LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội HÀ NỘI - 2007 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN Biên soạn : THS TÔN THẤT BẢO ĐẠT THS DƯƠNG HIỂN THUẬN CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Ở mơn học trường điện từ, tìm hiểu phân bố đại lượng điện từ, nguyên nhân tạo chúng xác định đại lượng biết số đại luợng khác.Trong chương này, tìm hiểu vấn đề trường điện từ bao gồm đại luơng điện từ, định luật nêu lên mối liên hệ đại luợng với Trong chương có nhiều khái niệm mà cần nắm vững trước chuyển sang chương Các học viên cần ý đến cách dẫn phương trình tốn học từ phát biểu Để đọc hiểu được, học viên cần trang bị kiến thức toán: hàm nhiều biến, giải tích vectơ với tốn tử gradient, divergence, rotate học chương trình tốn cao cấp Nếu khơng nắm vững phần tốn học khó hiểu đuợc theo kịp phần chứng minh chương Cuối chương phần tóm tắt hệ thức chương tập 1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1 Vec tơ cường độ điện trường Một điện tích thử q đặt trường điện, chịu tác dụng lực điện Fe Tại điểm trường điện, tỉ số Fe /q đại lượng không đổi, đại lượng gọi cường độ trường điện điểm Ký hiệu E Fe (V/m) q Với q đủ nhỏ để không ảnh hưởng đến trường điện ban đầu E= (1.1.1) 1.1.2 Vec tơ điện cảm Khi đặt điện môi vào trường điện, điện môi bị phân cực Mức độ phân cực điện môi đặc trưng vec tơ phân cực điện P Vec tơ phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi điểm Vec tơ cảm ứng điện D định nghĩa hệ thức: D = ε0E + P (C/m2) Với ε0 = 1/4π.9.109 (F/m) gọi số điện Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng: P = ε χ E Thay (1.1.3) vào (1.1.2): D = ε (1 + χ e ) E (1.1.2) (1.1.3) D = ε 0ε r E D = εE (1.1.4) Với εr = + χe gọi độ thẩm tỉ đối môi trường với chân không ε = ε0 εr (F/m) Được gọi độ thẩm điện môi trường 1.1.3 Vectơ cảm ứng từ Một điện tích thử q chuyển động với vận tốc v trường từ, chịu tác dụng lực Fm Fm = qv xB (1.1.5) Vec tơ B gọi vec tơ cảm ứng từ 1.1.4 Vec tơ cường độ từ trường Khi đặt từ môi vào trường từ, từ môi bị phân cực Mức độ phân cực từ môi đặc trưng vec tơ phân cực từ M Vec tơ phân cực từ môi xác định trạng thái phân cực từ điểm từ môi Vec tơ cường độ trường từ H đựơc định nghĩa hệ thức: B H= − M (A/m) (1.1.6) μ0 -7 Với μ0 = 4π.10 H/m, gọi số từ Đối với mơi trường tuyến tính, đẳng hướng: M = χ m H Thay (1.7) vào (1.6): B = μ (1 + χ m ) H (1.1.7) B = μ0 μr H B = μH (1.1.8) Với μr = + χm, gọi độ thẩm từ tỉ đối môi trường với chân không μ = μ0μr (H/m) độ thẩm từ môi trường 1.2 Định luận Ohm định luật bảo tồn điện tích 1.2.1 Định luật Ohm Dịng điện dịng chuyển dời có hướng hạt mang điện tác dụng điện trường Cường độ dòng điện I chảy qua diện tích S đặt vng góc với dịng chảy lượng điện tích Q dịch chuyển qua mặt S đơn vị thời gian dQ (1.2.1) I= dt Để mô tả đầy đủ chuyển động c1o hướng hạt mang điện, người ta đưa khái niệm mật độ dòng điện J : J = NeV = ρV = γE (A/m2) (1.2.2) Với: N số lượng hạt mang điện, hạt có điện tích e ρ mật độ điện tích khối (đơn vị C/m ) γ độ dẫn điện môi trường (đơn vị S/m) Biểu thức (1.2.2) gọi dạng vi phân định luật Ohm Xét vùng dẫn có dạng khối lập phương, cạnh L, mặt đối diện nối với điện áp không đổi U Cường độ dịng điện qua khối lập phương đó: I = ∫ JdS = ∫ γEdS S S I = ∫ γEdS = γLU = S Với S = LxL diện tích mặt bên R = L/γS : điện trở khối vật dẫn 1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích U R (1.2.3) Định luật bảo tồn điện tích Faraday tìm thực nghiệm, xem tiên đề lý thuyết trường điện từ: Tổng điện tích hệ lập điện khơng thay đổi Như vậy, lượng điện tích thể tích V bị giảm đơn vị thời gian lượng điện tích khỏi thể tích V đơn vị thời gian cường độ dòng điện I xuyên qua mặt kín S bao quanh thể tích V Gọi Q điện tích thể tích V ρ mật độ điện tích khối V Vậy: dQ I =− (1.2.4) dt Với Q = ∫ ρdV (1.2.5) V Thay (1.2.5) vào (1.2.4): I =− Áp dụng: d ρdV dt V∫ I = ∫ JdS S Ta được: ∂ρ ∫ JdS = −∫ ∂t dV S V Áp dụng biểu thức định lý divergence cho vế trái, ta được: ∂ρ ∫ divJdV = − ∫ ∂t dV V V Biểu thức với thể tích V, vậy: ∂ρ divJ = − ∂t ∂ρ divJ + =0 (1.2.6) ∂t Biểu thức (1.2.6) gọi dạng vi phân định luật bảo tồn điện tích hay cịn gọi phương trình liên tục 1.3 Các đặc trưng mơi trường Đặc tính mơi trường vật chất thể qua tham số điện từ nó: Độ thẩm điện ε (F/m) Độ thẩm điện tỉ đối εr (không thứ nguyên) Độ thẩm từ μ (H/m) Độ thẩm tử tỉ đối μr (không thứ nguyên) Độ dẫn điện γ (S/m) Các biểu thức (1.1.4), (1.1.8), (1.2.2) gọi phương trình liên hệ hay cịn gọi phương trình chất Dựa tham số điện từ, người ta chia vật chất (môi trường điện từ) thành lọai sau: Mơi trường tuyến tính: tham số ε, μ, σ không phụ thuộc cường độ trừờng Khi đó, phương trình lien hệ tuyến tính - Môi trường đồng đẳng hướng: tham số điện từ số Trong môi trường này, vectơ phương trình liên hệ song song với Nếu tham số điện từ theo hương khác có giá trị khơng đổi khác gọi khơng đẳng hướng Mơi trường có đại lượng điện từ hàm tọa độ gọi môi trường không đồng Trong tự nhiên, hầu hết chất có độ thẩm điện tỉ đối lớn mơi trường tuyến tính Mơi trường có độ thẩm từ tỉ đối lớn hớn gọi chất thuận từ, nhỏ gọi chất nghịch từ Chất dẫn điện chất có γ > 104 (S/m) Chất bán dẫn chất có 104 > γ > 10-10 (S/m) Chất cách điện chất có γ < 10-10 (S/m) Môi trường dẫn điện lý tưởng γ = ∞, cách điện lý tưởng γ = 1.4 Các phương trình Maxwell 1.4.1 Khái niệm dịng điện dịch ∂ρ = Từ phương trình liên tục, ta suy ra: ∂t divJ = (1.4.1) Dựa theo định nghĩa toán tử divergence, hệ thức (1.4.1) chứng tỏ đường dịng dẫn khơng đổi khép kín xa vơ cùng, khơng có điểm bắt đầu điểm kết thúc Đối với dòng điện biến đổi: ∂ρ divJ = − ≠0 (1.4.2) ∂t Hệ thức (1.4.2) chứng tỏ đường dòng dẫn biến đổi khơng khép kín, chúng bắt đầu kết thúc điểm có mật độ điện tích biến đổi theo thời gian, chẳng hạn cốt tụ tụ điện Dòng điện biến đổi qua mạch có tụ, dù khơng tồn dịng chuyển dịch có hướng hạt mang điện qua lớp điện môi tụ Maxwell đưa giả thiết có q trình xảy tương đương với có mặt dịng điện hai cốt tụ đưa khái niệm dòng điện dịch Dòng điện dịch khép kín dịng điện dẫn mạch trường điện biến đổi tạo nên dòng điện dịch Dòng chuyển dời có hướng hạt mang điện Maxwell gọi dòng điện dẫn Dòng điện bao gồm dòng điện dẫn dòng điện dịch gọi dòng điện tồn phần Đối với dịng điện khơng đổi, ta có 1.4.2 Phương trình Maxwell thứ ba thứ tư Phương trình Maxwell thứ tư dẫn dựa theo định luật Gauss trường điện Định luật Gauss phát biểu sau: Thông lượng vec tơ cảm ứng điện gởi qua mặt kín S tổng điệnt ích tự phân bố thể tích V bao mặt kín S Gọi: q tổng điện tích thể tích V D vec tơ cảm ứng điện mặt kín S ρ mật độ điện tích khối bên thể tích V Theo định luật Gauss: ∫ DdS = q S ∫ DdS = ∫ ρdV S V Áp dụng định lý Divergence vế trái: ∫ divDdV = ∫ ρdV V V Hệ thức với thể tích V Vì vậy: divD = ρ (1.4.3) Nếu V khơng có điện tích divD = , đường sức vec tơ cảm ứng điện khơng có điểm bắt đầu kết thúc thể tích V, hay nói cách khác V khơng phải nguồn vectơ cảm ứng điện Nếu ρ > 0, thông lượng vectơ cảm ứng điện qua S dương, chứng tỏ đường sức vectơ cảm ứng điện khỏi V Ngược lại, đường sức vec tơ cảm ứng điện vào V Từ biểu thức (1.4.3), ta rút kết luận: nguồn trường vec tơ cảm ứng điện địên tích, đường sức vec tơ cảm ứng điện bắt đầu điện tích dương kết thúc điện tích âm Biểu thức (1.4.3) phương trình thứ tư hệ phương trình Maxwell Phương trình Maxwell thứ ba dẫn từ định luật Gauss trường từ: Thông lượng vec tơ cảm ứng từ B qua mặt kín khơng Tương tự cách dẫn phương trình Maxwell thứ tư, ta được: divB = (1.4.4) Hệ thức (1.4.4) phương trình thứ ba hệ phương trình Maxwell 1.4.3 Phương trình Maxwell thứ Phương trình Maxwell thứ dẫn từ định luật lưu số Ampere-Maxwell, hay gọi định luật dịng điện tồn phần Định luật thiết lập liên hệ cường độ trường từ dòng điện toàn phần tạo nên trường từ: Lưu số vectơ cường độ trường từ H theo đường kín C tùy ý tổ đại số cường độ dòng điện chảy qua diện tích bao đường kín C (1.4.5) ∫ Hdl = ∑ I i i C Ii > chiều dòng điện hợp với chiều đường lậy tích phân theo quy tắc đinh ốc thuận Trong trường hợp dịng I chảy qua điện tích S phân bố liên tục với mật độ dòng J , định luật lưu số Ampere – Maxwell có dạng: (1.4.6) ∫ Hdl = ∫ JdS C S Áp dụng định lý Stokes vế trái, chuyển vế, ta được: (1.4.7) ∫ (rotH − J )dS = S Vì vế trái ln khơng với S, biểu thức dấu tích phân phải khơng, rút ra: rotH = J (1.4.8) Tiếp theo, ta lấy divergence hai vế (1.4.8): divrotH = divJ Vế trái không với vec tơ H (xem chương trình tốn) Liên hệ với phương trình liên tục: ∂ρ divJ = − ∂t ∂ρ 0=− (1.4.9) ∂t Hệ thức (1.4.9) đạt dòng điện dòng không đổi Vậy hệ thức (1.4.5) (1.4.8) dịng điện dịng khơng đổi Bây ta xét trường hợp dịng điện biến thiên Khi đó: ∂ρ divJ = − ≠0 ∂t Thay (1.4.3) vào, ta được: ∂ divJ = − divD ∂t ∂D div( J + )=0 (1.4.10) ∂t ∂D ) khép kín Vec tơ J Hệ thức (1.4.10) chứng tỏ đường dòng vec tơ J = ( J + ∂t vec tơ mật độ dịng điện tồn phần đề cập mục 1.4.1 Dịng điện tồn phần tổng dịng điện dẫn có vec tơ mật độ dịng điện dẫn: J = γE (1.4.11) Và dòng điện dịch có vec tơ mật độ dịng điện dịch: ∂D Jd = (1.4.12) ∂t Biểu thức toán học định luật lưu số Ampere (1.4.6) Maxwell mở rộng sau, có kể đến dịng điện dịch: ∂D (1.4.13) ∫C Hdl = ∫S ( J + ∂t )dS ∂D (1.4.14) ∂t Hệ thức (1.4.14) phương trình thứ hệ phương trình Maxwell Hệ thức chứng tỏ khơng dịng điện dẫn mà điện trường biến thiên sinh trường từ rotH = J + 1.4.4 Phương trình Maxwell thứ hai Phương trình thứ hai hệ phương trình Maxwell dẫn từ định luật cảm ứng điện từ Faraday Định luật thiết lập mối quan hệ trường từ biến đổi không gian với trường điện phân bố không gian trường từ gây ra: Sức điện động sinh vịng dây có giá trị ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thơng gởi qua diện tích giới hạn vịng dây d (1.4.15) ∫C Edl = − dt ∫S BdS Với S mặt giới hạn đường cong kín C Yếu tố diện tích dS mặt S có chiều hợp với chiều lấy tích phân C theo quy tắc đinh ốc thuận Áp dụng định lý Stokes với vế trái: (1.4.16) ∫ Edl = ∫ rotEdS C S Nếu mặt lấy tích phân S không phụ thuộc thời gian: ∂B d (1.4.17) BdS = ∫ dS ∫ ∂t dt S S Thay (1.4.16) (1.4.17) vào (1.4.15)m ta được: ∂B (1.4.18) ∫S rotEdS = −∫S ∂t dS Hệ thức (1.4.18) với S, vậy: ∂B (1.4.19) rotE = − ∂t Hệ thức (1.4.19) biểu diễn toán học định luật Faraday, phương trình thứ hai hệ phương trình Maxwell Hệ thức chứng tỏ trường từ biến thiên theo thời gian làm sinh trường điện xóay phân bố khơng gian Đến đây, ta có đủ hệ phương trình Maxwell gồm phương trình: ∂D rotH = J + ∂t ∂B (1.4.20) rotE = − ∂t divB = divD = ρ Cần lưu ý hệ phương trình Maxwell (1.4.20) phương trình liên hệ với môi trường chất không chuyển động, thông số môi trường hàm thời gian, mơi trường khơng có chất sắt từ, khơng có nam châm vĩnh cửu 1.4.5 Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngồi: Trong trường hợp xét trường tạo nguồn kích thích nguồn độc lập với môi trường không chịu ảnh hưởng trường tạo ra, hệ phương trình Maxwell phải có xét đến yếu tố mật độ dịng điện ngồi J e Hệ phương trình Maxwell trở thành: rotH = J + J e + rotE = − ∂B ∂t ∂D ∂t (1.4.21) divB = ρ divD = 1.4.6 Nguyên lý đổi lẫn hệ phương trình Maxwell Xét