x Câu � 1� 0; � � � 2� Vậy Pmin 2 log a2 b2 a b �1 Cho hai số thực a; b thỏa mãn: a b Giá trị lớn biểu thức P 2a 4b : Do A 10 B 10 C Lời giải 10 D 10 Chọn B Điều kiện: a b 2 log a2 b2 a b �1 Do a b nên 2 � a a b b �0 2 � 1� � 1� � �a � � b �� � 2� � 2� TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � 1� � 1� P 2a 4b � a � � b � � � � � Ta có: 2 � � � � �� � P 22 42 � a b � � � �� 10 � � � �� � Suy ra: 10 �P � 10 Câu 10 log x m log x x x 2m m Có số ngun để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C Lời giải D Chọn C �x � � m x � Điều kiện � log x m log x x x 2m � log x m log x x x m � log x m x m log x x � log 2 x m x m log x x Xét f u log u u, u f ' u (1) 1 u ln , hàm số đồng biến (0; �) Khi (1) Xét hàm số � f x m f x � x m x � x x 2m g x x x, x Phương trình có nghiệm dương 4 2m � 2 m suy có giá trị ngun Mức đợ Câu 2x Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn A B C Lời giải Chọn B � x y log t � x y2 3x y t , suy �x y log t Đặt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA y2 3x y ? D Vơ số Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �1 � � 2x y2 x y � x y ��� � 1� �2 � �2 � Ta có nên suy ra: 3 log 32 t � log t log 3.log t �log t log 2,37 2 Do x y log t log 3.log t �3, x � 1;0;1 Mà x �� nên �y log t log 3.log3 t y0 � y y.log � � � y log t y log � + Với x , ta có � , suy � y log t log 3.log t � y log t x + với , ta có � , suy 2 y log y � y log y log phương trình có nghiệm y log t log 3.log t � � 1 y log t � + Với x 1 , ta có , suy 2 y log 1 y � y log y log phương trình vơ nghiệm Câu log x y log x y Có số nguyên y để tồn số thực x thỏa mãn ? A B C D vô số Lời giải Chọn B t � �x y log x y log x y t � � 2 t �x y (*) Đặt t Ta có x 2y � x y x y �5.2 t nên: t �9 � �� �2 � t log log 2 t �2.1 Suy x y �2 y � 1;0;1 Vì y �� nên +Với y 1 , hệ (*) trở thành t �x 3t 2 �x � �2 � 3t 2t � 9t 4.3t 2t �2 t t �x �x (**) t t t t Nếu t � 4.3 t t t t t Nếu t �0 � �0 � 2.3 Vậy (**) vô nghiệm t �x 3t �9 � t t � � � � � t � x �2 x 2t �2 � � y - Với hệ (*) trở thành �x 3t � 3t 2t *** �2 t x 1 - Với y hệ (*) trở thành � Dễ thấy (***) ln có nghiệm t � x TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn y 0, y log Câu x y x x 3 y y xy x y xy x, y Có cặp số nguyên thỏa mãn A B C Lời giải Chọn D x y � x y 2 x y xy Điều kiện log 3 D x y x x 3 y y 3 xy x y xy 2 � log x y log x y xy x y xy 3x y � log x y log3 x y xy x y xy x y � log 3x y 3x y 2log x y xy x y xy f t log t t , t � 0; � , Xét hàm đặc trưng ta có f t 0; � Suy hàm đồng biến khoảng f� t 0, t � 0; � t.ln � f x y f x y xy � x y xy 3x y Phương trình � x y 3 x y y y 3 y y �0 Điều kiện y để phương trình có nghiệm � 3y2 6 y 1� 3 � y 3 3 y � ;1; 2 Do y �� nên x 1 � x2 3x � � x � + Với y , ta x0 � x2 x � � x � + Với y , ta x0 � x2 x � � x 1 � + Với y , ta Câu Vậy có cặp số thỏa mãn đề Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn số thực x, y thỏa mãn đồng thời e A x y 10 2 e x 3 y 9 x y log 3x y m log x m B C D Lời giải Chọn C Ta có e3 x 5 y 10 e x 3 y 9 x y � e3 x 5 y 10 e x 3 y 9 x y 3x y 10 � e3 x 5 y 10 3x y 10 e x y 9 x y 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét hàm số f t et t 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f t et t f� t et 0, t �� � liên tục , có nên hàm số �; � Do đồng biến 1 � 3x y 10 x y � x y Khi phương trình log 52 3x y m log x m � log 52 x m log5 x m t log5 x , t �� Đặt , ta 2 t m 6 t m 2 có nghiệm Câu � m2 9 m �� 3m 12m 0 m Vậy số giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn giá trị log (2 x 2) x y y Cho �x �2020 Có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn điều kiện trên? A 2019 B 2018 C D Lời giải Chọn D log (2 x 2) ln có nghĩa Do �x �2020 nên y Ta có log (2 x 2) x y � log ( x 1) x y 23 y � log ( x 1) 2log2 ( x 1) y 23 y (1) t Xét hàm số f (t ) t (t ) 2t ln � f � (t ) t �� Tập xác định D � f � (1) � log ( x 1) y � x y Suy hàm số f (t ) đồng biến � Do � y log8 ( x 1) �log ( x 1) �log8 2021 Ta có �x �2020 nên �x �2021 suy log 2021 �3, 66 nên y �� y � 0;1; 2;3 Vậy có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa yêu cầu toán cặp (0;0) , (7 ;1) , (63; 2) , (511;3) Lại có Câu Cho hai số thực x, y khơng âm thỏa mãn x x y log 2 x 1 biểu thức P e x y A B C y 1 x Giá trị nhỏ D 1 Lời giải Chọn A x x y log 2 y 1 2 � x 1 log 2 x 1 log y 1 y 1 x 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét hàm số f t t log t , t 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ; f� t 1 x 1 y � y x 1 Suy P e x 1 x y e g� x 2e x 1 4x x 1 Câu Có P 1 x tất bao x x 1 e2 x 1 x x g x 2 hàm số đồng biến nửa khoảng nghiệm, nhẩm nghiệm Vậy 0, t t.ln giá x nên g� x có tối đa 1 nên nghiệm trị 2017 0; � nguyên tham số a thuộc 1999; 2050 để a � �a � �2017 �2 a � ��2 2017 � � � � � A 29 B 33 C 34 Lời giải D 32 Chọn B 2017 a � �a � �2017 a � �� 2017 � � � � Ta có: � � � 2017 ln 2a 2 a �a ln 22017 22017 ۣ ln 2a 2 a ln 22017 22017 a 2017 Xét hàm số f� x 2 x f x x Tập xác định x x 2 x x ln ln ln Suy x x f ' x � f x ln a a Do đó: ۳ a 2017 a x D �\ 0 x x ln x x ln x x x Vì : ln x a � 1999; 2050 ; x x x x 1999; 2050 ( Do x � ) nghịch biến �ln 2017 2017 2017 Vậy có: 33 giá trị a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho phương trình m � 18;18 A 20 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x m log x m với m tham số Có giá trị nguyên để phương trình cho có hai nghiệm ? B 17 C D 21 Lời giải Chọn B Điều kiện x m PT � x x x m log x m � x x 2log5 ( x m ) log ( x m) Xét hàm số biến � f t 2t t , t �� f� t 2t ln 0, t ��� Hàm số f t đồng ; Ta có: Từ (1) suy Xét hàm số (1) f x f log ( x m) � x log ( x m) � x m x � m x x g x x 2x m; � Ta có: g ' x x ln ; g ' x � ln � x log log e � g log log e log log e log e x lim g x m 2m ; lim g ( x) � x �m x �� Bảng biến thiên: Do Phương trình cho có nghiệm m 2m m log log e log e � m log log e log e �0,91 m �� � � m � 18;18 � Câu m � 17; 16; 15; ; 1 Vì nên Vậy có 17 giá trị m �x y � log � � x y �4 x y x , y � � Cho số dương thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A 6x y 31 A 4 x y 27 C B 11 D 19 Lời giải Chọn D �x y 0 � � x y 1 �2 x y �x, y ĐK: � Ta có: TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �x y � log � � x y �4 �2 x y � � log x y 1 1 x y 1 �log x y x y � log5 � x y 1 � � � x y 1 �log x y x y * Xét hàm số f (t ) log t t 0; � , f� (t ) 0, t � 0; � t ln nên hàm số f (t ) đồng biến 0; � * � x y 1 �2 x y � x y �5 Mặt khác, ta có A 6x y � 4�� 9� � x � � y � x y �2.6 2.6 19 x y � x�� y� � 9x � x � � �x � � �� 4y �� y � �y � � 3x y � � Dấu “ = ” xảy (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN A 19 m � 2019; 2019 Câu 10 Có tất giá trị nguyên tham số để cho phương trình x mx 2m 0 x 1 x2 có nghiệm thực phân biệt ? A 4038 B 2019 C 2017 Lời giải Chọn C D �\ 1; 2 TXĐ: Ta có x mx 2m 2019 x 0 x 1 x2 x m( x 2) � 2019 x 0 x 1 x2 2x 1 � 2019 x m (*) x 1 x 2x 1 f ( x) 2019 x x x Khi Đặt 2019 x f '( x) 2019 x ln 2019 D 4039 x �D ( x 1) ( x 2) Ta có bảng biến thiên TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt m � m 2 m � 2019; 2019 Mà m �� nên có 2017 giá trị m thỏa mãn 3x 32 x 1 3x m 3x m 3x m Câu 11 Cho phương trình , với m tham số Có giá trị nguyên âm m để phương trình có nghiệm thực? A B C D Lời giải Chọn A m3 m3 1 m m m m 3 m m 3 x 32 x x m � 3x � 33 x 2x x x x x � 33 x 3x x x x x x 3x m x m f t t t f� t 3t 0, t �� Xét hàm đặc trưng có Vậy � 33 x 3x 3x m 3x m � f x f 3x m � 3x 3x m � 32 x 3x m (*) x g u u2 u Đặt u , với điều kiện u đặt � g u m Phương trình (*) � g u � u g� u u ta có bảng biến thiên g u : , m 13 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm thực Vậy có tất giá trị nguyên âm m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ 3x 32 x 1 3x m 3x m 3x m Câu 12 Cho phương trình , với m tham số Có giá trị nguyên âm m để phương trình có nghiệm thực? A B C D Lời giải Chọn A 3x 32 x 1 3x m 3x m 3x m � 3x 32 x 1 3x m 3x m 3x m � 33 x 3x 3x m 3 3x m 3x m � 33 x 3x 3x m x m f t t t f� t 3t 0, t �� Xét hàm đặc trưng có Vậy � 33 x 3x 3x m 3x m � f x f 3x m � 3x 3x m � 32 x 3x m (*) x g u u2 u Đặt u , với điều kiện u đặt � g u m Phương trình (*) u � u g� u 2u , g � ta có bảng biến thiên g u : m 13 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm thực Vậy có tất giá trị nguyên âm m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1 x Câu 13 Có số tự nhiên a cho tồn số thực 2021x a 3log x 1 x thoả 2020 a 3log x1 2020 A B C D 12 Lời giải Chọn A x3 a3log x1 2021 a 3log x 1 2020 x 2020 , điều kiện: x 1 , Xét phương trình: 3log x 1 3log x 1 � x3 a log 2021 a 2020 log 2021 x 2020 � x3 log 2021 x3 2020 a 3log x1 log 2021 a3log x1 2020 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét hàm số f '(t ) 3t f (t ) t log 2021 t 2020 , 0; � 3t 0, t t 2020 ln 2021 log x 1 trở thành: x a log x � log a 1, x 1 log x 1 Do 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 0;� nên hàm số f (t ) đồng biến log a � x x 