I C= E + Fuur uur uur
b. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho HS
Vấn đề bồi dỡng t duy sáng tạo cho HS đã đợc nhiều nhà khoa học GD trong và ngoài nớc quan tâm nh: "Sáng tạo Toán học" của G.Pôlya (1997), "Rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học ở trờng phổ thông" của Hoàng Chúng (1969), "Tập cho HS giỏi làm quen với nghiên cứu Toán học" của Nguyễn Cảnh Toàn (1992), "Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho HS khá giỏi toán bậc THCS Việt Nam" của Tôn Thân (1992). Nhìn chung các tác giả đã nghiên cứu khá sâu sắc từ phơng hớng chung đến các biện pháp cụ thể bồi dỡng t duy sáng tạo cho HS. ở đây, chúng tôi chỉ tập trung đi sâu vào trình bày các cơ hội có thể bồi dỡng t duy sáng tạo cho HS thông qua DH chơng 1 và chơng 2 của Hình học 10.
ở trờng phổ thông, DH toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS có thể xem năng lực giỏi toán, năng lực t duy sáng tạo, suy luận lôgíc là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán ở trong chơng trình THPT nói chung, các bài tập trong SGK hình học 10 nói riêng là một phơng tiện rất có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản, phát triển t duy, hình thành kỹ năng phân tích, suy luận,
khai thác, phát triển bài toán. Vì vậy GV cần phải thờng xuyên hớng dẫn HS tìm tòi, khai thác kiến thức từ những bài toán cơ bản, để từ đó HS luôn tìm đợc những điều mới, thú vị, gây hứng thú tích cực học toán. Chẳng hạn ta có thể xét các bài toán sau:
Bài toán : Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. CMR với mọi điểm M ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Chứng minh: Ta có
MA2 + MB2 + MC2 = 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2
MA + MB + MC = GA - GM + GB - GM + GC - GM uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur = GA + GB + GC + 3GM + 2GM GA + GB + GC2 2 2 2 uuuuur uuuur uuuur uuuur( )
= 3MG + GA + GB + GC .2 2 2 2
SGK đã khai thác bài toán trên với hai câu hỏi sau:
+ Với vị trí nào của điểm M tổng MA2 + MB2 + MC2 có giá trị bé nhất và giá trị đó bằng bao nhiêu?
+ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2, trong đó k là số cho trớc. HS dễ dàng trả lời đợc hai câu hỏi trên.
Ta tiếp tục hớng cho HS khai thác bài toán theo các hớng sau:
Hớng 1: Thay đổi giá trị vị trí điểm M ta có:
Bài toán 1. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. CMR GA2+ GB2 + GC2 =3(R2- OG2). Cho M trùng O ta có ngay kết quả.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC điểm M thay đổi trên cạnh BC. Tìm vị trí của M
là hình chiếu của G trên BC để tổng MA2 + MB2 + MC2 có giá trị bé nhất.
Bài toán 3. Cho tam giác ABC và đờng thẳng d. Tìm vị trí của M trên d để tổng
MA2 + MB2 + MC2 có giá trị bé nhất.
Dễ thấy M là hình chiếu của G trên đờng thẳng d.
Bài toán 4. Cho tam giác ABC không đều nội tiếp
đờng tròn (O;R). Tìm điểm M trên (O) để tổng T = MA2 +MB2 +MC2 có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: T = MA2 + MB2 + MC2
= 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 .
Tmax ⇔MG max mà MG2 = OM2+ OG2 - 2OMìOGìcosα,
với α= (uuuur uuuurOM,OG), OM = R, OG không đổi, G≠O ⇒MG max ⇔cosα=-1⇔ α=1800 ⇒M≡M1.
Với M1, O, G thẳng hàng và M1 là giao điểm của tia GO với đờng tròn (O).
Tmin ⇔cosα = 1 ⇔ α = 00 ⇔M ≡ M2, với M2, O, G thẳng hàng và M2 là giao
điểm của tia OG với đờng tròn (O).
Bài toán 5. Cho tam giác ABC không đều ngoại tiếp đờng tròn (I;r). Tìm Tiếp tục
khai thác bài toán trên bằng cách thay đờng tròn ngoại tiếp bởi đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và với cách giải tơng tự nh trên ta có bài toán điểm M thuộc đờng tròn (I) để tổng T = MA2+ MB2+ MC2 có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Hớng 2: Thay đổi giả thiết tam giác ABC thành tứ giác ABCD. Trớc hết, ta có
bài toán cơ bản đối với tứ giác.
Bài toán 6. Cho tứ giác ABCD, G là trọng tâm tứ giác (G là trung điểm của đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ giác). CMR với mọi điểm M ta có: + MA + MB + MC + MD = 4MGuuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuuur.
+ MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.
Bài toán này HS dễ dàng chứng minh đợc theo cách chứng minh đối với tam giác. Bằng cách tơng tự nh đối với tam giác, HS có thể dễ dàng phát biểu và giải đợc các bài toán sau:
Bài toán 7. Cho tứ giác ABCD, M là điểm bất kỳ. Tìm vị trí của điểm M để
T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bé nhất.
Bài toán 8. Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC. Tìm vị trí của
điểm M để T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bé nhất.
Bài toán 9. Cho tứ giác ABCD và đờng thẳng d. Tìm điểm M trên d để tổng
T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bé nhất.
Bài toán 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O; R) sao cho trọng
tâm của tứ giác không trùng với O. Tìm điểm M thuộc đờng tròn (O) sao cho tổng T = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 lớn nhất, bé nhất.
Bài toán 11. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2+ MB2 + MC2 + MD2 = k2, trong đó k là số cho trớc.
Bài toán 12. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R), G là trọng tâm của
tam giác. Một đờng thẳng qua G cắt đờng tròn tâm O tại hai điểm M, N. CMR: