Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát; ma trận của ánh xạ tuyến tính; thuật toán tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức.

➢ Chương Ánh xạ tuyến tính §1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa Cho X , Y kgvt Ánh xạ T : X Y gọi ánh xạ tuyến tính (hay tốn tử tuyến tính) thỏa mãn điều kiện sau: 1) T ( x ) 2) T (x T (x ), x y) X, T (x ) T (y ), x, y ; X ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính ▪ Chú ý • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt AXTT), ký hiệu T (x ) viết Tx • Hai điều kiện định nghĩa tương đương với: T (x y ) Tx Ty, x, y X , • T( X ) Y Trong X Y X , Y vector không ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD Cho ánh xạ T : T (x1; x ; x ) (x1 x2 Trong Với T (x tùy ý, ta có: y ) T (x1 y1; x , xét x (x (x1; x ; x ), y (x y1 2x y1 x2 (y1 định nghĩa: x ; 2x 3x ) x ; 2x y2 x2 (y1; y2 ; y ) y2 ; x y2 3x y3 ) x3 y3 ; y2 ) 3x ) y ; 2y1 3y2 ) Vậy ánh xạ T ánh xạ tuyến tính từ Tx Ty vào ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD Cho ánh xạ f : f (x ; y ) Xét u (1; 2), v (x xác định sau: y; 3y ) (0; 1) ta có: f (u v ) f (1; 1) (1 1; 3.1) (0; 5) f (u ) f (v ) ( 1; 8) (1; 1) (0; 7) f (u v) f (u) f (v) Vậy ánh xạ f AXTT từ vào ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD Các AXTT thường gặp mặt phẳng: • Phép chiếu vng góc xuống trục Ox , Oy : T (x ; y ) (x ; 0), T (x ; y ) (0; y ) • Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : T (x ; y ) (x ; y ), T (x ; y ) ( x ; y ) • Phép quay góc quanh gốc tọa độ O : T (x ; y ) (x cos y sin ; x sin M• a cos b sin y a sin b O b cos •M a x y cos ) ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính b) Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính ▪ Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính T : X Y • Tập {x X : Tx } gọi nhân T Y Ký hiệu KerT } Vậy KerT {x X : Tx Y • Tập T (X ) {Tx : x X } gọi ảnh T Ký hiệu RangeT ImT Vậy ImT {Tx : x X } ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính ▪ Tính chất Cho ánh xạ tuyến tính T : X Y , đó: • KerT khơng gian X ; • ImT khơng gian Y ; • Nếu S tập sinh X T (S ) tập sinh ImT ; • T đơn ánh KerT ▪ Định lý Cho ánh xạ tuyến tính T : X dim(KerT ) { X } Y , đó: dim(ImT ) dim X ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính ➢ Chú ý • Khi n m , ta gọi f : n tuyến tính (viết tắt PBĐTT) n phép biến đổi ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính 1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính a) Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : n , m là: B1 n m {u1, u2, , un } B2 Ma trận A M m,n ( ): f (u1 ) hai sở {v1, v2, , vm } B2 f (u2 ) B2 f (un ) B2 gọi ma trận AXTT f cặp sở B1, B2 B2 B1 Ký hiệu là: [ f ] viết đơn giản A ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính Cụ thể là, nếu: f (u1 ) a11v1 a21v2 a 31v am 1vm f (u2 ) a12v1 a22v2 a 32v am 2vm f (un ) a1nv1 a2nv2 a 3nv amnvm B2 B1 [ f ] a11 a12 a1n a21 a 31 a22 a 32 a2n a 3n am am amn ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 13 Cho PBĐTT f (x ; y ) (x y; x 2y ) Tìm [ f ]B , với sở B {(2; 1), (1; 1)} ? Giải Ta có: 1 f PE B E 1 Suy ra: f B PE 1 f B 1 E 1 PE B 2 1 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính 1 3 1 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 14 Cho PBĐTT f : f (x ; y; z ) (x y z ; x Tìm [ f ]F , với F Giải Ta có: f P PE F E 1 0 có biểu thức: y z ; x y z ) {(2; 1; 0), (1; 0; 1), ( 1; 0; 1)} ? 