trường hợp với mơi trường đồng đẳng hướng, bên khơng tồn dịng dẫn, mật độ địện tích tự khơng, khơng có nguồn ngồi Hệ phương trình Maxwell trường hợp có dạng gọn là: ∂E rotH = ε ∂t ∂H (1.4.22) rotE = − μ ∂t divH = divE = Xét thấy hệ phương trình (1.4.22) có dạng đối xứng Các phương trình Maxwell giữ nguyên ta thực phép đổi lẫn: E ↔ H , ε ↔ −μ (1.4.23) Tính chất gọi nguyên lý đổi lẫn Tương tự, trường hợp có nguồn ngồi, ngun lý áp dụng là: E ↔ H , ε ↔ −μ , J e ↔ J m , ρ ↔ ρ m (1.4.24) Với J m , ρ m mật độ dòng từ từ tích, hai đại lượng đưa vào mang tính hình thức, thực tế, chúng lng khơng Ngun lý đổi lẫn hệ phương trình Maxwell có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết giải toán điện từ thực tiễn, kết nguồn điện (hay nguồn từ) biết nhận kết nguồn từ (hoặc nguuồn điện) mà tiến hành q trình giải tốn 1.4.7 Hệ phương trình Maxwell trường điều hịa Một trạng thái quan trọng trường điện từ trạng thái đại lượng trường nguồn biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc ω Bây ta biểu diễn đại lượng trường dạng số phức viết phương trình Maxwell cho biên độ phức Các đại lượng thực trường thời điểm coi phần thực đại lượng phức tương ứng với chúng { E = re i x E xm e i ( ω t +ψ X ) + i y E ym e i ( ω t +ψ y ) { } + i z E zm e i ( ω t +ψ Z ) } E = re E e i ω t (1.4.22) Với H , J , ρ , cách biểu diễn tương tự Từ cách biểu diễn phức đại lượng trường theo (1.4.22), xây dựng hệ phương trình Maxwell dạng vi phân cho biên độ phức trường sau: rotH = J + iωD rotE = −iωB divB = (1.4.23) divD = + ρ Các phương trình liên hệ dạng phức: D = εE B = μH (1.4.24) J = γ ( E + E e ) = γE + J e Với E e cường độ nguồn ngồi tạo nên trường Trong trường hợp khơng có nguồn ngoài: rotH = iωεE rotE = −iωμH div( μH ) = (1.4.25) div(εE ) = Với ε = ε − i 1.5 10 γ gọi độ thẩm điện phức môi trường ω Điều kiện bờ vec tơ trường điện từ Điều kiện bờ vectơ trường điện từ hệ thức thành phần vectơ trường điện từ hai bên, sát mặt giới hạn phân cách hai môi trường khác Điều kiện bờ có tầm quan trọng nghiên cứu lý thuyết lẫn tìm nghiệm tốn điện từ thực tiễn Trong mục này, tìm quan hệ vectơ E , D, B, H hai bên mặt phân cách hai môi trường khác Ta xét thành phần pháp tuyến trước: Điều kiện biên thành phần pháp tuyến vectơ dẫn từ phương trình dạng tích phân lấy theo mặt kín S, gồm mặt bên Sb hai đáy ΔS1,ΔS2 đủ nhỏ để coi vectơ trường khơng đổi đáy (xem hình 1.5) Chọn vec tơ pháp tuyến n hướng từ môi trường (2) đến môi trường (1) Các vec tơ môi trường có số Lấy giới hạn cho mặt bên Sb ->0, ΔS1 -> ΔS0, ΔS2 -> ΔS0, thông lượng vectơ trường gởi qua mặt bên Sb -> 0, nhận quy luật biến đổi thành phần pháp tuyến vectơ trường mặt biên Σ Hình 1.5 Ta có: ∫ DdS = ∫ ρdV S V lim ∫ DdS = n ( D1 − D2 ).ΔS Sb →0 (1.5.1) S lim ∫ ρdV = điện tích phân bố mặt ΔS0 = σΔS0 (với σ mật độ điện tích mặt S b →0 V mặt Σ Vậy: Hay: Tương tự, ta được: Và: {n( D − D2 ) = σ {n( B − B2 ) = } {D1n − D2n = σ }Σ Σ } (1.5.2) (1.5.3) Σ ∂σ ⎫ ⎧ ⎨n ( J − J ) = − ⎬ ∂t ⎭ Σ ⎩ (1.5.4) Đối với thành phần tiếp tuyến: Cách xác định tương tự, với vòng dây dẫn chữ nhật nằm vể hai bên mặt biên, hai cạnh song song với mặt biên, ta điều kiện biên thành phần tiếp tuyến sau: {nx( E Hay: {E1T } − E2 ) = − E 2T = 0}Σ Σ (1.5.5) 11 {H 1T − H 2T = J S }Σ Với JS mật độ dòng điện dẫn mặt mặt Σ 1.6 (1.5.6) Năng lượng trường điện từ - Định lý Poynting Định lý Poynting thiết lập mối liên hệ thay đổi lượng điện từ thể tích V với dịng lượng điện từ chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích Giả sử có điện tích điểm dq chuyển động với vận tốc v miền tích V có trường điện từ, đặc trưng vectơ E , B Điện tích điểm dq chịu tác dụng lực điện lực từ (Lorentz Coulomb): F = dqE + dq.v xB (1.6.1) Khi dq dịch chuyển quãng đường dl , công lực điện từ tác dụng lên dq là: dA = F dl = dqE.dl + dq.v xB.dl dA = dq.E.dl dA = dq.E.v dt (1.6.2) Công suất thực trường điện từ: dA = dq.E.v (1.6.3) dt Nếu điện tích dq phân bố liên tục với mật độ ρ dq = ρ.dV Khi đó: dA = ρ v E.dV (1.6.4) dt Theo định luật Ohm: J = ρV (1.6.4) thành: dA = J E.dV (1.6.5) dt Như vậy, điện tích khối mật độ ρ chuyển động với vận tốc v tạo nên dòng điện dẫn mật độ dòng J cơng suất trường điện từ thực d8ối với dịng miền thể tích V bằng: Pj = ∫ J E.dV (w) (1.6.6) V Đó công suất tiêu tán trường tỏa nhiệt thể tích V Hàm dấu tích phân mật độ công suất tiêu tán: p j = J E (w/m3) (1.6.7) Tiếp theo, ta thay J từ phương trình thứ Maxwell: ∂D J = rotH − ∂t Để ý đẳng thức: div( ExH ) = HrotE − ErotH Và thay : rotE = − Hệ thức (1.6.7) trở thành: 12 ∂B ∂t − div( ExH ) = J E + E ∂D ∂B +H ∂t ∂t (1.6.8) Vec tơ Poynting định nghĩa: P = ( ExH ) (w/m2) (1.6.9) Thay vào (1.6.8): ∂D ∂B − divP = J E + E +H (1.6.10) ∂t ∂t Hệ thức (1.6.10) định lý Poynting dạng vi phân giá trị tức thời vec tơ trường điện từ Tiếp theo, để có dạng tích phân, ta lấy tích phân hai vế theo thể tích V: ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎟dV − ∫ divPdV = ∫ JEdV + ∫ ⎜⎜ E +H ⎟ t t ∂ ∂ ⎠ V V V⎝ Áp dụng định lý Divergence cho vế trái: ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎟dV (1.6.11) − ∫ PdS = ∫ JEdV + ∫ ⎜⎜ E +H ⎟ t t ∂ ∂ ⎠ S V V⎝ Đây dạng tích phân định lý Poynting Bây ta xét ý nghĩa vật lý định lý Poynting (1.6.11) Vì E đo V/m, H đo A/m nên P đo W/m2 Vậy tích phân: − ∫ PdS (W) S Là công suất trường điện từ truyền qua mặt S vào thể tích V Do vec tơ Poynting gọi vec tơ mật độ dịng cơng suất Tích phân thứ vế phải (1.6.11) công suất tiêu tán trường thể tích V, nên theo định luật bảo tồn chuyển hóa lượng, phải cơng suất ứng với thay đổi lượng điện từ tập trung thể tích V” ⎛ ∂D dW ∂B ⎞ ⎟dV (W) (1.6.12) = ∫ ⎜⎜ E +H dt ∂t ∂t ⎟⎠ V⎝ W lượng trường điện từ tập trung thể tích V Giả thiết thời điểm t = 0, vectơ trường điện từ không, thời điểm t có giá trị E , D, B, H , từ (1.6.12): ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎟dV dt (1.6.13) W = ∫ ∫ ⎜⎜ E +H ∂t ∂t ⎟⎠ 0V⎝ Dễ dàng chứng minh được: ∂D ∂ ⎛ ∂B ∂ ⎛ ⎞ ⎞ E = ⎜ ED ⎟ H = ⎜ HB ⎟ (1.6.14) ∂t ∂t ⎝ ∂t ∂t ⎝ ⎠ ⎠ Thay vào (1.6.13): 1 W = ∫ EDdV + ∫ HBdV (J) 2V 2V Tích phân thứ (1.6.14) lượng trường điện, tích phân thứ hai lượng trường từ Mật độ lượng trường điện we mật độ lượng trường từ là: 1 we = ED wm = HB (J/m3) (1.6.15) 2 t Đối với trường điện từ biến thiên điều hịa, ta có vec tơ Poynting phức: P = ExH * (1.6.16) [ ] 13 Mật độ dịng cơng suất trung bình: Ptb = reP Mật độ lượng trường điện trung bình: weTB = ED * Mật độ lượng trường từ trung bình: wmTB = BH * Mật độ cơng suất tiêu tán trung bình: p jTB = EJ * Định lý Poynting dạng phức: (1.6.17) (1.6.18) (1.6.19) (1.6.20) − ∫ PdS = ∫ p jTB dV + i 2ω ∫ ( weTB − wmTB )dV S V V Phần thực vế trái tích phân thứ vế phải, công suất tác dụng đưa vào mạch điện Phần vế trái tích phân thứ hai vế phải, cơng suất phản kháng đưa vào mạch điện 1.7 Định lý nghiệm 1.7.1 Phát biểu định lý nghiệm Hệ phương trình Maxwell có nghiệm trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: Biết vectơ cường độ điện trường từ trường thời điểm ban đầu t = điểm tron vùng khơng gian khảo sát (đạy điều kiện ban đầu) Biết thành phần tiếp tuyến vectơ cường độ điện trường thành phần tiếp tuyến vectơ cường độ từ trường mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát khoảng thời gian < t < ∞ (đây điều kiện bờ) 1.7.2 Chứng minh định lý Nếu mặt S giới hạn ngồi vùng khơng gian V, ta có toán Nếu mặt S giới hạn vùng khơng gia, ta có tốn ngồi Cách chứng minh hai tốn