1 � log x log a.log( x 1) a 10 � a � 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 nên log3 2x2 y2 log7 x3 2y3 log z Câu 14 Cho số thực x, y, z thỏa mãn Có bao giá x, y thỏa mãn đẳng thức trị nguyên z để có hai cặp A B 211 C 99 Lời giải D Chọn B � 2x2 y2 3t 1 � � log3 2x2 y2 log7 x3 2y3 log z t � �x3 2y3 7t 2 � t 3 �z 10 Ta có 2t t � x thay vào 1 ta + Nếu y 2.7 3t � t log 3 49 log z 10 3 49 + Nếu y �0 Từ 1 & suy �2x2 y2 � � �x3 2y3 � x 2y � 49 2x y 27t t u 2 f u 2u 1 x u,u � Đặt y Xét 2 3 � �x � � � � � 2� t t � �y � � �49 � � �49 �, * � �� � � � �27 � � �x � � �27 � � 2� � 12 � � �y � � � � � f� u 6u u3 u 4 2u 1 � u � 0� � u 3 � u � Ta có bảng biến thiên TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Nhận xét với giá trị 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ tương ứng với cặp u t � �49 � � �� � �27 � � � t � � 49 � � � � � �27 � 33 � Yêu cầu toán tương đương x, y thỏa mãn toán 1� � log49 � log 49 �� 8� � 27 � 10 �z 10 27 � �4 � log 49 � � � �33� z 10 27 � � Vì z số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn Câu 15 Có giá trị nguyên m với m cho tồn số thực x thỏa mãn: m log5 x 3 log5 m x 1 B A C D Lời giải Chọn B Điều kiện: x log x u thay vào phương trình 1 ta được: u log5 m x � x u log5 m Đặt m � u mlog5 x � log5 m log m 3 mlog5 u Từ ta có hệ Phương trình �x u Vì u Xét hàm đặc trưng f t mt � f t Do m Suy hàm số đồng biến � f log x f log u � x u Do đó, log x � x x log5 m � x x log5 m Vì thế, ta đưa xét phương trình: x m � log x 3 log x log5 m � log x 3 log x.log m � log m log m log x 3 log x log x 1� m log x Do x nên x x nên � m �� � m � 2,3, 4 � m � Suy Vậy, có giá trị tham số m thỏa mãn m m �2 Câu 16 Có số nguyên B A m cho tồn số thực x thỏa mãn C ln x 4 ln m x? D Vô số Lời giải Chọn C ĐK: x ln x ln m ln y ln y ln m Đặt y m vào phương trình ta có y x � x m m y TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Khi ta có hệ phương trình: Xét hàm số � 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 2 ln x � �y m � ln y �x m f t mt � f ' t ln m.mt f t (Do m �2 ) Nên hàm số đồng biến Khi đó: x y ln x ln m � ln x Từ (2) : x m � x x � ln m Do ln m ln x � ln m.ln x ln x ln x ln x x nên x x � ln x ln x � ln x 1 ln x m � 2 Nên ln m � m e hay x 2m log 18 x 1 12m m � 2021; 2021 Câu 17 Có m ngun để phương trình có nghiệm? A 211 B 2020 C 2023 D 212 Lời giải Chọn C Phương trình x 2m log 18 x 1 12m � x 2m 3log � x 2m � � � � x 2m � log 3x 2m 3 � � � � x 3log x 2m 3 2m 3, * Đặt y log 3x 2m 3 � y x 2m 3, 1 x y 2m 3, Mặt khác, PT(*) trở thành: Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta y x 3x y � x 3x y y 3 f t 6t 3t , t �� Xét hàm số f ' t 6t ln 0, t �� f t Ta có Suy hàm số đồng biến � f x f y � x y Mà PT (3) x x Thay y x vào PT (1), ta x 2m � x 2m �3 � g ' x x ln � g ' x � x log � � g x 3x �ln � Xét hàm số , với x �� Ta có BBT: x TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � � � 2m�� 3 g � log � 0,81 ln � � Từ suy PT cho có