BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A2) Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths. ĐỖ PHI NGA

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG - - BÀI GI NG TOÁN CAO C P (A2) Biên so n : Ts LÊ BÁ LONG Ths PHI NGA L u hành n i b HÀ N I - 2006 L I NĨI U Tốn cao c p A1, A2, A3 ch ng trình tốn đ i c ng dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u phép tính vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, toán cao c p A2 c u trúc đ i s đ i s n tính Có nhi u sách giáo khoa tài li u tham kh o vi t v ch đ Tuy nhiên v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u h ng d n h c mơn tốn cao c p A2 đ c biên so n c ng nh m m c đích T p tài li u đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát giáo trình c a tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h qui c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi n Thơng biên so n n m 2001 theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính th , giáo trình c ng có th dùng làm tài li u h c t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a tr ng, ngành đ i h c cao đ ng Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng c ng nh m c đích c a ch ng (trong sách H ng d n h c t p Toán A2 kèm) đ th y đ c m c đích ý ngh a, u c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t ch ng minh rõ ràng c bi t b n đ c nên ý đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n k t qu H u h t toán đ c xây d ng theo l c đ : t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t toán Các ví d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t tốn, v y s giúp ng i đ c d dàng h n ti p thu h c Giáo trình g m ch ng t ng ng v i đ n v h c trình (60 ti t): Ch ng I: Lơ gích tốn h c, lý thuy t t p h p, ánh x c u trúc đ i s Ch ng II: Không gian véc t Ch ng III: Ma tr n Ch ng IV: Ch ng V: H ph Ch ng VI: Ánh x n tính Ch ng VII: Khơng gian véc t Euclide d ng tồn ph nh th c ng trình n tính ng Ngồi vai trị cơng c cho ngành khoa h c khác, toán h c đ c xem m t ngành khoa h c có ph ng pháp t l p lu n xác ch t ch Vì v y vi c h c toán c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t Các ph ng pháp đ c gi ng d y cung c p t ng b c trình h c t p ph thông, nh ng ch ng I v n đ đ c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng I đ c xem c s , ngơn ng c a tốn h c hi n đ i M t vài n i dung ch ng đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n Các c u trúc đ i s hồn tồn m i tr u t ng v y đòi h i h c viên ph i đ c l i nhi u l n m i ti p thu đ c Các ch ng l i c a giáo trình đ i s n tính Ki n th c c a ch ng liên h ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng công c c a ch ng khác Vì v y h c viên c n th y đ c m i liên h c m c a môn h c tính khái qt hố tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thơng Khi h c ta nên liên h đ n k t qu Tuy r ng tác gi r t c g ng, song th i gian b h n h p v i yêu c u c p bách c a H c vi n, v y thi u sót cịn t n t i giáo trình u khó tránh kh i Tác gi r t mong s đóng góp ý ki n c a b n bè đ ng nghi p, h c viên xa g n xin cám n u Cu i chúng tơi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thơng, Trung tâm t o B u Chính Vi n Thơng b n bè đ ng nghi p khuy n khích đ ng viên, t o nhi u u ki n thu n l i đ chúng tơi hồn thành t p tài li i Hà N i, cu i n m 2004 Ts Lê Bá Long Khoa c b n H c Vi n Cơng ngh B u Vi n thông Ch CH 1.1 S L ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s NG 1: M U V LƠGÍC M NH ,T PH P ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC IS C V LƠGÍC M NH M nh đ 1.1.1 Lơgíc m nh đ m t h th ng lơgích đ n gi n nh t, v i đ n v c b n m nh đ mang n i dung c a phán đoán, m i phán đoán đ c gi thi t có m t giá tr chân lý nh t đ nh ho c sai ch m nh đ ch a xác đ nh ta dùng ch p, q, r g i chúng bi n p ta cho p nh n giá tr p sai ta cho nh n giá tr Giá tr ho c đ c g i th hi n c a p m nh đ N u m nh đ M nh đ ph c h p đ lơgích m nh đ c xây d ng t m nh đ đ n gián h n b ng phép liên k t Các phép liên k t lơgíc m nh đ 1.1.2 Phép ph đ nh (negation): Ph đ nh c a m nh đ không p M nh đ p p sai p sai p Phép h i (conjunction): H i c a hai m nh đ p m nh đ đ c ký hi u p, đ c p, q m nh đ đ c ký hi u p ∧ q (đ c p q ) M nh đ p ∧ q ch p q Phép n (disjunction): Tuy n c a hai m nh đ (đ c p ho c q ) p ∨ q ch sai p q sai Phép kéo theo (implication): M nh đ sai p, q m nh đ đ c ký hi u p ∨ q p kéo theo q , ký hi u p ⇒ q , m nh đ ch p q sai Phép t ng đ ng (equivalence): M nh đ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) đ c g i m nh đ p t ng đ ng q , ký hi u p ⇔ q M t công th c g m bi n m nh đ phép liên k t m nh đ đ c g i m t công th c m nh đ B ng li t kê th hi n c a công th c m nh đ đ c g i b ng chân tr T đ nh ngh a c a phép liên k t m nh đ ta có b ng chân tr sau Ch ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s p q p q 1 0 p∧q p∨q p p 1 1 0 1 0 0 0 p⇒q p q 1 1 0 p⇒q q⇒ p 1 1 1 Nh v y p ⇔ q m t m nh đ c hai m nh đ sai m nh đ p ⇔ q sai tr ng h p ng p⇔q 0 p q ho c c l i M t công th c m nh đ đ c g i h ng n u ln nh n giá tr m i th hi n c a bi n m nh đ có công th c Ta ký hi u m nh đ t ng đ ng h ng " ≡ " thay cho " ⇔ " 1.1.3 Các tính ch t Dùng b ng chân tr ta d dàng ki m ch ng m nh đ h ng sau: 1) p≡ p lu t ph đ nh kép 2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) 3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 4) p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r lu t giao hoán lu t k t h p 5) [ p ∧ (q ∨ r )] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )] [ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] lu t phân ph i p ∨ p lu t chung 6) M nh đ p ∧ p sai 7) p∨q≡ p∧q p∧q≡ p∨q lu t mâu thu n lu t De Morgan Ch 8) p⇒q≡q ⇒ p lu t ph n ch ng 9) p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p lu t l y đ ng 10) 1.2 ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s p ∨ ( p ∧ q) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p lu t h p thu T PH P 1.2.1 Khái ni m t p h p Khái ni m t p h p ph n t khái ni m c b n c a tốn h c, khơng th đ nh ngh a qua khái ni m bi t Các khái ni m "t p h p", "ph n t " xét m i quan h phân t c a t p h p lý thuy t t p h p gi ng v i khái ni m "đ ng th ng", "đi m" quan h m đ ng th ng đ c xét hình h c Nói m t cách nơm na, ta có th xem t p h p nh m t s t t p v t, đ i t ng mà m i v t hay đ i t ng m t ph n t c a t p h p Có th l y ví d v t p h p có n i dung tốn h c ho c khơng tốn h c Ch ng h n: t p h p s t nhiên t p h p mà ph n t c a s 1,2,3 , t p h p cu n sách th vi n c a H c vi n Công ngh B u Vi n thơng t p h p mà ph n t c a cu n sách A, B, X ,Y , ph n t b i ch th ng x, y, N u ph n t x thu c A ta ký hi u x ∈ A , n u x không thu c A ta ký hi u x ∉ A Ta c ng nói t t "t p" thay cho thu t ng "t p h p" Ta th 1.2.2 ng ký hi u t p h p