ngồi, sinh viên tham khảo tài liệu tham khảo 1.8 Nguyên lý tương hỗ 1.8.1 Bổ đề Lorentz Nguyên lý tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ trường điện từ nguồn tạo hai điểm khác không gian môi trường vật chất N1o có vai trị quan trọng lý thuyết anten Trước hết xét bổ đề quan trọng gọi bổ đề Lorentz Để cho đơn giản, xét trường điện từ với nguồn biến thiên điều hịa theo thời gian với tần số góc ω Giả sử tron môi trường đồng đẳng hướng có tham số ε, μ, γ điểm (1) tồn nguồn điện từ với mật độ J e1 , J m1 tạo trường với cường độ E1 , H , điểm (2) tồn nguồn điện từ khác với mật độ J e , J m tạo trường có cường độ E , H Các nguồn trường chúng đếu có tần số góc ω Các phương trình Amxwell viết cho biên độ phức trường nguồn hai điểm (1) (2) có dạng: 14 rotH = γE1 + iωεE1 + J e1 (1) rotE1 = −iωμH − J m1 (2) rotH = γE + iωεE + J e (3) rotE = −iωμH − J m (4) Tiến hành phép tính sau: - Nhân vơ hướng vế (2) với H hai vế (3) với E1 , sau trừ vế theo vế Áp dụng đẳng thức vectơ, ta được: [ ] div E1 xH = −iωεE1 E − iωμH H − γE1 E − J e E1 − J m1 H (5) - Nhân vô hướng vế (4) với H vế (1) với E , làm tương tự bước đầu tiên, ta được: [ ] div E xH = −iωεE1 E − iωμH H − γE1 E − J e1 E − J m H - Trừ (5) cho (6) vế theo vế: [ ] [ ] div E1 xH − div E xH = J e1 E − J e E1 − ( J m1 H − J m H ) (6) (1.8.1) Hệ thức (1.8.1) gọi bổ đề Lorentz dạng vi phân Lấy tích phân vế theo thể tích V bao hai điểm (1) (2) giới hạn mặt kín S áp dụng định lý Gauss cho vế trái, ta nhận dạng tích phân bổ đề Lorentz sau: ∫ {[E xH S ]− [E xH ]}dS = ∫ {[J e1 ][ ]} E − J e E1 − J m1 E − J m E1 dV (1.8.2) V Nếu mở rộng vùng V không gian vô hạn giới hạn mặt cầu bán kính r -> ∞ , bổ đề Lorentz dạng tích phân cho vùng khơng gian rộng vơ hạn là: ∫ {(J e1 )( )} E − J e E1 − J m1 H − J m H dV = (1.8.3) V∞ 1.8.2 Nguyên lý tương hỗ Giả sử môi trường đồng đẳng hướng, nguồn điện nguồn tứ (1) phân bố thể tích V1, nguồn điện nguồn từ thứ hai phân bố thể tích V2 Hai thể tích khơng có miền chung Như tích phân theo thể tích V∞ vế trái (1.8.3) phân làm tí`ch phân: theo vùng V1, V2, vùng cịn lại Tích phân vùng cịn lại khơng khơng có nguồn tồn vùng Biểu thức (1.8.3) trở thành: ∫ (J V1 e1 E − J m1 H )dV = ∫ ( J e E1 − J m H )dV (1.8.4) V2 Biểu thức (1.8.4) gọi nguyên lý tương hổ trường điện từ nguồn chúng hai vùng khác Bây ta áp dụng nguyên lý tương hỗ cho trường hợp khác sau: Với lưỡng cực điện Nếu thể tích V1 đặt lưỡng cực điện có mật độ dòng J e1 dài l1 tiết điện S1, thể tích V2 đặt lưỡng cực thứ hai có mật độ dòng J e chiều dài l2, tiết diện S2 Các nguồn từ J m1 = J m = Ta ký hiệu điện trường lưỡng cực điện nguồn luỡng cực điện tạo E 21 điện trường lưỡng cực điện thứ hai luỡng cực điện thứ tạo E12 Khi nguyên lý tuơng hỗ viết cho hai luỡng cực điện có dạng: ∫J V1 Ta ký hiệu: e1 E 21 dV = ∫ J e E12 dV (1.8.5) V2 I = ∫ J e1 dS S1 15 I = ∫ J e dS S1 e21 = ∫ E 21 dl l1 e12 = ∫ E12 dl (1.8.6) l2 P1 = q I ; P = q I I I q1 = ; q = iω iω Ở đây, I , I , q q , q dịng điện điệnt ích lưỡng cực điện P1 , P2 mômen điện hai luỡng cực, e21 sức điện động cảm ứng lưỡng cực lưỡng cực tạo ra, e12 sức điện động ưỡng cực lưỡng cực tạo Từ biểu thức (1.8.5) (1.8.6), ta có: I 1e21 = I e12 (1.8.7) P1 E 21 = P2 E12 (1.8.8) Và: Nếu hai lưỡng cực điện có kích thước giống (S1 = S2, l1 = l2) mật độ dòng điện chúng J e1 = J e từ (1.8.7) (1.8.8) ta suy rằng; tác dụng lưỡng cực điện lên lưỡng cực điện tác dụng lưỡng cực điện lên lưỡng cực điện Với hai lưỡng cực từ Nếu thể tích V1 có luỡng cực từ thứ với mật độ dịng từ J m1 thể tích V2 có lưỡng cực từ thứ hai với mật độ dòng từ J m1 , nguồn điện khơng từ (1.8.4) ta có biểu thức ngun lý tương hỗ cho hai lưỡng cực từ là: Pm1 H 21 = Pm H 