(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức

(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức(Luận văn thạc sĩ) Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM ANH HUY SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM ANH HUY SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2020 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Trịnh Thanh Hải Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K12 trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hồn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12 động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Phạm Anh Huy ii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một vài bất đẳng thức quen thuộc thường gặp chương trình phổ thông 1.1.1 Các tính chất bất đẳng thức 1.1.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.1.3 Bất đẳng thức AM − GM (bất đẳng thức Cauchy) 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (bất đẳng thức Bunhiacopski) 1.1.5 Bất đẳng thức Bernouli 1.1.6 Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ) Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức phạm vi toán trung học phổ thông 1.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 1.2.2 Phương pháp sử dụng phép biến đổi tương đương 1.2.3 Phương pháp chứng minh phản chứng 1.2.4 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu 10 1.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức quan trọng trung gian biết 11 1.2.6 Phương pháp ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai 12 1.2.7 Phương pháp miền giá trị hàm 13 iii 1.2.8 Phương pháp ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức 15 1.2.9 Phương pháp quy nạp 16 1.2.10 Phương pháp lượng giác 17 Vận dụng tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức 19 2.1 Ý tưởng việc vận dụng tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức 19 2.2 Một số toán chứng minh bất đẳng thức dựa tính chất hình học 21 2.2.1 Vận dụng tính chất tam giác, tứ giác, đường trịn để chứng minh bất đẳng thức 22 2.2.2 Vận dụng tích vơ hướng hình học phẳng vào chứng minh bất đẳng thức 37 2.2.3 Vận dụng tích vơ hướng không gian vào chứng minh bất đẳng thức 41 2.2.4 Vận dụng tính chất mặt phẳng tọa độ để chứng minh bất đẳng thức 44 2.2.5 Vận dụng tính chất mặt phẳng tọa độ để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến số phức 60 Tài liệu tham khảo 68 Mở đầu Bài toán chứng minh bất đẳng thức tốn khó, thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế Chính tốn bất đẳng thức ln dành quan tâm lớn từ bạn học sinh, thầy giáo, cô giáo nhà tốn học Một phương pháp có hiệu để giải số toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hình học Ý tưởng “Phương pháp sử dụng tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức” xuất phát từ tính chất quen thuộc hình học, ta vận dụng đề để đưa lời giải cho toán chứng minh bất đẳng thức, mà có nhiều tốn bất đẳng thức khó dành cho học sinh khá, giỏi Xuất phát từ thực tế với mục đích tích lũy thêm kiến thức cách chứng minh bất đẳng thức vận dụng số tính chất hình học vào giải số toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi nước quốc tế làm tư liệu cho công việc giảng dạy thân, chúng em lựa chọn hướng nghiên cứu vận dụng số tính chất hình học vào chứng minh, đưa lời giải cho số toán bất đẳng thức dành cho học sinh khá, giỏi Luận văn tập trung vào hoàn thành nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu tính chất hình học thường vận dụng để đưa lời giải cho toán chứng minh bất đẳng thức - Ý tưởng toán học việc lựa chọn, vận dụng số tính chất hình học việc tìm lời giải cho tốn chứng minh bất đẳng thức - Sưu tầm toán, đề thi toán bất đẳng thức dành cho học sinh giỏi - Đưa lời giải cách vận dụng tính chất hình học cho số toán chứng minh bất đẳng thức dành cho học sinh giỏi Ngoài luận văn đưa cách giải khác toán bất đẳng thức so sánh phương pháp giải với lời giải dựa vào việc vận dụng tính chất hình học để có nhận xét thú vị Cấu trúc luận văn gồm có hai chương phần mở đầu, kết luận Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày vài bất đẳng thức quen thuộc chương trình tốn trung học phổ thông số phương pháp giải toán bất đẳng thức pham vi trung học phổ thông Chương Vận dụng )2 + (y − 4)2 Hình 2.22 Gọi O1 điểm có hồnh độ tung độ Khi M (x; y) ∈ D, (x − 2)2 + (y − 4)4 = O1 M 59 Ta có O1 M = O1 H , H chân đường vng góc hạ từ O1 M ∈D xuống CD Theo cơng thức tính khoảng cách từ điểm O1 (2; 4) với đường thẳng CD có phương trình x + 3y − = ta có: O1 H = |2 + 3.4 − 9| √ =√ 10 12 + 32 Lại có max O1 M = max{O1 A, O1 B, O1 C, O1 D} M ∈D √ √ √ √ √ = max 17, 2, 5, 65 = 65 Vậy ta đến max f (x, y) = 65 f (x, y) = (x,y)∈D (x,y)∈D Vậy ≤ f (x, y) ≤ 65 xét miền D Bài toán 2.2.36 Chứng minh rằng: ≤ f (x, y) ≤ 10, với f (x, y) = x + 2y miền D = {(x, y) : x + 3y − 10 ≥ 0, x + y − ≤ 0, x − y + ≥ 0} Chứng minh Gọi α giá trị tùy ý hàm số f (x, y) miền D, tức hệ sau có nghiệm   x + 2y = α,     x + 3y − 10 ≥ 0, (2.32)  x + y − ≤ 0,     x − y + ≥ Giả sử M (x; y) ∈ D Trên hệ trục tọa độ vẽ ba đường x + 3y − 10 = 0, x + y − = 0, x − y + = Từ cách xét miền, D tam giác ABC với A(4; 2), B(2; 4), C(1; 3) Đường thẳng x + 2y = α qua B , ta có α = + 2.4 = 10, đường thẳng qua C , ta có α = + 2.3 = 60 Hình 2.23 Hệ (2.32) có nghiệm đường thẳng x + 2y = α nằm hai đường thẳng x + 2y = 10 x + 2y = Vậy hệ (2.32) có nghiệm ≤ α ≤ 10 Như ta có ≤ f (x, y) ≤ 10 xét miền D 2.2.5 Vận dụng tính chất mặt phẳng tọa độ để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến số phức Ý tưởng: Sử dụng tính chất mặt phẳng tọa độ trình bày 2.2 để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến số phức Bài toán 2.2.37.√ Cho số phức thỏa mãn |z − − 4i| = |z − 2i| Chứng minh |z| ≥ 2 Chứng minh Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R), z có điểm biểu diễn M (x; y) |z| = OM |z − − 4i| = |z − 2i| ⇔ (x − 2)2 + (y − 4)2 = x2 + (y − 2)2 ⇔ (x − 2)2 + (y − 4)2 = x2 + (y − 2)2 61 ⇔ − 4x − 4y + 16 = ⇔ x + y − = Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng ∆ : x + y − = Hình 2.24 Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ Vì |z| = OM nên |z| nhỏ M hình chiếu O ∆ ⇔ M trùng H Vậy √ |0 + − 4| |z| = OH = d(O; ∆) = √ = 2 12 + 12 √ Vậy |z| ≥ 2 Bài toán 2.2.38 Cho số phức z thỏa mãn |z − − i| + |z − − 2i| = √ √ Chứng minh rằng: ≤ |z| ≤ 13 √ Chứng minh Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) có điểm M (x; y) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có: √ |z − − i| + |z − − 2i| = √ ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 3)2 + (y − 2)2 = (2.33) ... hiệu để giải số tốn chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hình học Ý tưởng “Phương pháp sử dụng tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức? ?? xuất phát từ tính chất quen thuộc hình học, ... tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức 19 2.1 Ý tưởng việc vận dụng tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức 19 2.2 Một số toán chứng minh bất đẳng thức. .. để “xuất kiện hình học? ?? sau sử dụng tính chất hình học để đưa lời giải hồn chỉnh Đề tài luận văn cố gắng minh họa thêm hướng chứng minh bất đẳng thức cách khai thác tính chất hình học, góp phần