TOÁN CAO CẤP (A2) (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG ===== SÁCH H ===== NG D N H C T P TOÁN CAO C P (A2) (Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa) L u hành n i b HÀ N I - 2006 Gi i thi u môn h c GI I THI U MÔN H C GI I THI U CHUNG: Toán cao c p A1, A2, A3 ch ng trình tốn đ i c ng dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thu c kh i k thu t N i dung c a toán cao c p A1, A3 ch y u phép tính vi tích phân c a hàm m t ho c nhi u bi n, toán cao c p A2 c u trúc đ i s đ i s n tính Có nhi u sách giáo khoa tài li u tham kh o vi t v ch đ Tuy nhiên v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên làm vi c đ c l p nhi u h n, c n ph i có tài li u h ng d n h c t p thích h p cho t ng môn h c T p tài li u h ng d n h c mơn tốn cao c p A2 đ c biên so n c ng nh m m c đích T p tài li u đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi n Thông N i dung c a cu n sách bám sát giáo trình c a tr ng đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h qui c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi n Thơng biên so n n m 2001 theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính th , giáo trình c ng có th dùng làm tài li u h c t p,tài li u tham kh o cho sinh viên c a tr ng, ngành đ i h c cao đ ng Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t ch ng minh rõ ràng c bi t b n đ c nên ý đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n k t qu H u h t toán đ c xây d ng theo l c đ : đ t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t tốn Các ví d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán, v y s giúp ng i đ c d dàng h n ti p thu h c Sau ch ng có ph n tóm t t n i dung cu i câu h i luy n t p Có kho ng t 30 đ n 40 t p cho m i ch ng, t ng ng vói -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i bao trùm toàn b n i dung v a đ c h c Có nh ng câu ki m tra tr c ti p ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p sáng t o ki n Gi i thi u môn h c th c đ gi i quy t Vì v y vi c gi i t p giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a Các t p đ c cho d i d ng tr c nghi m khách quan, m t ph ng pháp r t phù h p v i hình th c đào t o t xa H c viên có th t ki m tra đ i chi u v i đáp án cu i sách Tuy nhiên ph ng pháp tr c nghi m c ng có nh ng m t h n ch c a nó, ch ng h n ph ng pháp không th hi n đ c kh n ng trình bày k t qu , kh n ng l p lu n, mà m t nh ng yêu c u c a vi c h c toán M t toán có th gi i cho k t qu nh ng cách gi i sai th m chí sai c v b n ch t Hai l n sai d u tr bi n thành d u c ng cho k t qu nh ng th c ch t sai M t khác có th gi i toán tr c nghi m b ng cách th tr ng h p lo i tr , nh ng cách làm tiêu c c kh c ph c nh ng h n ch c a ph ng pháp ki m tra tr c nghi m khuyên ng i đ c nên t gi i quy t toán theo ph ng pháp t lu n, sau m i đ i chi u v i tr ng h p a, b, c, d đ ch n ph ng án Giáo trình g m ch ng t ng ng v i đ n v h c trình (60 ti t): Ch ng I: Lơ gích tốn h c, lý thuy t t p h p, ánh x c u trúc đ i s Ch ng II: Không gian véc t Ch ng III: Ma tr n Ch ng IV: Ch ng V: H ph Ch ng VI: Ánh x n tính Ch ng VII: Khơng gian véc t Euclide d ng tồn ph nh th c ng trình n tính ng Ngồi vai trị cơng c cho ngành khoa h c khác, tốn h c cịn đ c xem m t ngành khoa h c có ph ng pháp t l p lu n xác ch t ch Vì v y vi c h c tốn c