12 (1.8.9) Với Pm1 , Pm momen từ lưỡng cực từ thứ thứ hai H 21 cường độ từ trường lưỡng cực lưỡng cực tạo ra, H 12 cường độ trừơng từ lưỡng cực lưỡng cực tạo Với lưỡng cực điện lưỡng cực từ Nếu thể tích V1 có lưỡng cực điện với mật độ dòng J e1 thể tích V2 có lưỡng cực từ với mật độ dòng J m1 , ta nhận nguyên lý tương hỗ cho lưỡng cực điện lưỡng cực từ sau: Pe1 E 21 = Pm H 12 1.9 (1.8.10 Nguyên lý đồng dạng điện động Nguyên lý đồng dạng điện động xác định mối quan hệ trường điện từ, tham số điện hình học hệ điện từ mơi trường hệ điện từ đồng dạng điện động với 16 Trước tiên chuyển phưo97ng trình Maxwell dạng có thứ ngun dạng không thứ nguyên Đặt: H = α a1 ; E = α a J = α a3 ; J = α a (1.9.1) l = α a5 ; t = α a6 Trong đó: a1 ; a ; a3 ; a vectơ đơn vị khơng có thứ ngun phụ thuộc cường độ trường nguồn vào tọa độ thời gian; a5; a6 đơn vị vô hướng xác định tọa độ thời gian toán tử vi phân, hệ số tỉ lệ α có thứ nguyên tương ứng là: α1(A/m), α2(V/m), α3(A/m2) α4(V/m2), α5(m), α6(S) Thay (1.9.1) vào hai phương trình thứ thứ hai hệ phương trình Maxwell tiến hành phép tính vi phân theo tọa độ thời gian theo quy tắc hàm hợp, ta nhận hệ phương trình dạng: ∂a rota1 = c1 a + c 2 + c3 a3 ∂a (1.9.2) ∂a1 rota = −c a − c5 ∂a Ở đây, hệ số c khơng có thứ ngun có biểu thức sau: c1 = γα2α5/α1; c2 = εα2α5/α1α6; c3 = α3α5/α1; c4 = α4α5/α2; c5 = μα1α5/α2α6 (1.9.3) Hệ phương trình (1.9.2) dạng khơng có thứ ngun, mô tả hệ điện từ khác qua hệ số c (1.9.3) khác Hai hệ điện từ có hệ số c tương ứng gọi hai hệ đồng dạng điện động với Biểu thức nguyên lý đồng dạng điện động cho hai hệ điện từ là: (1.9.4) c1 = c1’ ; c2 = c2’ ; c3 = c3’ ; c4 = c4’ ; c5 = c5’ Ta xét ví dụ minh họa cho việc áp dụng nguyên lý đồng dạng điện động: Cho hệ điện từ thực làm vịêc mơi trường điện mơi lý tưởng khơng có nguồn Chúng ta cần xác định hệ mẫu đặt mơi trường cho trường điện từ hệ thực hệ mẫu có giá trị Chúng ta tìm điều kiện cho hệ mẫu áp dụng nguyên lý đồng dạng điện động Thao điều kiện đặt thì: γ = 0, J e = J m = = ε’, μ = μ’, α1 = α1’, α2 = α2’ Nêu từ (1.9.3) (1.9.4) suy ra: c1 = c1’ = 0, c3 = c3’ = 0, c4 = c4’ = c2 = c2’ c5 = c5’ Hay nhận kết với hệ số tỉ lệ: α6’/α6 = α5’/α5 (1.9.5) Biểu thức (1.9.5) cho ta mối quan hệ tham số hệ thực hệ mẫu sau: chọn hệ mẫu có kích thước lớn hay nhỏ kích thước hệ thực lần chu kỳ dao động trường điện từ hệ mẫu phải lớn chu kỳ dao động trường điện từ hệ thực nhiêu lần Kích thước tần số làm việc trường hai hệ mẫu thực lại tỉ lệ với 17 Nguyên lý có lợi việc nghiên cứu thực nghịêm hệ điện từ như: tìm dạng lọai anten, đo phản xạ tán xạ sóng điện từ từ máy bay … 1.10 Trường tĩnh điện 1.10.1 Các phương trình Maxwell trường điện từ tĩnh Trường địên từ tĩnh trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: Các đại lượng điện từ không thay đổi theo thời gian Đạo hàm riêng đại luơng theo thời gian khơng Khơng có chuyển động hạt mang điện, nghĩa mật độ dòng điện ln khơng Áp dụng vào hệ phương trình Maxwell (1.4.20) điều kiện biên trường điện từ, ta được: ⎧⎪rotH = ⎧⎪rotE = (1.10.1) (1.10.2) ⎨ ⎨ ⎪⎩divB = ⎪⎩divD = ρ ⎧⎪{n ( B1 − B2 ) = 0}Σ ⎨ ⎪⎩{n x( H − H ) = 0}Σ B = μH ⎧⎪{n ( D1 − D2 ) = σ }Σ ⎨ ⎪⎩{n x( E1 − E ) = 0}Σ D = εE (1.10.3) (1.10.4) Phương trình điều kiện biên trường điện từ tĩnh tách thành hai nhóm độc lâp, nhóm chứa đại lượng liên quan đến trường từ trường điện Trong tài liệu khảo sát trường điện tĩnh Đó trường điện không thay đổi theo thời gian điện tích đứng n 1.10.2 Thế vơ hướng trường điện từ tĩnh Công lực điện tĩnh di chuyển điện tích dq theo đượng cong kín C sau: A = ∫ dq E dl = dq ∫ rot E dl = C S với S mặt bao C Vì ngừời ta nói trường điện tĩnh có tính chất Cơng lực tĩnh điện phụ thuộc vị trí điểm