Một nghiệm của hệ là một hệ thống tuyến tính thỏa mãn các phương trình đã cho. ... phương trình tuyến tính đơn giản nhất là hệ gồm hai phương trình với hai ẩn: ... và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có ... Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:.
Chương Ma Trận - Định Thức Ma trận Định thức ma trận vuông Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một bảng số chữ nhật có m dòng, n cột gọi ma trận cỡ m × n A = ( aij ) m× n a11 K a1 j K a1n ÷ ÷ = ai1 K aij K ain ÷ ÷ ÷ a K a K a ÷ mj mn m1 Dòng thứ Dòng thứ i Cột thứ j aij phần tử ma trận A nằm giao điểm dòng i cột j Thay cho dòng ta viết A∈ Mm×n MA TRẬN BẰNG NHAU A, B ∈ M m×n A= B ⇔ aij = bij , ∀i, j Ví dụ 1 3 1 = ÷ −4 c b ÷ d MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận không: Là ma trận mà tất phần tử Ma trận vuông: Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có ma trận vuông n dòng, n cột, ta gọi ma trận cấp n a11 a 21 K an1 a12 a22 K an K K K K a1n ÷ a2 n ÷ K÷ ÷ ann Phần tử chéo Đường chéo MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận tam giác (dưới): Là ma trận vuông mà phần tử nằm phía (trên) đường chéo a11 A= a12 K a1n ÷ a22 K a2 n ÷ ÷ K ÷ K ann Ma trận tam giác Ma trận chéo: Là ma trận vuông mà phần tử không nằm đường chéo MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận đơn vị: Là ma trận chéo mà phần tử nằm đường chéo 1 K 0 0 K 0÷ ÷= I K K K K ÷ n ÷ 0 K 1 Ma trận hàng: m =1 Ma trận cột: n =1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN + PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n A+B = [aij+bij]m×n + PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, k∈ R kA =[kaij]m×n CÁC TÍNH CHẤT Với ma trận A, B, C ∈ Mmxn, k, h ∈ R, ta có i A + B = B + A (tính giao hoán) ii (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii A + = A (0 hiểu 0mxn) iv A + (−A) = v h(kA) = (hk)A vi h(A + B) = hA + hB vii (h + k)A = hA + kA viii 1.A = A PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho hai ma trận A =[aij]mxp, B =[bij]pxn Ta định nghĩa tích AB ma trận C=[cij]mxn, mà phần tử cij xác định công p thức cij = ai1b1 j + 2b2 j + K + aipbpj = ∑ a ik b kj ai1 K aip b1 j b2 j M bpj k=1 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Ví dụ: 3 a) ÷( ) 2 2 3 ÷ c) ÷ ÷ 4÷ 3 b) ( ) ÷ 2 CÁC TÍNH CHẤT (i) Tính kết hợp: A(BC) = (AB)C (ii) Tính phân bố: (A+B)C = AB + BC (iii) h(AB) = (hA)B = A(hB) CƠ SỞ TRỰC GIAO Định lý: Qúa trình trực giao Gram – Schmidt) Cho họ vectơ độc lập tuyến tính u 1, u2, …, um (m≥2) không gian Eclide Rn Khi đó, tồn tại họ trực giao v1, v2, …, vm cho 〈u1 , u2 , , vm 〉 = 〈 v1 , v2 , , vm 〉 Ta có thể tóm tắt quá trình tìm vk bằng công thức 〈uk , vi 〉 vk =uk +∑− vi 〈vi , vi 〉 i [...]... NGHỊCH ĐẢO Tính chất Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n ( i) (A ) −1 −1 ( ii ) ( A1 A2 ) ( iii ) (A ) T −1 =A −1 = A2 1 A1−1 =( A ) −1 T PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Định nghĩa: Phương trình ma trận là phương trình có dạng AX = B, trong đó A, B là các ma trận cho trước, X là ma trận ẩn số (chưa biết) Cách giải: Sử dụng ma trận nghịch đảo: Tính A-1, khi đó X = A-1B Ví dụ: 1) Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3 6 ... trận ẩn + am2 x2 + K + amn xn = bm a11 a12 a21 a22 A= K K am1 am 2 K a1n ÷ K a2 n ÷ K K÷ ÷ K amn Khi đó (I) viết lại AX = B b1 x1 ÷ ÷ b2 ÷ x 2 X = ÷ B = ÷ K K ÷ ÷ ÷ bm xn Ma trận hệ số tự do Ma trận các hệ số tự do HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH a11 a12 a21 a22 A= ( A B ) = K K am1 am 2 K a1n b1 ÷ K a2 n b2 ÷ K K K÷ ÷÷ K amn bm Ma trận hệ số mở... ÷ B = b1 b2 b3 ÷, B = a1 − a2 + a3 c2 c3 c1 c3 c1 c 2 c c c ÷ 1 2 3 = a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a2 ( b1c3 − b3c1 ) + a 3 ( b1c2 − b2c1 ) = a1b2c3 + a2 b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a 2 b1c3 − a 3b2c1 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus Xây dựng ma trận A‘3x5 từ A3x3 bằng cách bổ sung thêm vào A cột 1 và cột 2 A 3×3 a1 = b1 c 1 a2 b2 c2 a3 a1 a 2 ÷ b3 ÷ A... 2) Tìm ma trận X sao cho AX = B với 2 1 −2 8 ÷ ÷ A = 3 2 −4 ÷, B= 15 ÷ 5 4 −1 ÷ 1÷ HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho ma trận A ∈ Mmxn Gọi k là một số nguyên dương không lớn hơn min {m, n} (i) Ma trận vuông cấp k suy ra từ A bằng cách bỏ đi m – k dòng, n – k cột gọi là ma trận con cấp k của A (ii) Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp k của A 1 A = 2... và B.A A = − 1 2 1÷ B = − 1 3 − 2 ÷ − 2 3 1÷ 1 −1 1 ÷ Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận B cùng cấp sao cho A × B = B × A = In thì chúng ta nói A là ma trận khả nghịch và B là ma trận nghịch đảo của ma trận A Chú ý: Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất Ví dụ: Cho hai ma trận 1 3 7 ÷ A = 2 1 2÷ B = −7 1 4 ÷ 1 −2 5 ÷ 22 − 53 −... x2 + K + a1n xn = a x + a x + K + a x = 21 1 22 2 2n n K K K K an1x1 + an2 x2 + K + ann xn = a11 a 21 A= K an1 a12 a22 K an 2 K K K K a1n ÷ a2 n ÷ K÷ ÷ ann b1 A1 = b2 … bn b1 b2 K bn a12 K a1n ÷ a22 K a2n ÷ K K K÷ ÷ an 2 K ann A2, …An HỆ CRAMER Khi đó hệ có nghiệm duy nhất Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau detA i xi = , i=1,n detA x1 − x2 + x3 = − 2 2 x1... 1 A = 2 −1 −3 4 1 −2 1 1 2 ÷ 4 ÷ −2 ÷ Tính các định thức con của A (iii) Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A, ký hiệu rank(A) (r(A)) Quy ước: Ma trận 0 có hạng bằng 0 HẠNG CỦA MA TRẬN Tính chất: i Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sơ cấp ii rank(A) = rank(AT) iii Nếu A là ma trận bậc thang theo dòng thì hạng của A là số dòng khác 0 của A ⇒Tìm... trình tuyến tính Các phép biến đổi sơ cấp Phương pháp Gauss Hệ Cramer Định lý Kroncker – Capelli Hệ pttt thuần nhất Một số mô hình trong kinh tế HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau : a11 x1 a x 21 1 K am1 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2 K K K K K K K K ( I) Ma trận... nghiệm Số nghiệm của hệ pttt Có nghiệm duy nhất Nghiệm tổng quát Vô số nghiệm Nghiệm riêng CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương khi chúng có chung tất cả các nghiệm, nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại Phép biến đổi sơ cấp: Phép BĐSC trên dòng áp dụng lên một hệ pttt (i) Đỗi chỗ hai phương trình: di = dj (ii) Nhân một phương trình... trình bày ở mục định nghĩa là công thức tính định thức khai triển theo dòng thứ 1 Định thức của ma trận vuông không đổi khi ta khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Định lý: Cho ma trận A = (aij)nxn Khi đó n det A = ∑ (− 1)i0 + j ai0 j det Ai0 j ( 1) det A = ∑ (− 1)i + j0 ai j 0 det Ai j0 ( 2) j =1 n i =1 với mọi 1 ≤ i0, j0 ≤ n (1) gọi là công thức khai triển theo hàng i0,