nghiệm Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu m 1, 095 m � 20; 20 x m log x m Câu 18 Có số nguyên để phương trình có nghiệm thực A 19 B 21 C 18 D 20 Lời giải Chọn D Đặt: t log x m � x m 7t � x 7t m Khi phương trình trở thành x 6t � x 6t � x t x t x t Khi ta có PT: x m Xét hàm số x Có f x x x ; x �� f ' x x ln � f ' x � x log x0 ln Ta có BBT Từ BBT ta thấy PT có nghiệm log7 m �y x0 log ln �0,389 ln ; Mà m � 20; 20 ; m ��� m � 19; 18; ;0 log x y log x y log z Câu 19 Cho số thực x, y, z thỏa mãn Có bao giá trị x, y thỏa mãn đẳng thức nguyên z để có hai cặp A B 211 C 99 Lời giải D Chọn B log x y log x y Ta có t � x y 3t 1 � � log z t � �x y 7t � t 3 �z 10 � x thay vào 1 ta + Nếu y TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2t 2.7 3t � t log 3 49 log z 10 3 49 Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ + Nếu y �0 Từ 1 & suy � �2 x y 27t x3 y � � � �x3 y 49t x y u 2 f u 2u 1 x u, u � y Đặt Xét � �x � � � �y � � t t � �� � �49 � �49 � � � � �� � �, * �27 � � �x � �27 � � � � � 12 � � �y � � � � � f� u 6u u u 2u 1 u0 � � 0� � u 3 � u4 � Ta có bảng biến thiên x, y thỏa mãn toán Nhận xét với giá trị u tương ứng với cặp t � 1� �49 � � log 49 � log 49 �� � � � � 8� � 27 27 � 10 � z 10 �27 � � � � �4 � � 49 t log 49 � � � � � �33 � � 27 � � z 10 � 27 33 � � � u cầu tốn tương đương Vì z số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn m.2 x x 1 m 22 x 8 x 1 log x x log m Câu 20 Cho phương trình , ( m tham số) Có số nguyên dương m cho phương trình cho có nghiệm thực A 31 B 63 C 32 D 64 Lời giải Chọn D Điều kiện: m.2 x x 1 � 2x x x log m m 22 x x log m 4x log x x log m 8 x 1 x log m 14 log x x log m 2t 4t 14log t * x x log m t , ( t 0) Đặt Phương trình trở thành t t f t 14 log t 0; � Xét hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có f� t 2t ln 4t ln 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 14 t ln 14 0, t � 0; � t ln f� t đồng biến 0; � Do phương trình f t hay phương trình Suy hàm số * có nhiều nghiệm t 1 � * � � * Do phương trình t2 � Ta thấy t 1, t thỏa mãn t � x x log m � x x log m 1 � f� t 2t ln 2 4t ln t � x x log m � x x log m Phương trình cho có nghiệm (1) (2) có nghiệm � 4 log m 1 ��� log m m 32 1 có nghiệm � � � log m log m m 64 có nghiệm ���� Do phương trình cho có nghiệm ۣ m 64 kết hợp m ngun dương Vậy có 64 số TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 ... x Do phương trình có dạng: 2 log x m log x m Thế vào phương trình cịn lại ta được: 2 t log x , phương trình có dạng: t m t m Đặt � m Để phương trình có... tham số m thỏa mãn m m �2 Câu 16 Có số nguyên B A m cho tồn số thực x thỏa mãn C ln x 4 ln m x? D Vô số Lời giải Chọn C ĐK: x ln x ln m ln y ln y ln m Đặt y m vào phương trình. .. 0; � t ln f� t đồng biến 0; � Do phương trình f t hay phương trình Suy hàm số * có nhiều nghiệm t 1 � * � � * Do phương trình t2 � Ta thấy t 1, t thỏa mãn t
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:48
Xem thêm:
