Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2019)

Bài giảng Giải tích - Chương 2: Hàm liên tục cung cấp cho người học các khái niệm về hàm liên tục, tính chất của hàm liên tục. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán và nhứng ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập vầ nghiên cứu.

9/16/2019 Chương 2: Hàm liên tục §1 Khái niệm GV Phan Trung Hiếu §1 Khái niệm §2 Tính chất hàm liên tục LOG O I Hàm số liên tục điểm: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định khoảng chứa x0 Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 (ii) f(x) liên tục bên phải x0 lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 (iii) f(x) liên tục x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Nói cách khác, f(x) liên tục x0 thỏa điều sau:  f(x) xác định x0  lim f ( x ) tồn x  x0  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Hàm số f(x) khơng liên tục x0 gọi gián đoạn x0 xảy điều sau:  f(x) không xác định x0  f(x) xác định x0, lim f ( x ) không tồn x  x0 lim f ( x) không tồn x  x0 lim f ( x)  lim f ( x ) x  x0 x  x0  f(x) xác định x0, lim f ( x) tồn tại, x  x0 lim f ( x)  f ( x0 ) Định lý 1.2 Nếu f g liên tục x0 f  g , f g , f ( g  0) liên tục x0 g Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục hàm số sau  sin 3x x  x   a ) f ( x)   x 3 x   x2  x  1  b) f ( x)   x2 x  1  2 x0  1 x x0 9/16/2019 Ví dụ 1.2: Cho hàm số Ví dụ 1.4: Tìm m n để hàm số x tan x f ( x)  , x  k 2 (k  )  cos x  3mx x  3,  f (x )   x  n x  3, x2 x   Tìm f(0) để hàm số liên tục x0  Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số  ex 1 x   f ( x )   ln(1  x ) liên tục x0    m x   liên tục x0  II Hàm số liên tục khoảng, đoạn: Định nghĩa 2.1 Hàm số f(x) liên tục (a,b) f(x) liên tục điểm thuộc (a,b) Định nghĩa 2.2: Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục [a,b] có đồ thị đường liền nét (không đứt khúc) đoạn f(x) liên tục (a,b)   f ( x)  f (a) f(x) liên tục [a,b]   xlim a  f ( x )  f (b)  xlim b a a b b  Không liên tục Liên tục  10 Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định  x  x   f ( x )  1 x   x  x   mx  x x  f ( x)    x  mx x  liên tục  Ví dụ 1.7: Tìm m n để hàm số 1 x   f ( x)  mx  n  1 x  x  1 1  x  x  liên tục  11 2 12 9/16/2019 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương hai đa thức) hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục tập xác định chúng §2 Tính chất hàm số liên tục Định lý 2.5: Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn 13 Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian): f(x) liên tục [a,b] f (a )  f (b)  c  (a , b ) : f (c )  N N   f ( a), f (b)  15 14 Hệ 2.6: f(x) liên tục [a,b] f (a ) f (b)   c  (a, b) : f (c)  Ví dụ 2.1: Cho phương trình cos x  x a) Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng (0;1) b) Tìm khoảng với độ dài 0,01 có chứa nghiệm phương trình 16 Bài tập Giải tích Chương Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 cho trước  ln(1  x )  arcsin( x  x ) x  x    1) f ( x)   x0  2) f ( x )    e x2 x0  3x 2 /  x  x   2 ln x  ln Bài 2: Cho hàm số f ( x)  , x  Tìm f(2) để hàm số liên tục x  x2 Bài 3: Xác định m để hàm số sau liên tục điểm x0   tan x  sin x  2) f ( x )   2x m   ln(2  cos(mx )) x   1) f ( x)   x  x2 m x    m sin x x  0,  x  Bài 4: Tìm m n để hàm số f ( x)  2 x  0,   2n  x  x   x  Bài 5: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định  x  x  liên tục điểm x0    x  sin( x ) x  x   cos 1) f ( x)   x  2) f ( x)     x  x   x 1 Bài 6: Xác định m để hàm số sau liên tục tập xác định  e5 mx  cos x x   1) f ( x )   x m  x    (1  cos(mx)).(e x  e5 x ) x   2) f ( x )   x  x3 3m  x   Bài 7: Cho phương trình ln x   x a) Chứng minh phương trình có nghiệm thực b) Tìm khoảng với độ dài 0,01 có chứa nghiệm phương trình ... x   ? ?2 ln x  ln Bài 2: Cho hàm số f ( x)  , x  Tìm f (2) để hàm số liên tục x  x? ?2 Bài 3: Xác định m để hàm số sau liên tục điểm x0   tan x  sin x  2) f ( x )   2x m   ln (2  cos(mx... trình 16 Bài tập Giải tích Chương Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 cho trước  ln(1  x )  arcsin( x  x ) x  x    1) f ( x)   x0  2) f ( x )    e x2 x0  3x ? ?2 /  x... liên tục  11 2 12 9/16 /20 19 Định lý 2. 4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương hai đa thức) hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục tập xác định chúng ? ?2 Tính chất hàm