đầu điểm cuối, không phụ thuộc vào đường Đại lượng đặc trưng cho vị trí gọi điện ϕ, đơn vị la Volt Điện ϕ định nghĩa: E = − gradϕ (V/m) (1.10.5) ϕ Đây nghiệm phương trình thứ rotE = rotgradϕ = Dấu trừ (1.10.5) quy ước: chiều vec tơ cương độ điện trường chiều giảm Theo định gnhĩa tốn tử gradient: dϕ = gradϕ dl Vì vậy: dϕ = − E.dl ϕ = − ∫ E.dl + C (V) (1.10.6) Điện đại lương không đơn trị Giá trị phụ thuộc vào việc xác định gốc điện thế, điểm mà điện xem không Trong thực tế, người ta thường chọn điện không điện trái đất Một đại lương khác quan trọng điện thế, hiệu điện Hiệu điện hai điểm P Q xác định sau: Q ϕ ( P) − ϕ (Q) = ∫ E.dl P 18 (1.10.7) 1.10.3 Phương trình Poisson – Laplace Ta bắt đầu phương trình: divD = ρ D = εE; E = − gradϕ Thay: Ta được: div(ε.gradϕ) = -ρ Nếu miền khảo sát đồng nhất, độ thẩm điện số: div.gradϕ = -ρ/ε Hay: Δϕ = - ρ/ε (1.10.8) Với Δ toán tử Laplace Phương trình (1.10.8) phương trình Poisson Phương trình thể quan hệ điện trường tĩnh điện với phân bố điện tích tạo nên trừong tĩnh điện Nếu miền khảo sát khơng có điện tích, phương trình (1.10.8) trở thành: Δϕ = (1.10.9) Phương trình (1.10.9) gọi phương trình Laplace 1.10.4 Năng lượng trường tĩnh điện, điện dung Giả sử hệ gồm N vật dẫn mang điện tích: q1, q2, q3… qN Điện vị trí điện tích điểm ϕ1, ϕ2 … ϕN Năng lượng trừờng tĩnh điện tính sau: N We = ∑ ϕ k q k (1.10.10) k −1 Điện dung phân riêng vật dẫn k: N C kk = ∑ Akm (1.10.11) m =1 Điện dung phân tương hỗ vật dẫn k vật dẫn m: Ckm = - Akm N Với: q k = ∑ Akm ϕ m m =1 1.11 Từ trường dịng điện khơng đổi Trạng thái riêng thứ hai trường điện từ trường dịng điện khơng đổi tạo Đây trạng thái dừng trường điện từ.trường điện từ dừng trường điện từ có đại lương điện từ khơng đổi theo thời gian Hệ phương trình Maxwell trở thành sau: ⎧⎪rotH = J ⎧⎪rotE = (1.11.1) (1.11.2) ⎨ ⎨ ⎪⎩divB = ⎪⎩divD = ρ D = εE B = μH Các phương trình (1.11.2) có dạng giống phương trình trường điện tĩnh, vây trường điện dừng tương tự trường điện tĩnh trường Điều khác trường điện dừng tồn vật dẫn mang điện trường điện tĩnh bên vậtt dẫn cân điện khơng Phương trình (1.11.2) từ trường trường từ dừng có dạng xoắn Có thể biểu diễn: H = rotAM (1.11.3) μ Với AM gọi vectơ Hàm vectơ AM hịan tồn xác định ta biết div rot Vì ngồi biểu thức (1.11.3), ta đặt thêm điều kiện phụ sau: 19 div AM = (1.11.4) Đặt biểu thức (1.11.3) vào phương trình thứ (1.11.2), áp dụng đẳng thức sau: rot rot AM = grad div AM -Δ AM Kết hợp với điều kiện (1.11.4), ta nhận được: Δ AM = − μJ (1.11.5) Đây phương trình Poisson cho AM Tóm tắt chương • • Chương thứ tập trung vào vấn đề tổng quát trường điện từ: - Các đại lượng trường điện từ - Các định luật trường điện từ Chương vào thiết lập phương trình tốn học từ phát biểu định luật Hệ phương trình Maxwell thành lập từ phương trình tốn học - Điều kiện bờ: điều kiện để tìm nghiệm phương trình Maxwell sau - Một số nguyên lý trường điện từ: nguyên lý tương hỗ, nguyên lý đồng dạng điện động - Định lý Poynting lương trường điện từ - Từ kiến thức trình bày, tìm hiểu hai trường hợp đặc biệt trường điện từ: trường điện tĩnh trường điện từ dừng dịng điện khơng đổi - Chương trình bày phương trình Maxwell trường điện từ biến thiên điều hịa Các phương trình quan trọng chương sau: Định luật bảo tồn điện tích ∂ρ divJ + =0 ∂t Hệ phương trình Maxwell ∂D rotH = J + ∂t ∂B rotE = − ∂t divB = divD = ρ • Các phương trình liên hệ (mơi trường đẳng hướng, tuyến tính) D = ε ε r E = εE ; D = ε E + P B = μ μ r H = μH ; B = μ ( H + M ); J = γE • Các điều kiện biên {n( D − D2 ) = σ } Σ − H2) = JS } Σ • Vectơ Poynting: P = ( ExH ) • Định lý Poynting 20 {n ( B − B ) = 0} {nx( E − E ) = 0} ∂σ ⎫ ⎧ ⎨n ( J − J ) = − ⎬ ∂t ⎭ Σ ⎩ {nx( H ; Σ 2 Σ