1 1 1 1 1 P 1 2 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính Suy ra: f F 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 Vậy f F ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 15 Cho AXTT f : f (x ; y; z ) (x y có biểu thức: z ; x y z ) Tìm ma trận f cặp sở: B {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} B {(2; 1), (1; 1)} ? E2 E3 Giải Ta có: [ f ] P PE B 1 1 1 1 ,P 1 PE B 1 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính B B Vậy [ f ] P 1 1 1 E2 E3 [f ] P 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính c) Thuật tốn tìm ma trận AXTT n m Cho AXTT f : hai sở là: B1 {u1, u2, , un } B2 {v1, v2, , vm } • Bước Tìm ma trận: S [v1 ]E [v2 ]E [vm ]E m m m (ma trận cột vector B2 ), Q [ f (u1 )]E [ f (u2 )]E [ f (un )]E n n n • Bước Dùng PBĐSC dòng đưa ma trận S Q B2 B1 dạng I [ f ] ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 16 Cho PBĐTT f (x ; y ) (x Dùng thuật tốn tìm [ f ]B , với B Giải Ta có: B1 [ f (2; 1)] Suy ra: S Q B2 1 10 3 2y ) {(2; 1), (1; 1)} ? B S , [ f (1; 1)] y; x ; Q ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính 13 03 01 13 Vậy [ f ]B 1 01 11 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 17 Cho AXTT f : f (x ; y; z ) (x y có biểu thức: z ; x y z ) Dùng thuật tốn tìm ma trận f cặp sở: B {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} B {(2; 1), (1; 1)} ? Giải Ta có: f (1; 1; 0) (2; 0) f (0; 1; 1) (0; 0) f (1; 0; 1) (0; 2) Q 0 , S 0 2 1 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính Suy ra: S Q 2 12 0 10 12 4 B B Vậy [ f ] 0 2 2 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 18 Cho AXTT f (x ; y ) cặp sở: A B (x y; y x ; x ) {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} , A B {(1; 2), (3; 4)} Dùng thuật tốn, tìm [ f ] ? Giải Ta có: S 1 1 1; 0 f (1; 2) ( 1; 3; 1) f (3; 4) (7; 1; 3) Q ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính Suy ra: S Q 1 1 1 0 1 0 0 1 A B Vậy [ f ] ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính d) Hạng ánh xạ tuyến tính ▪ Định nghĩa n Hạng AXTT f : khơng gian ảnh m số chiều Nghĩa là: r (f ) dim(Im f ) ▪ Định lý Hạng AXTT hạng ma trận ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 19 Cho PBĐTT f : sở F A B B sở B, B [ f ] Vậy r (f ) có ma trận Vậy r (f ) VD 20 Cho AXTT f : r (A) có ma trận cặp 1 B B r [f ] ………………………………………………………………………………………… ... ánh xạ tuyến tính T : X dim(KerT ) { X } Y , đó: dim(ImT ) dim X ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính ➢ Chú ý • Khi n m , ta gọi f : n tuyến tính (viết tắt PBĐTT) n phép biến đổi ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính. .. Nếu PBĐTT f : có f B1 (P ) A1. P n n có [ f ]B thì: B P –1 .A.P A , [ f ]B B ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính P f B1 B1 A2 A1 P A2 (P ) A1P f B2 B2 ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính VD 13 Cho PBĐTT f (x ;... 2) ( 1; 3; 1) f (3; 4) (7; 1; 3) Q ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính Suy ra: S Q 1 1 1 0 1 0 0 1 A B Vậy [ f ] ➢ Chương Ánh xạ tuyến tính d) Hạng ánh xạ tuyến tính ▪ Định nghĩa n Hạng AXTT f : không