b i ch in hoa Cách mô t t p h p Ta th ng mô t t p h p theo hai cách sau: a) Li t kê ph n t c a t p h p Ví d 1.1: T p s t nhiên l nh h n 10 T p h p nghi m c a ph ng trình {1, 3, 5, 7, } x − = {− 1,1} b) Nêu đ c tr ng tính ch t c a ph n t t o thành t p h p Ví d 1.2: T p h p s t nhiên ch n P = {n ∈ n = 2m, m ∈ } Hàm m nh đ t p h p D m t m nh đ S (x) ph thu c vào bi n x ∈ D Khi cho bi n x m t giá tr c th ta đ ho c sai) c m nh đ lơgích (m nh đ ch nh n m t hai giá tr ho c N u đ S (x) m t m nh đ t p h p D t p h p ph n t c ký hi u {x ∈ D S (x)} đ x ∈ D cho S (x ) c g i mi n c a hàm m nh đ S (x) S (x) xác đ nh t p s t nhiên : " x + m t s nguyên t " S (1), S ( 2) S (3), S ( 4) sai i) Xét hàm m nh đ Ch ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s ii) M i m t ph ng trình m t hàm m nh đ {x∈ } x − = = {− 1, 1} có hình nh tr c quan v t p h p, ng i ta th ng bi u di n t p h p nh mi n ph ng gi i h n b i đ ng cong khép kín khơng t c t đ c g i gi n đ Ven c) M t s t p h p s th ng g p - T p s t nhiên = { 0, 1, 2, } - T p s nguyên = { 0, ± 1, ± 2, } - T p s h u t = { p q q ≠ 0, p, q ∈ - T p s th c { } = z = x + iy x, y ∈ ; i = −1 - T p s ph c 1.2.3 } T p nh ngh a 1.1: T p A đ c g i t p c a c a B , ta ký hi u A ⊂ B hay B ⊃ A Khi ch a A B n u m i ph n t c a A đ u ph n t A t p c a B ta cịn nói A bao hàm B hay B bao hàm A hay B Ta có: ⊂ ⊂ ⊂ nh ngh a 1.2: Hai t p ⊂ A , B b ng nhau, ký hi u A = B, ch A ⊂ B B ⊂ A A ⊂ B ta ch c n ch ng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B v y ch ng minh A = B ta ch c n ch ng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B Nh v y đ ch ng minh nh ngh a 1.3: T p r ng t p không ch a ph n t nào, ký hi u φ M t cách hình th c ta có th xem t p r ng t p c a m i t p h p A ∈ ( X ) ch A ⊂ X T p X t p c a nên ph n t l n nh t φ ph n t bé nh t T p h p t t c t p c a X đ c ký hi u P (X ) V y P P (X ) Ví d 1.3: X = {a, b, c} có P ( X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a}, X } Ch ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s P (X ) có 23 = ph n t Ta có th Ta th y X có ph n t r ng n u 1.2.4 X có n ph n t ch ng minh t ng quát P (X ) có 2n ph n t Các phép toán t p h p Phép h p: H p c a hai t p nh t m t hai t p A , B A B , ký hi u A ∪ B , t p g m ph n t thu c (x ∈ A ∪ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B )) V y Phép giao: Giao c a hai t p đ ng th i c hai t p A , B A B , ký hi u A ∩ B , t p g m ph n t thu c (x ∈ A ∩ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B )) V y Hi u c a hai t p: Hi u c a hai t p ph n t thu c A nh ng không thu c B (x ∈ A \ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∉ B )) V y c bi t n u đ A B , ký hi u A \ B hay A − B , t p g m B ⊂ X t p X \ B đ c g i ph n bù c a B X c ký hi u C XB N u t p X c đ nh không s nh m l n ta ký hi u B thay cho C XB Ta có th minh ho phép toán b ng gi n đ Ven: A∩ B A∪ B C XB Áp d ng lơgích m nh đ ta d dàng ki m ch ng l i tính ch t sau: A ∪ B = B ∪ A, A∩ B = B∩ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C tính giao hốn tính k t h p A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , Ch ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A, B hai t p c a X thì: Gi s 1.2.5 tính phân b A = A; A ∪ φ = A; A ∩ X = A A∪ A = X; A∩ A =φ A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B lu t De Morgan A \ B = A ∩ B = A ∩ A ∩ B = A \ ( A ∩ B) = C AA∩ B L ( ng t ph bi n l Gi ) ng t t n t i S (x) m t hàm m nh đ s DS ( x) = {x ∈ D S ( x)} Khi đó: a) M nh đ xác đ nh t p D có mi n ∀x ∈ D , S ( x) (đ c v i m i x ∈ D , S ( x) ) m t m nh đ n u DS ( x ) = D sai tr ng h p ng c l i Ký hi u Khi ∀ (đ c v i m i) đ c g i l ng t ph bi n D xác đ nh ta th ng vi t t t ∀x , S ( x) hay (∀x ), S ( x) b) M nh đ ∃x ∈ D , S ( x) (đ c t n t i x ∈ D , S ( x) ) m t m nh đ n u DS (x ) ≠ φ sai tr ng h p ng c l i Ký hi u ∃ (đ c t n t i) đ c g i l ng t t n t i ch ng minh m t m nh đ v i l ng t ph bi n ta ph i ch ng minh m i tr ng h p, v i m nh đ t n t i ta ch c n ch m t tr ng h p c) Ng nh t i ta m r ng khái ni m l ng t t n t i v i ký hi u ∃! x ∈ D, S ( x) (đ c t n t i x ∈ D, S ( x) ) n u DS (x ) có m t ph n t d) Phép ph đ nh l ng t ( ) ∃x ∈ D, S ( x) ⇔ ( ∀x ∈ D, S ( x) ) ∀x ∈ D, S ( x) ⇔ ∃x ∈ D, S ( x) (1.1) Ví d 1.4: Theo đ nh ngh a c a gi i h n lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃δ > ; ∀x : < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x →a 10 Ch ng 1: M đ u v lơgíc m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s S d ng tính ch t h ng ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) (xem tính ch t 1.3) ta có < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε t ng đ ng v i (( x − a ≥ δ ) ∨ (x = a ))∨ ( f ( x) − L < ε ) V y ph đ nh c a lim f ( x) = L x→a ∃ε > , ∀δ > ; ∃x : 1.2.6 ( < x − a < δ ) ∧ ( f ( x) − L ≥ ε ) Phép h p giao suy r ng Gi s ( Ai )i∈I m nh t m t t p Ai t h t p h p Ta đ nh ngh a U Ai t p g m ph n t i∈I I Ai t p g m ph n t i∈I thu c m i t p Ai (x ∈ Ui∈I Ai ) ⇔ (∃i0 ∈ I ; x ∈ Ai ) (x ∈ Ii∈I Ai ) ⇔ (∀i ∈ I ; x ∈ Ai ) V y thu c Ví d 1.5: An = {x ∈ Bn = {x ∈ (1.2) ≤ x ≤ n (n + 1)} − (n + 1) ≤ x < + (n + 1)} ∞ ∞ U A = [0 ; 1) , I B = [0 ; 1] n n n =1 1.2.7 Quan h 1.2.7.1 Tích c a t p h p nh ngh a 1.4: Tích d ng n =1 c a hai t p X , Y t p, ký hi u X × Y , g m ph n t có ( x, y ) x ∈ X y ∈ Y V y Ví d 1.6: X × Y = {( x, y ) x ∈ X vµ y ∈ Y } (1.3) X = {a, b, c}, Y = {1, 2} X × Y = {( a,1), (b,1), (c,1), ( a,2), (b,2), (c,2)} n×m Ta d dàng ch ng minh đ ph n t c r ng n u X có n ph n t , Y có m ph n t X × Y có 11 Ch ng 7: Khơng gian véc t Euclide d ng toàn ph Ng c l i, gi s ng Dk = det Ak > , v i k = 1, , n Theo ph ng pháp Jacobi (4.3.3) B ' = { f1, , f n } cho bi u th c to t nt ic s đ c a Q c s B ' có d ng t c: v = y1 f1 + + y n f n ⇒ Q(v) = V y Q xác đ nh d ng Tr ng h p (ii) đ 7.5 c ch ng minh t D D1 y2 + + n −1 yn y1 + Dn D2 D1 ng t NG B C TRONG M T PH NG VÀ M T B C TRONG KHÔNG GIAN 7.5.1 M t ph ng v i h to đ tr c chu n 7.5.1.1 H to đ tr c chu n m t ph ng Trong m t ph ng ta xét hai tr c vng góc d ng, t o nên m t h tr c Ox , Oy Oxy x' Ox y' Oy g i h tr c to đ vng góc ta ch n hai véc t đ n v l n l t i j H c t t i O theo chi u m t ph ng Trên { i, j } m t c s tr c chu n 7.5.1.2 To đ c a m t véc t , to đ c a m t m m t ph ng Cho véc t véc t v n u v m t ph ng v i h to đ vx , v y hình chi u c a v Oxy C p (v x , v y ) xu ng hai tr c Ox, Oy đ c g i to đ c a Theo phép toán c ng véc t (theo quy t c hình bình hành), nhân m t s v i m t véc t tính vơ h N u ng c a hai véc t u v = u ⋅ v cos(u, v) v = vx i + v y j = v ,i i + v , j j OM = xi + y j ( x, y ) đ c g i to đ c a m M , ký hi u M ( x, y ) Nói cách khác to đ c a véc t OM to đ c a m có to đ ( x A , y A ); ( x B , y B ) véc t 140 M Hai m A, B AB có to đ ( x B − x A , y B − y A ) Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph y ng y vy M y j j i O 7.5.1.3 Các đ vx x x ng b c m t ph ng Trong m t ph ng, ta xét đ a) O i x ng b c sau: ng Ellipse (Êlíp) Cho F1 , F2 c đ nh ng ellipse nh n tiêu m F1 , F2 v i đ dài tr c l n a t p h p: ( E ) = {M MF1 + MF2 = 2a} ; a > c v i F1F2 = 2c N u F1 ( −c,0) , F2 (c,0) ph x2 a + y2 b =1 ng trình c a ellipse v i (E ) có d ng: a2 = b2 + c2 (7.41) a đ dài tr c l n, b đ dài tr c bé Khi a = b ⇒ c = : ellipse (E ) tr thành đ ng tròn tâm O bán kính a b) Hyperbol { } ( H ) = M MF1 − MF2 = 2a , a < c Ph ng trình (H ) : x2 a − y2 b = v i b2 = c2 − a2 (7.42) c) Parabol: Cho đ ng th ng (Δ) m F Parabol có tiêu m F , đ ng chu n (Δ) t p h p: ( P ) = {M MF = d ( M , Δ )} 141 Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng tồn ph ng d ( M , Δ ) kho ng cách t M đ n đ ng th ng (Δ) N u F ( p ,0 ) , (Δ) : x = − p (P ) có ph ng trình: y = px (7.43) (7.41), (7.42), (7.43) ph y ng trình t c c a đ ng cônic (Δ) y y b F a x x Ellipse 7.5.1.4 Phân lo i đ − p p 2 Hyperbol Parabol ng b c m t ph ng Trong m t ph ng cho h to đ Descartes vng góc ph x Oxy M t đ ịng cong b c có ng trình t ng quát: a11x + 2a12 xy + a22 y + 2a1x + 2a2 y + a0 = (7.44) a11 , a12 , a 22 khơng đ ng th i b ng khơng Ta tìm m t h tr c to đ Descartes vng góc m i đ h to đ đ (7.44) có d ng t c t ng cong a12 ⎤ ⎡a A = ⎢ 11 ⎥ , a12 = a21 ⎣a21 a22 ⎦ A đ i x ng nên chéo hóa tr c giao đ c, ngh a t n t i ma tr n tr c giao T ⎡λ1 ⎤ t cho det T = T AT = ⎢ ⎥ ⎣ λ2 ⎦ Ma tr n Theo ví d 7.5 (7.16) ta có th ch n 142 ⎡cosϕ T =⎢ ⎣ sin ϕ − sin ϕ ⎤ cosϕ ⎥⎦ Ch ⎡ x ⎤ ⎡cosϕ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin ϕ ⎣ ⎦ ⎣ t Nh v y h to đ m i góc ng 7: Khơng gian véc t Euclide d ng toàn ph ng − sin ϕ ⎤ ⎡ x'⎤ cosϕ ⎥⎦ ⎢⎣ y '⎥⎦ Ox' y ' có đ c b ng cách quay h tr c Oxy quanh g c O m t ϕ ng trình đ Ph ng b c (7.44) h to đ Ox' y ' là: λ1x'2 +λ2 y '2 +2a'1 x'+2a'2 y '+ a0 = (n u a12 = khơng c n b 1) N u λ1λ ≠ c này) ng trình (7.45) vi t đ ph (7.45) c thành 2 ⎛ ⎛ a' ⎞ a' ⎞ λ1⎜⎜ x'+ ⎟⎟ + λ2 ⎜⎜ y '+ ⎟⎟ + a '0 = λ1 ⎠ λ2 ⎠ ⎝ ⎝ T nh ti n h to đ Ox' y ' đ n h to đ ΩXY : a' a' X = x'+ , Y = y '+ , ta đ c: λ1 λ2 λ1 X + λ2Y + a'0 = (7.46) a) a '0 ≠ , λ1λ > , λ1a '0 < : (7.46) ph ng trình m t Ellipse; b) a '0 ≠ , λ1λ > , λ1a '0 > : (7.46) ph ng trình m t Ellipse o; c) a '0 ≠ , λ1λ < : ng trình m t Hyperbol; d) a '0 = , λ1λ < : Ph trình c p đ e) ph ng trình (7.46) có d ng λ1 X − λ2 Y = ph ng ng th ng c t a '0 = , λ1λ > : ng trình m t c p đ Ph ng trình (7.46) có d ng λ1 X + λ Y = ng th ng o 2) Có m t hai giá tr a) (7.46) ph λ1 , λ2 b λ1 = , λ ≠ , a'1 ≠ : Ph ng 0: ng trình (7.44) có th vi t l i: 143 Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph ng ⎛ a' ⎞ λ2 ⎜⎜ y '+ ⎟⎟ + 2a'1 ( x'+ a"0 ) = λ2 ⎠ ⎝ đ t X = x '+ a"0 , a a' Y = y '+ ta có: Y = −2 X λ2 λ2 V y (7.47) m t Parabol nh n tr c b) (7.47) λ2 = , λ1 ≠ , a '2 ≠ : ΩX làm tr c đ i x ng ng cong (7 44) m t Parabol nh n tr c ΩY làm tr c đ i x ng c) λ1 = , λ2 ≠ , a '1 = hay λ1 ≠ , λ2 = , a '2 = : m tc pđ ng cong (7.44) ng th ng th c ho c o Ví d 7.12: Cho đ ng b c có ph ng trình (G ) : x − xy + y = 36 ⎡ − 2⎤ A=⎢ ⎥ có giá tr riêng λ1 = 4, λ2 = chéo hoá tr c giao ta đ c: − ⎣ ⎦ 2 ⎧ ⎧ ⎪⎪i ' = i + j ⎪⎪ x = X + Y ⇒ ⎨ ⎨ ⎪ j' = − ⎪y = − X + Y i+ j ⎪⎩ ⎪⎩ 5 5 Ma tr n ph ng trình c a (G ) h to đ m i: X + 9Y = 36 X2 Y2 + = ⇒ y Y X O 144 x Ch 7.5.2 ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph ng H to đ tr c chu n không gian 7.5.2.1 To đ c a m t véc t to đ c a m t m không gian O : x' Ox , y' Oy , z' Oz ; T o thành m t h tr c g i h tr c to đ vng góc Descartes khơng gian, vi t t t Oxyz Trong không gian ta xét ba tr c vng góc chung g c Trên ba tr c to đ ta ch n véc t đ n v l n l h thu n, ngh a n u đ ng theo chi u véc t kim đ ng h V i m i véc t t i , j , k Ta ch xét h tr c Oxyz k ta s th y i quay sang j theo ng c chi u v ta có th vi t v = vx i + v y j + vz k = v , i i + v , j j + v , k k v x , v y , v z l n l t hình chi u c a v xu ng tr c Ox, Oy, Oz (v x , v y , v z ) đ c g i to đ c a véc t v , ký hi u v = (v x , v y , v z ) To đ c a véc t OM = ( x, y, z ) đ c g i to đ c a m M , ký hi u M ( x, y, z ) 7.5.2.2 M t s m t b c th ng g p khơng gian a) Ellipsoid (Êlípxơít) m t (E ) b c có ph ng trình x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = a, b, c b ng ta có m t ellipsoid tròn xoay Ch ng h n n u a = b ta có m t trịn xoay quanh tr c z' Oz N u a = b = c = R ta có m t c u tâm O bán kính R ; *) N u s *) G c O tâm đ i x ng, m t ph ng to đ m t ph ng đ i x ng; *) Giao n v i m t ph ng song song v i m t ph ng to đ ellipse b) Hyperboloid m t t ng (Hyperbơlơít) có ph *) G c ng trình ( H1 ) : x2 a + y2 b − z2 c = O tâm đ i x ng; *) Các tr c to đ tr c đ i x ng; *) Các m t ph ng t a đ m t ph ng đ i x ng; *) Giao c a ( H1 ) v i m t ph ng vng góc v i tr c z' Oz m t ellipse; 145 Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph *) Giao c a ( H1 ) v i m t ph ng ch a tr c T ng z' Oz m t Hyperbol ng t có Hyperboloid m t t ng: x2 a − y2 b + z2 c =1 , − x2 a c) Hyperboloid hai t ng có ph + y2 b + z2 c = x2 ng trình ( H ) : *) M t ph ng vng góc v i tr c a y2 + b − z2 c = −1 z' Oz có ph ng trình z = h cho h > c c t ( H ) theo m t elippse; *) Giao c a ( H ) v i m t ph ng ch a z' Oz m t Hyperbol z z z y x y x Ellisoid x Hyperboloid m t t ng a y2 + b *) Giao n c a ( P1 ) v i m t ph ng vng góc tr c m t ellipse; *) Giao n c a ( P1 ) v i m t ph ng ch a tr c e) Paraboloid hyperbolic (m t yên ng a) có ph ( P2 ) : 146 Hyperboloid hai t ng x2 d) Paraboloid elliptic (Parabơlơít êlíptíc) ( P1 ) : Oxy y x2 a − y2 b = 2z = 2z z' Oz n m phía m t ph ng z' Oz Parabol ng trình Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph *) Giao c a ( P2 ) v i m t ph ng vng góc v i tr c z' Oz m t Hyperbol; *) Giao c a ( P2 ) v i m t ph ng vng góc v i tr c x' Ox m t Parabol; *) Giao c a ( P2 ) v i m t ph ng vng góc v i tr c y' Oy m t Parabol z ng z x y x y Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic g) Các m t tr b c Các m t tr b c đ i x ng qua m t ph ng *) Tr elliptic: x2 a2 *) Tr Hyperbolic: *) Tr Parabolic: + x2 a2 y2 b2 − xOy = y2 = b2 x = py z z z x y x y y Tr elliptic Tr Hyperbolic x Tr Parabolic 147 Ch ng 7: Khơng gian véc t Euclide d ng tồn ph ng h) Các m t nón Các m t nón đ i x ng qua m t ph ng x2 a + y2 b − z2 c xOy có ph ng trình = *) Giao v i m t ph ng vng góc v i tr c *) Giao v i m t ph ng ch a tr c z' Oz m t ellipse; z' Oz c p đ ng th ng z y x 7.5.3 Phân lo i m t b c Trong h to đ Descartes vng góc Oxyz xét m t (Q ) b c có ph ng trình: a11x + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = [ ] (7.48) v i aij = a ji ma tr n đ i x ng nên t n t i ma tr n tr c giao A = aij i , j =1,3 T cho det T = (đ h tr c to đ m i t o thành tam di n thu n) 0⎤ ⎡λ1 T t AT = ⎢ λ2 ⎥ T ng ng v i ma tr n chuy n c s T phép quay quanh g c to ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 λ3 ⎦⎥ Ma tr n đ 148 Ch Công th c đ i to đ M tb c2 ng 7: Khơng gian véc t Euclide d ng tồn ph ng ⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ y ⎥ = T ⎢ y '⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ (Q ) có ph ng trình t a đ m i: λ1 x'2 +λ2 y '2 +λ3 z '2 +2b'1 x'+2b'2 y '+2b'3 z '+c = (7.49) Tùy theo giá tr c a λ1 , λ2 , λ3 , b '1 , b '2 , b '3 , c m t (Q ) có d ng sau: a) Các giá tr riêng λ1 , λ , λ3 khác ( λ1λ λ3 ≠ ) B ng cách t nh ti n h to đ ta có th đ a ph ng trình (7.49) v d ng: λ1 X + λ2Y + λ3 Z = C ' *) N u C' ≠ • λ1, λ2 , λ3 , C ' d • λ1, λ2 , λ3 d • λ1, λ2 , λ3 ch *) N u (7.50) u, u: (Q ) Ellipsoid; C ' trái d u: (Q ) Ellipsoid o; có hai s d u: (Q ) Hyperboloid m t t ng ho c hai t ng C' = • λ1, λ2 , λ3 ch có hai s d u: • λ1, λ2 , λ3 d u: (Q ) nón b c (Q ) nón o (m t m) Các tr ng h p l i sau ta ch xét m i tr k t qu t ng t b) Có m t giá tr ba giá tr Ch ng h n λ1, λ2 , λ3 b ng λ3 = , λ1λ2 ≠ *) b'3 ≠ : T nh ti n h to đ ta đ ây ph ng h p m t lo i đ i di n, lo i khác có c: λ1 X ng trình Paraboloid elliptic n u + λ2Y + 2b'3 Z = λ1λ2 > Paraboloid hyperbolic n u λ1λ2 < *) b'3 = : T nh ti n to đ ta đ c: λ1 X + λ2Y = C ' 149 Ch ng 7: Không gian véc t Euclide d ng tồn ph ây ph ng trình m t tr n u c) Có hai giá tr ba giá tr Ch ng h n ng C ' ≠ c p m t ph ng c t n u C ' = λ1, λ2 , λ3 b ng λ3 = , λ2 = , λ1 ≠ *) b'2 , b'3 không đ ng th i b ng Gi λ1 X + b"2 Y = : (Q ) m t tr Parabolic s b'2 ≠ : T nh ti n to đ ta đ c *) b'2 = b'3 = : T nh ti n h to đ ta có: λ1 X = C ' Do (7.49) ph c p m t ph ng song song n u C ' ≠ trùng n u C ' = Ví d 7.13: Trong khơng gian v i h to đ ng trình Oxyz cho m t b c có ph ng trình (Q) : x + y + 10 z + xy + xz + yz − 12 x + 12 y + 72 z = 24 ⎡7 ⎤ ⎢ ⎥ Ma tr n c a d ng toàn ph ng t ng ng A = ⎢ ⎥ ⎢⎣2 10⎥⎦ a th c đ c tr ng A − λI = (6 − λ ) (12 − λ ) Tìm c s c a khơng gian riêng tr c chu n hố Gram-Shmidt ta có ma tr n tr c giao ⎡− ⎢ T =⎢1 ⎢ ⎣ 6⎤ ⎡6 0 ⎤ ⎥ t − ⎥ có det T = T AT = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 12⎥⎦ ⎥⎦ −1 ⎡ x'⎤ ⎡ x⎤ ⎢ y ⎥ = T ⎢ y '⎥ ph ng trình c a m t (Q ) to đ m i: i to đ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ 1 ⎞ ⎛ x'− y '+ z'⎟ x'2 +6 y '2 +12 z '2 −12⎜ − ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ x'− y '− z ' ⎟ + 72⎜ y '+ z ' ⎟ = 24 + 12⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⇒ 150 ( ) ( ) ( ) x'2 +2 x' + y '2 +4 y ' + 12 z '2 +2 = 24 Ch T nh ti n to đ : X = x '+ , suy V y ng 7: Không gian véc t Euclide d ng toàn ph Y = y '+2 , Z = z '+ , X Y2 Z2 + + = 30 30 15 (Q) : ng ( ) (Q ) m t Ellipsoid tròn xoay theo tr c Z ' ΩZ , Ω có to đ − ,−2 3,− Ví d 7.14: Trong khơng gian v i h to đ Oxyz cho m t b c có ph ng trình (Q) : xy + xz + yz − x − y + z = ⎡0 1 ⎤ ⎢ ⎥ Ma tr n c a d ng toàn ph ng t ng ng A = 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0⎥⎦ a th c đ c tr ng A − λI = (λ + 1) (2 − λ ) Tìm c s c a không gian riêng tr c chu n hố Gram-Shmidt ta có ma tr n tr c giao ⎡− ⎢ T =⎢1 ⎢ ⎣ 3⎤ ⎡− 0⎤ ⎥ − ⎥ có det T = T t AT = ⎢ − 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 2⎥⎦ ⎥⎦ −1 ⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ y ⎥ = T ⎢ y '⎥ ph ng trình c a m t (Q ) to đ m i: i to đ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ 1 ⎞ ⎛ − x'2 − y '2 +2 z '2 −6⎜ − x'− y '+ z'⎟ ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x'− y '+ z ' ⎟ + 6⎜ y '+ z ' ⎟ = − 6⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇒ ( T nh ti n to đ : suy V y ) ( ) − x'2 − y '2 −4 y ' + z '2 − 3z ' = (Q) : X = x' , Y = y '−2 , Z = z '− , X 2Y Z + − = 45 45 45 (Q ) m t Hyperboloid m t t ng 151 Tài M clil uc tham kh o TÀI LI U THAM KH O G M FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, T p 1,2,3 Nauka, Moskva, 1969 (ti ng Nga) G M FICHTENGÔN, C s gi i tích tốn h c, T p 1,2,3 NXB chuyên nghi p, Hà n i, 1977 K MAURIN, Analiza, R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUY N ÌNH TRÍ (ch biên), Toán h c cao c p ,T p 1,2,3 NXB d c chuyên nghi p, Hà n i, 1990 JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình tốn, T p 1,2,3,4 NXB Giáo d c, Hà n i, 1999 (d ch t ti ng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 152 i h c Trung h c Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 i h c Giáo M cl c môc lơc L i nói đ u .3 Chơng 1: Mở đầu lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ v cấu trúc đại sè 1.1 Sơ lợc lôgíc mƯnh ®Ị 1.2 TËp hỵp 1.3 ánh xạ 15 1.4 Giải tích tổ hợp - NhÞ thøc Newton 19 1.5 Các Cấu trúc đại sè 25 1.6 Đại số Boole .29 Chơng 2: Không gian véc tơ 37 2.1 Khái niệm không gian véc tơ 37 2.2 Không gian véc tơ 40 2.3 §éc lËp tun tÝnh, phơ thc tun tÝnh 42 2.4 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 44 2.5 Cơ sở, số chiều không gian véc tơ 45 Ch−¬ng 3: Ma trËn 51 3.1 Kh¸i niÖm ma trËn 51 3.2 C¸c phÐp to¸n ma trËn 52 3.3 Ma trËn hệ véc tơ sở ®ã 56 3.4 H¹ng cđa ma trËn 57 Ch−¬ng 4: §Þnh thøc 61 4.1 Hoán vị phÐp thÕ 61 4.2 Định thức 63 4.3 Các tính chất định thức .66 4.4 Các cách tính định thøc 68 153 M cl c 4.5 øng dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo 74 4.6 T×m hạng ma trận định mức 77 Ch−¬ng 5: Hệ phơng trình tuyến tính 81 5.1 Khái niệm hệ phơng tr×nh tuyÕn tÝnh 81 5.2 Định lý tồn nghiệm 82 5.3 Phơng pháp Cramer 82 5.4 Phơng pháp ma trận nghịch đảo 84 5.5 Gi¶i hệ phơng trình tuyến tính phơng pháp khử Gauss 85 5.6 Hệ phơng trình tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt .89 Chơng 6: ánh xạ tuyến tính .91 6.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính .91 6.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 94 6.3 Toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu .95 6.4 ánh xạ tuyến tính ma trận 97 6.5 ChÐo hãa ma trËn 102 Ch−¬ng 7: Không gian véc tơ Euclide dạng ton phơng 115 7.1 Tích vô hớng, không gian véc tơ Euclide .115 7.2 Ma trận trực giao ánh xạ tuyến tính trực giao 121 7.3 Chéo hóa trực giao ma trận - Tự đồng cầu ®èi xøng .124 7.4 Dạng toàn phơng 128 7.5 §−êng bËc mặt phẳng mặt bậc không gian 140 tμi liÖu tham kh¶o 152 154 ... (60 ti t ): Ch ng I: Lơ gích tốn h c, lý thuy t t p h p, ánh x c u trúc đ i s Ch ng II: Không gian véc t Ch ng III: Ma tr n Ch ng IV: Ch ng V: H ph Ch ng VI: Ánh x n tính Ch ng VII: Khơng gian... vi t xRy nh ngh a 1. 5: Cho t p Ví d 1. 7: Ta xét quan h sau t p s : ( x chia h t cho y ) , ∀x, y ∈ R1 : xR1 y ⇔ xM y R2 : xR2 y ⇔ ( x, y ) = ( x y nguyên t nhau) ∀x, y ∈ R3 : xR3 y ⇔ x ≤ y ( x... h n: Hàm lôgarit y = ln x ánh x ln : *+ → x a y = ln x Hàm c n b c hai y = x ánh x : +→ xa y= x nh ngh a 1.1 1: Cho ánh x f ( A) = { f ( x) x ∈ A} f : X → Y A ⊂ X , B ⊂ Y (1.5) 15 Ch ng 1: M