ng giúp ta rèn luy n ph ng pháp t Các ph ng pháp đ c gi ng d y cung c p t ng b c trình h c t p ph thông, nh ng ch ng I v n đ đ c h th ng hoá l i N i dung c a ch ng I đ c xem c s , ngơn ng c a tốn h c hi n đ i M t vài n i dung ch ng đ c h c ph thông nh ng ch v i m c đ đ n gi n Các c u trúc đ i s hồn tồn m i tr u t ng v y địi h i h c viên ph i đ c l i nhi u l n m i ti p thu đ c Các ch ng cịn l i c a giáo trình đ i s n tính Ki n th c c a ch ng liên h ch t ch v i nhau, k t qu c a ch ng cơng c c a ch ng khác Vì v y h c viên c n th y đ c m i liên h c m c a môn h c Gi i thi u mơn h c tính khái qt hố tr u t ng cao Các khái ni m th ng đ c khái quát hoá t nh ng k t qu c a hình h c gi i tích ph thông Khi h c ta nên liên h đ n k t qu M C ÍCH MƠN H C Cung c p cho sinh viên ki n th c c b n v đ i s : M nh đ , t p h p, ánh x , c u trúc đ i s đ i s n tính bao g m khái ni m v không gian vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x n tính, d ng song n tính, d ng tồn ph ng , làm c s đ ti p thu môn k thu t n n t PH NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H C h c t t môn h c này, sinh viên c n l u ý nh ng v n đ sau : 1- Thu th p đ y đ tài li u : ◊ Bài gi ng: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 ◊ Sách h ng d n h c t p t p: Toán cao c p A2 Lê Bá Long, Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005 N u có u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách 2- t m c tiêu, th i h n cho b n thân: t m c m c tiêu t m th i th i h n cho b n thân, c g ng th c hi n chúng Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh môn h c khác, sinh viên nên t đ t cho m t k ho ch h c t p cho riêng L ch h c mơ t v tu n h c (t h c) m t k h c đánh d u s l ng công vi c c n làm ánh d u ngày sinh viên ph i thi sát h ch, n p lu n, ki m tra, liên h v i gi ng viên Xây d ng m c tiêu ch ng trình nghiên c u Bi t rõ th i gian nghiên c u m i b t đ u nghiên c u th th c hi n, c đ nh nh ng th i gian hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên c u đ “Ti t ki m th i gian” “N u b n m t nhi u gi nghiên c u”, b n nên xem l i k ho ch th i gian c a 3- Nghiên c u n m nh ng ki n th c đ c t lõi: Gi i thi u môn h c Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c nghiên c u gi ng môn h c tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua đ c tài li u m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s d ng hình th c h c t p khác Hãy s d ng thói quen s d ng bút đánh d u dòng (highline maker) đ đánh d u đ m c nh ng n i dung, công th c quan tr ng tài li u 4- Tham gia đ y đ bu i h ng d n h c t p: Thông qua bu i h ng d n h c t p này, gi ng viên s giúp sinh viên n m đ c nh ng n i dung t ng th c a môn h c gi i đáp th c m c; đ ng th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác l p Th i gian b trí cho bu i h ng d n khơng nhi u, đ ng b qua nh ng bu i h ng d n đ c lên k ho ch 5- Ch đ ng liên h v i b n h c gi ng viên: Cách đ n gi n nh t tham d di n đàn h c t p m ng Internet H th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p su t 24 gi /ngày ngày/tu n N u khơng có u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng s d ng s d ng d ch v b u ph ng th c truy n thông khác (đi n tho i, fax, ) đ trao đ i thông tin h c t p 6- T ghi chép l i nh ng ý chính: N u ch đ c khơng r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y giúp ích r t nhi u cho vi c hình thành thói quen t h c t nghiên c u -Tr l i câu h i ôn t p sau m i ch ng, Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c câu h i Hãy c g ng v ch nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n i v i t p, sinh viên nên t gi i tr c tham kh o h ng d n, đáp án ng ng i ng n vi c liên h v i b n h c gi ng viên đ nh n đ c s tr giúp Nên nh thói quen đ c ghi chép chìa khố cho s thành cơng c a vi c t h c! Ch CH ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s NG 1: M U V LƠGÍCH M NH ,T PH P ÁNH X VÀ CÁC C U TRÚC IS 1.1 M C TIÊU, YÊU C U, Ý NGH A ây ch ng m đ u làm c s , làm ngôn ng công c khơng nh ng cho tốn h c mà cịn cho ngành khoa h c khác Ta bi t r ng toán h c m t ngành khoa h c lý thuy t đ c phát tri n c s tuân th nghiêm ng t qui lu t l p lu n c a t lơgich hình th c Các qui lu t c b n c a lơgich hình th c đ c phát tri n t th i Aristote (Arít-xt t ) (th k th tr c công nguyên) v i s phát tri n r c r c a v n minh c Hy L p Tuy nhiên đ n th k 17 v i nh ng công trình c a De Morgan ( Mocgan), Boole lơgích hình th c m i có m t c u trúc đ i s đ p đ v i lý thuy t t p h p giúp làm xác hố khái ni m tốn h c thúc đ y toán h c phát tri n m nh m Vi c n m v ng lơgich hình th c giúp h c viên khơng nh ng h c t t mơn tốn mà cịn có th v n d ng th c t bi t l p lu n xác H c t t môn lôgich c s đ h c t t đ i s Boole, v n d ng đ gi i toán v s đ công t c r le, s đ n công ngh thông tin Yêu c u c a ph n ph i n m v ng khái ni m m nh đ toán h c, phép toán liên k t m nh đ tính ch t c a chúng Khái ni m t p h p, ánh x c u trúc đ i s khái ni m c b n: v a công c v a ngôn ng c a tốn h c hi n đ i Vì vai trị n n t ng c a nên khái ni m t p h p đ c đ a r t s m vào ch ng trình tốn ph thông (l p 6) Khái ni m t p h p đ c Cantor đ a vào cu i th k 19 Sau đ c xác hoá b ng h tiên đ v t p h p Có th ti p thu lý thuy t t p h p theo nhi u m c đ khác Chúng ta ch ti p c n lý thuy t t p h p m c đ tr c quan k t h p v i phép toán lơgich hình th c nh "và", "ho c", phép kéo theo, phép t ng đ ng, l ng t ph bi n, l ng t t n t i V i phép tốn lơgích ta có t ng ng phép toán giao, h p, hi u t p h p c a t p h p Trên c s tích Descartes ( -các) c a hai t p h p ta có khái ni m quan h hai mà hai tr ng h p đ c bi t quan h t ng đ ng quan h th t Quan h t ng đ ng đ c dùng đ phân m t t p thành l p khơng giao nhau, g i phân ho ch c a t p Quan h đ ng d mơđulơ p (modulo) m t quan h t ng đ ng t p s nguyên T p th ng c a t p p Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s s nguyên môđulô p T p p có nhi u ng d ng lý thuy t m t mã, an toàn m ng Quan h th t đ c dùng đ s p x p đ i t ng c n xét theo m t th t d a tiêu chu n Quan h ≤ t p h p s quan h th t Khái ni m ánh x s m r ng khái ni m hàm s đ c bi t Khái ni m giúp ta mô t phép t ng ng t m t t p đ n t p tho mãn u ki n r ng m i ph n t c a t p ngu n ch cho ng v i m t ph n t nh t c a t p đích m i ph n t c a t p ngu n đ u đ c cho ng v i ph n t c a t p đích đâu có t ng ng ta có th mơ t đ c d i ngôn ng ánh x S d ng khái ni m ánh x t p h p ta kh o sát v n đ c a gi i tích t h p, ph ng pháp đ m s ph n t Gi i tích t h p đ c s d ng đ gi i quy t toán xác su t th ng kê toán h c r i r c Ta có th th c hi n phép toán c ng s , hàm s , đa th c, véc t ho c nhân s , hàm s , đa th c Nh v y ta có th th c hi n phép toán đ i t ng khác Cái chung cho m i phép toán c ng hay nhân tính ch t giao hốn, k t h p, phân b M t t p h p có phép tốn tho mãn u ki n đ c g i có c u trúc đ i s t ng ng Các c u trúc đ i s quan tr ng th ng g p nhóm, vành, tr ng, khơng gian véc t i s h c m t ngành c a toán h c nghiên c u c u trúc đ i s Lý thuy t Nhóm đ c Evarist Galois (Galoa) đ a vào đ u th k 19 cơng trình "Trong nh ng u ki n m t ph ng trình đ i s có th gi i đ c?", Galoa v n d ng lý thuy t nhóm đ gi i quy t Trên c s lý thuy t nhóm ng i ta phát tri n c u trúc đ i s khác Vi c nghiên c u c u trúc đ i s giúp ta tách kh i đ i t ng c th mà th y đ c chung c a t ng c u trúc đ kh o sát tính ch t, đ c tr ng c a chúng Ch ng h n, t p ma tr n vuông c p, t đ ng c u n tính, đa th c có c u trúc vành khơng ngun nên có nh ng tính ch t chung Các c u trúc đ i s có tính khái qt hố tr u t ng cao v y ng i ta ngh r ng khó áp d ng vào th c ti n Tuy nhiên th c t cho th y đ i s Boole đ c ng d ng r t hi u qu vi c gi i quy t toán v s đ m ch n, vào máy tính Lý thuy t nhóm đ c ng d ng vào c h c l ng t Lý thuy t v nhóm vành đ c ng d ng lý thuy t m t mã, lý thuy t Ơtơmát 1.2 TĨM T T N I DUNG 1.2.1 Lơgíc m nh đ a M nh đ 10 ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s Ch b Liên k t m nh đ : Phép ph đ nh: p đ c không p Phép h i: p ∧ q đ c p q Phép n: p ∨ q đ c p ho c q Phép kéo theo: p ⇒ q đ c p kéo theo q, p suy q Phép t ng đ ng: p ⇔ q đ c p t L ng t ph bi n: ∀ đ c v i m i L ng t t n t i: ∃ đ c t n t i ng đ ng q 1.2.2 T p h p ph n t a T p h p a ph n t c a A ký hi u a ∈ A , đ c a thu c A a không ph i ph n t c a A ký hi u a ∉ A , đ c a không thu c A T p r ng φ A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B ) T p con: T p b ng A = B ⇔ (( A ⊂ B) ∧ ( B ⊂ A) ) b Các phép toán t p h p H p x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B ) Giao x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B ) Hi u x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B ) Ph n bù A⊂ X , A = X \ A T p t t c t p c a X : Tích đ P (X ) = { A A⊂ X } A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} A × B × C = {(a, b, c) a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C} c Quan h Quan h hai R X t p R⊂X×X,g xR x , ∀ x ∈ X o ph n x n u 11 i có tính: Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s o đ i x ng n u xR y ⇒ yR x xR y ∧ yR z ⇒ xR z o b cc un u xR y ∧ yR x ⇒ x = y o ph n đ i x ng n u Quan h hai R X đ c g i quan h t có tính ph n x đ i x ng b c c u, ký hi u ~ L pt ng đ ng c a y, ký hi u ng đ ng n u y = {x ∈ X x ~ y } Quan h hai R X đ c g i quan h th t n u có tính ph n x ph n đ i x ng b c c u, ký hi u ≤ Quan h th t ≤ X đ c g i quan h th t toàn ph n n u hai ph n t b t k x, y c a X đ u có th so sánh đ c v i nhau, ngh a x ≤ y ho c y ≤ x Quan h th t khơng tồn ph n đ c g i quan h th t b ph n 1.2.3 Ánh x a Ánh x : Ánh x t t p X vào t p Y m t quy lu t cho ng m i x ∈ X v i m t ch m t y ∈ Y , ký hi u f : X → Y , b Phân lo i: y = f ( x) ho c x a y = f ( x) đ c g i công th c xác đ nh nh f m t đ n ánh n u f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y f m t toàn ánh n u f (X ) = Y f m t song ánh n u f v a đ n ánh v a toàn ánh N u f m t song ánh có ánh x ng b i: c f −1 : Y → X xác đ nh y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) c ng m t song ánh c Các phép toán H p c a hai ánh x f : X →Y g : Y → Z ánh x g o f : X → Z xác đ nh b i g o f ( x) = g ( f ( x) ) L c l ng c a t p h p : Hai t p h p g i l c l ng n u có m t song ánh t t p lên t p T p có l c l ng v i {1, 2, , n } 12 Ch ng 1: M đ u v logic m nh đ , t p h p ánh x c u trúc đ i s đ c g i t p h u h n có n ph n t T p r ng t p h u h n có ph n t T p không h u han đ c g i t p vô h n đ T p l c l ng v i t p s t nhiên đ c T p s th c không đ m đ c c g i t p vô h n đ m 1.2.4 Gi i tích t h p Pn = n! S hoán v n ph n t np S ch nh h p l p ch p p c a n ph n t S ch nh h p không l p ch p p c a n ph n t n! Anp = n(n − 1) (n − p + 1) = (n − p )! S t h p ch p p c a n ph n t p p An = Cn = p! n! (n − p )! p! Nh th c Niu-t n (a + b) = Cnn a n + Cnn −1a n −1b + + Cn0b n = n S l n ∑ Cnp a pb n − p p =0 c v phép đ m o Công th c c ng: A ∪ B + A ∩ B = A + B , o Cơng th c nhân: A1 × × Ak = A1 ⋅ ⋅ Ak , o Ch nh h p có l p: { f : A → B} = A B , P ( A) = A o N u f : A → B song ánh A = B 1.2.5 Các c u trúc đ i s Lu t h p thành trong, hay g i phép tốn hai ngơi, t p X m t ánh x t X × X vào X , ký hi u * : X × X → X ( x, y ) a x * y Lu t h p thành * c a t p X đ c g i là: Có tính k t h p n u ∀x, y, z ∈ X : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z Có tính giao hốn n u ∀x, y ∈ X : x ∗ y = y ∗ x 13 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án d 16 a) ; b) ; c) ; d) c 17 c b 18 a c 19 c c 20 c 21 b b 22 c a 23 d c 24 a 10 b 25 c 11 c 26 d 12 c 27 13 b 28 14 a) ; b) ; c) ; d) 29 15 c 30 Câu 1, 2, 3, 4, 5: S d ng tr c ti p đ nh ngh a không gian véc t không gian véc t Câu 6: ⇒ a) Gi i h ph ⎧2α + 3β + γ = ⎪ ng trình ⎨3α + β − 6γ = −2 ⎪5α + β + γ = 15 ⎩ α = 11; β = −5; γ = ⇒ u = 11v1 + (−5)v2 + 0v3 Gi i h ph ng trình t b) u = 3v1 + 5v2 + (−1)v3 d) u = v1 + v2 + v3 ng t ta có k t qu sau c) 115 u = v1 + 2v2 + 3v3 áp án h ng d n gi i t p Câu 7: Bài toán t ng đ ng v i vi c tìm giá tr c a λ đ h ph ⎧2α + 3β + γ = ⎪ sau có nghi m ⎨3α + β − 6γ = −2 ⇒ λ = 12 ⎪5α + 8β + γ = λ ⎩ ng trình Câu 8: Th c hi n phép bi n đ i s c p áp d ng đ nh lý 2.17 suy ra: a) m t h sinh c a Ho c h ph ; b) c) d) không ph i h sinh c a ⎧2α + 3β + γ = a ⎪ ng trình ⎨α + β − γ = b ⎪− 3α − β + γ = c ⎩ ln có nghi n v i m i (a, b, c) ∈ cịn h ph tr ng trình t ng ng v i ng h p b) c) d) không ph i ln có nghi n v i m i (a, b, c) ∈ Câu 10: a) Hai véc t u, v t l v i nên ph thu c n tính; B ng hai ph ng pháp nh câu 8) suy ra: b) đ c l p n tính; c) d) ph thu c n tính Câu 11: Áp d ng đ nh lý 2.17 −1 − λ − − 2⎤ ⎡ λ ⎡ λ ⎢− λ − 2⎥ ↔ ⎢ − λ + ⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣− − λ ⎥⎦ ⎢⎣− (n u λ ≠ − ) −1 − λ⎤ ⎥ ⎥ λ + ⎥⎦ ⎡λ − − − λ λ +1 ↔⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 −1 − λ ⎤ ⎥ ⎥ λ + ⎥⎦ V y h véc t ph thu c n tính λ = hay λ = − Câu 17: B ng ph ng pháp t ng t ví d 2.14, th c hi n phép bi n đ i s c p áp d ng đ nh lý 2.17, nh n xét 2.18 suy ra: dimV1 = r{v1 , v2 , v3 } = , dimV2 = r{u1 , u , u3 } = , dim(V1 + V2 ) = r{v1 , v2 , v3 , u1 , u , u3 } = ⇒ dim(V1 ∩ V2 ) = + − = Câu 18, 19: đ c gi i t ng t 116 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 11 a c 12 a a 13 c d 14 a c 15 b a 16 d b 17 c d 18 c d 19 a 10 b 20 b Câu 11: Quy n p theo n Câu 12: ⇒ ⎡ 1⎤ ⎢ − 0⎥ = I ⎦ ⎣ ⎡ 1⎤ ⎢ − 0⎥ ⎦ ⎣ 2003 500 ⎛ ⎡ 1⎤ ⎞ ⎡0 − 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎜ ⎟ = ⎢ ⋅ = ⎢1 ⎥ ⎢ − 0⎥ ⎜ ⎣− 0⎥⎦ ⎟ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ Câu 13: N u t n t i A, B cho AB − BA = I Tr ( AB − BA) = nh ng TrI = n vô lý ⎡xn Câu 14: A n = ⎢ ⎣⎢ An = I *⎤ ⎥ z n ⎦⎥ ⇒ x n = z n = ⇒ x = ±1, z = ±1 ⎡1 ± ny ⎤ ♦ x = z = ±1 ⇒ An = ⎢ ⎥ ⇒ y = 0 ⎦ ⎣ ⎡1 0⎤ ♦ x = − z = ±1 ⇒ A2 = ⎢ ⎥ ⇒ y tùy ý ⎣0 ⎦ 117 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 14 c c 15 b a 16 d d 17 b c 18 a c 19 c a 20 b b 21 a d 22 d 10 c 23 c 11 b 24 b 12 a 25 c 13 a Câu 9: Khai tri n Laplace theo hàng đ u ta đ c −4 (− 1)1+ +1+ − = 790 D= −1 Câu 10: Áp d ng đ nh th c Vandermond có ph n t t ng ng − 1, 2, 4, x ta có D = 30( x + 1)( x − 2)( x − 4) Câu 11: Khai tri n Laplace theo hàng th ba th t ta đ −2 3+ +1+ (− 1) − = −115 D= −1 − 118 c áp án h ng d n gi i t p m Câu 14: det A = m = (m − 4)(m + 5)(m − 1) m V y A kh ngh ch m ≠ −5, 4,1 Câu 17: Áp d ng cônh th c 4.19 ⎡4 − 1⎤ A = ⎢1 − 3⎥ có det A = −7 ⎥ ⎢ ⎢⎣7 − ⎥⎦ A11 = (−1)1+1 −3 −4 A13 = (−1)1+ −4 A22 = (−1) + = −4 , A12 = (−1)1+ = −32 , A21 = (−1) +1 −3 = −23 , −1 −4 =2 , −1 = 15 , A23 = (−1) + = 23 , 7 −4 A31 = (−1)3+1 −1 −1 = , A32 = (−1) 3+ = 11, −3 −3 A33 = (−1) 3+ 1 = 15 , t ⎡− − 23 − 32⎤ ⎡−4 1⎤ ⎢ 1⎢ ⎥ −1 V y A = 15 23 = − − 23 15 11⎥ ⎥ ⎥ −7⎢ 7⎢ ⎢⎣ ⎢⎣− 32 23 15⎥⎦ 11 15 ⎥⎦ ( ) Câu 19: a) (I − A) I + A + + A m −1 = I ⇒ A−1 = I + A + + A m −1 b) (3I − A)A = A − A2 = I ⇒ A −1 = 3I − A d) det A ≠ ⇒ ∃ A−1 ⇒ ( BA) A−1 = (CA) A−1 ⇒ B = C Câu 22: det( A) = (m + 3)(m − 1) Khi m ≠ −3, h ng r ( A) = 119 áp án h ⎡1 ⎢1 Khi m = ma tr n A = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 Khi 1 −3 m= −3 ma ng d n gi i t p 1 1⎤ 1 1⎥ ⎥ suy h ng r ( A) = 1 1⎥ ⎥ 1 1⎦ tr n 1 − 3⎤ ⎡1 ⎢1 −3 ⎥ ⎢ ⎥, A= ⎢ −3 1⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣− 1 −3 −3 ≠ 1 suy h ng r ( A) = 120 đ nh th c áp án h CH ng d n gi i t p NG d 16 b b 17 d a 18 b b 19 a b 20 c c 21 b a 22 d c 23 b b 24 a 10 d 25 c 11 b 26 b 12 d 27 d 13 b 28 a 14 a 29 c 15 c 30 b S d ng ph ng pháp kh Gauss ta có trh gi i t p t câu 7- câu 25 Câu 17: Ta th c hi n phép bi n đ i t tr n b sung c a h ph ng trình ⎡2 ⎢ ~ ⎢2 − A= ⎢4 ⎢ ⎣4 14 2⎤ ⎡2 ⎥ ⎢4 m ⎥ ↔ ⎢ ⎢4 14 4⎥ ⎥ ⎢ 4⎦ ⎣2 − ⎡2 ⎢0 − ↔ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 −1 0 m −1 2⎤ 0⎥ ⎥↔ 0⎥ ⎥ 5⎦ ng đ ng lên hàng c a ma 2⎤ ⎡2 ⎥ ⎢ −4 −1 ⎥ ↔ ⎢ ⎢0 − 2 4⎥ ⎥ ⎢ m 7⎦ ⎣0 − m − 3 ⎡2 ⎢0 − ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 121 2⎤ − 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ m − 5⎦ 2⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 5⎦ áp án h H t ng đ ng d n gi i t p + x4 = ⎧2 x1 + x2 ⎪ ng ⎨ − x2 + x3 − x4 = ⎪ (m − 1) x4 = ⎩ Khi m = h vô nghi m m ≠1 h Khi 5 10 x4 = , x3 = x2 + , x1 = − x2 − , m −1 m −1 m −1 có nghi m x2 tùy ý Câu 24: Véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch h ph ng trình sau có nghi m =a ⎧2 x + y ⎪ ⎨ x − y + 3z = b ⎪ y − 4z = c ⎩ Ma tr n b sung b ⎤ a⎤ ⎡2 ⎡1 − b ⎤ ⎡1 − ~ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ c ⎥ A = −1 b ↔ − c ↔ − ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − c ⎥⎦ ⎢⎣2 ⎢⎣0 − a − 2b ⎥⎦ a ⎥⎦ V y véc t (a, b, c) thu c vào không gian sinh b i v1 , v2 , v3 ch 3c = 2(a − 2b) hay 2a = 4b + 3c ⎡2 − − − 2⎤ Câu 26: Ma tr n h s c a h (I ) ⎢3 − − − 4⎥ có h ng b ng ⎢ ⎥ ⎢⎣1 − − − 2⎥⎦ Do dimV1 = − = T ng t ta c ng có dimV2 = − = Khơng gian V1 ∩ V2 không gian nghi m c a h (I ) h (II ) có ma ⎡2 − − − 2⎤ ⎢3 − − − 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 − − − ⎥ tr n h s ⎢ ⎥ có h ng b ng Do dim(V1 ∩ V2 ) = − = − 10 ⎢ ⎥ ⎢1 − 3⎥ ⎢ ⎥ − 4⎦ ⎣3 Suy dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2 ) = + − = 122 áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án b 21 d c 22 a a 23 c d 24 b c 25 a b 26 c d 27 b b 28 a a 29 c 10 b 30 a 11 c 31 c 12 b 32 b 13 a 33 d 14 c 34 c 15 b 35 d 16 a 36 c 17 b 37 b 18 d 38 d 19 c 39 c 20 b 40 d Các câu 1, 2, 3, 4, áp d ng tr c ti p đ nh ngh a ánh x n tính Câu 10: Ma tr n c a f c s t c c a ⎡1 − ⎤ ⎢0 11 − 3⎥ ⎥ r ( A) = ⇒ r ( f ) = ⇒ dim Kerf = − r ( f ) = A=⎢ ⎢2 − 1⎥ ⎢ ⎥ 5⎦ ⎣4 123 áp án h nh th c c a ma tr n c a ánh x n tính f c s t c Câu 18: tr ng d n gi i t p ng h p t ng ng −1 1 1 a) 1 = −1 , b) − 1 = , c) = 36 , 1 1 −1 0 −1 = d) − 1 −1 ng h p d) không đ ng c u V y ánh x tr t Câu 20: ⎧e1 = e'1 ⎧e'1 = e1 ⎪e = −e' + e' ⎪e' = e + e ⎪ ⎪ 2 ⇒ ⎨ ⎨ ⎪e3 = −e'2 + e'3 ⎪e'3 = e1 + e2 + e3 ⎪⎩e4 = −e'3 + e'4 ⎪⎩e'4 = e1 + e2 + e3 + e4 f (e'1 ) = f (e1 ) = e1 + 3e2 + 2e3 + e4 = e'1 +3(− e'1 +e'2 ) + 2(− e'2 +e'3 ) + (− e'3 +e'4 ) = −2e'1 +e'2 +e'3 +e'4 T ng t ta tính đ f (e'2 ) = −4e'2 +4e'3 +3e'4 c f (e'3 ) = e'1 −8e'2 +6e'3 +4e'4 f (e'4 ) = −7e'2 +4e'3 +7e'4 ⎤ ⎡− ⎢ − − − 7⎥ ⎥ V y ma tr n c a f c s m i A' = ⎢ ⎢1 4⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣1 ⎡1 − 1⎤ Câu 36: Ma tr n c a f có s t c c a P2 A = ⎢3 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 − 1⎥⎦ a th c đ c tr ng c a A P (λ ) = 1− λ −3 3 −5−λ −3 1 = 1− λ −2−λ 2+λ −5−λ −3 124 1− λ áp án h −2−λ 0 −2−λ 1− λ = ng d n gi i t p = (1 − λ )(2 + λ ) ⎡1 2⎤ Câu 37: Ma tr n c a f có s t c A = ⎢ − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 ⎥⎦ a th c đ c tr ng c a A 1− λ P (λ ) = −1 2−λ 1− λ −1 = 4−λ 2−λ 3−λ 1− λ 2 −1 = − λ −1 0 3−λ 3−λ = (1 − λ )(λ − 3) Do A có giá tr riêng λ1 = λ2 = (kép) *) Giá tr riêng λ = có véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ph ⎡ 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 1 − 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ trình: có h ph ng trình t ng đ ⎧x + y = ng: ⎨ y+ z=0 ⎩ ⎧ x = −2 y ⇒ ⎨ ⎩z = − y v = (− y, y,− y ) = − y (2,−1,1) ch n v1 = (2,−1,1) **) Giá tr riêng λ = có véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ph ng trình H ph ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡− 2 ⎢ − − 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ng trình t ng đ ng v i ph ng trình: x − y − z = v = ( y + z , y, z ) = y (1,1,0) + z (1,0,1) ch n v2 = (1,1,0) , v3 = (1,0,1) {v1, v2 , v3 } m t c s g m véc t riêng c a f f (v1 ) = v1 , f (v2 ) = 3v2 , f (v3 ) = 3v3 125 ng áp án h CH ng d n gi i t p NG Câu áp án Câu áp án c 19 d a 20 c d 21 a c 22 b b 23 d a 24 b c 25 d d 26 c b 27 b 10 b 28 a 11 a 29 c 12 b 30 b 13 d 31 a 14 b 32 b 15 c 33 d 16 a 34 c 17 c 35 a 18 c 36 c Câu 30: Ma tr n c a d ng toàn ph ng Q c s t c ⎡1 2 ⎤ A = ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 ⎥⎦ 1− λ 2 5−λ 2 1− λ = − λ 1− λ a th c đ c tr ng A − λI = 2 1− λ − λ 2 1− λ 126 áp án h ng d n gi i t p = (5 − λ ) − − λ −1− λ = (1 + λ ) (5 − λ ) ♦V i giá tr riêng λ1 = , véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c a h ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡− ⎢ − ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 − 4⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ H ph ng trình t ⎧x − y = ⎨ y−z=0 ⎩ ng đ ng v i h có nghi m x = y = z ⇒ v = ( x, x, x) = x(1,1,1) Ch n u1 = (1,1,1) Tr c chu n hoá đ c v1 = (1 ,1 ,1 ) ♦ V i giá tr riêng λ2 = −1 (nghi m kép), véc t riêng v = ( x, y, z ) nghi m c ah ⎡ 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ H ph ng trình t ng đ ng v i ph ng trình x + y + z = ⇒ v = ( x, y, z ) = (− y − z, y, z ) = y (− 1,1,0 ) + z (− 1,0,1) Ch n u = (1,−1,0 ) , u3 = (1,0,−1) Tr c chu n hoá hai véc t ta có ( v2 = ,−1 ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎢ y ⎥ = ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣1 ) ( ,0 , v3 = 3 −1 ,1 ,− ) ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ ⎥ ⎢Y ⎥ ; Q = 5X − Y − Z ⎢ ⎥ − ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ Câu 37: Xét d ng toàn ph ng có bi u th c t a đ c s t c Q( x, y ) = x + xy − y 127 áp án h ng d n gi i t p ⎡3 ⎤ Ma tr n c a Q c s t c A = ⎢ ⎥ chéo hóa tr c giao ma − ⎣ ⎦ tr n ta tìm đ ( c c s tr c chu n m i v1 = ; − ( x; y ) = Xv1 + Yv2 ) ng b c cho X2 Y2 − = : Hyperbol 36 36 ⎡ x ⎤ ⎡ 13 13 ⎤ ⎡ X ⎤ 10 24 Câu 38 ⎢ ⎥ = ⎢ Y− X +1 = 0: ⎥ ⎢ ⎥ ; 13Y + y Y 13 13 − 13 13 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Parabol ⎡ x ⎤ ⎡− ⎢ Câu 39 ⎢ y ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ − 3⎥ ⎢ Y ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ (X + )2 + Y + (Z + )2 = : Ellipsoid 17 34 ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎢ Câu 40 ⎢ y ⎥ = ⎢1 − ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣1 34 ⎤ ⎡X ⎤ ⎥ ⎥ ⎢Y ⎥ ; ⎢ ⎥ − ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ (X − )2 − Y − (Z − )2 = : Hyperbolic t ng ) ;1 ; ⇒ Q( x, y ) = −5 X + 5Y ⎡ x⎤ ⎡ 5⎤ ⎡ X ⎤ Nh v y n u đ i t a đ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ đ y − 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Y ⎦ có d ng t c ( , v2 = 18 18 128 Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O G M FICHTENGƠN, Giáo trình phép tính vi tích phân, T p 1,2,3 Nauka, Moskva,1969 (ti ng Nga) G M FICHTENGÔN, C s gi i tích tốn h c, T p 1,2,3 NXB h c Trung h c chuyên nghi p, Hà n i, 1977 i K MAURIN, Analiza, Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUY N ÌNH TRÍ (ch biên), Toán h c cao c p ,T p 1,2,3 NXB i h c Giáo d c chuyên nghi p, Hà n i, 1990 JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình tốn, T p 1,2,3,4 NXB Giáo d c, Hà n i, 1999 (d ch t ti ng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 129 ... toàn ánh n u f (X ) = Y f m t song ánh n u f v a đ n ánh v a toàn ánh N u f m t song ánh có ánh x ng b i: c f −1 : Y → X xác đ nh y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) c ng m t song ánh c Các phép toán H... p cho t ng mơn h c T p tài li u h ng d n h c mơn tốn cao c p A2 đ c biên so n c ng nh m m c đích T p tài li u đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a H c vi n Cơng ngh B u Chính Vi... đ i s đ i s n tính bao g m khái ni m v không gian vecto, ma tr n, đ nh th c, ánh x n tính, d ng song n tính, d ng tồn ph ng , làm c s đ ti p thu môn k thu t n n t PH NG PHÁP NGHIÊN C U MÔN H