Bài giảng Giải tích - Chương 7: Lý thuyết chuỗi cung cấp cho người học các kiến thức: Các định nghĩa, các mệnh đề, chuỗi số dương, các tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert, chuỗi đan dấu,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
12/5/2019 Chương 7: Lý thuyết chuỗi §1 Chuỗi số GV Phan Trung Hiếu §1 Chuỗi số §2 Chuỗi hàm LOG O Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ chuỗi số) Nếu lim sn s ( ) chuỗi (*) hội tụ n I Các định nghĩa: Định nghĩa 1.1 Cho dãy số {an} Biểu thức: a1 a2 an an a (*) n 1 gọi chuỗi số (gọi tắt chuỗi) Các số a1, a2,…,an,… gọi số hạng chuỗi (*); an số hạng tổng quát n n s n 1 Nếu lim sn khơng tồn lim sn n n chuỗi (*) phân kỳ khơng có tổng sn a1 a2 an ak k 1 tổng riêng phần (thứ n) chuỗi (*) Ví dụ 7.1 Chứng minh tính n 1 n( n 1) Ví dụ 7.2 Chứng minh n(n 1) hội tụ II Các mệnh đề: n 1 1 ln 1 n phân kỳ n 1 Mệnh đề 2.1 Nếu hội tụ a n n 1 b n chuỗi n 1 (a n bn ) (k an ) n 1 n 1 chuỗi hội tụ, (a n n 1 bn ) an bn , n 1 n 1 (k.a ) k. a n n n 1 n 1 12/5/2019 Mệnh đề 2.2 (Chuỗi hình học) Mệnh đề 2.3 (Chuỗi điều hòa) x n n0 2 n0 p hội tụ p n 1 Ví dụ 7.3 Xét tính hội tụ chuỗi a) n hội tụ x Ví dụ 7.4 Xét tính hội tụ chuỗi n a) n 1 n b) n 1 n c) n 1/3 n 1 b) n 3 n0 Mệnh đề 2.4 lim an n an phân kỳ n 1 (an ) phan ky Chú ý: Nếu lim an ta chưa kết luận §2 Chuỗi số dương n Ví dụ 7.5 Xét tính hội tụ chuỗi a) 2n n 1 n n n n 1 n 1 b) I Định nghĩa: II Các tiêu chuẩn so sánh: a n 1 n 10 gọi chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh 1: Xét hai chuỗi số an 0, n từ số hạng trở an 0, n n0 Ví dụ 7.6 Chuỗi sau chuỗi số dương? n ( 1) n a) b) n n 1 3n n 1 11 dương an c [0, ] n b n an , bn với lim n 1 n 1 Khi n 1 n 1 0 c : an bn hội tụ phân kỳ 12 12/5/2019 c : b n n 1 a c : hội tụ an hội tụ n 1 n n 1 phân kỳ bn phân kỳ x n hội tụ | x | n 1 a n 1 n hội tụ n 1 b n p hội tụ p n 1 n hội tụ n 1 b n n 1 Chú ý: Thường chuỗi bn chọn từ n 1 hai chuỗi sau phân kỳ an phân kỳ Hệ quả: Nếu an , bn hai dãy số dương an bn , n n 1 a n b n n 1 n 1 hội tụ phân kỳ 13 14 Ví dụ 7.7 Xét tính hội tụ chuỗi 2n 3n b ) sin n a) n 1 n 1 5n 1 d) n c) n 1 n ln n 1 Tiêu chuẩn so sánh 2: Xét hai chuỗi số dương a n b an bn , n n0 Khi 1 e) ln n n 1 n n 1 a n 1 15 b) n hội tụ an hội tụ n 1 phân kỳ bn phân kỳ n 1 16 Ví dụ 7.8 Xét tính hội tụ chuỗi n 1 n ln n b a) thỏa n n 1 n 1 ln n n 3 n Tiêu chuẩn so sánh 3: Giả sử f(x) hàm liên tục, dương giảm 1; Đặt Khi an f (n) f ( x )dx hội tụ an hội tụ n 1 17 f ( x )dx phân kỳ an phân kỳ n 1 18 12/5/2019 Ví dụ 7.9 Xét tính hội tụ chuỗi n n ln n III Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert: Xét chuỗi số dương an Ta có: n 1 lim n an1 an an hội tụ n 1 an phân kỳ n 1 chưa kết luận Thường dùng tiêu chuẩn D' Alembert chuỗi có số hạng sau rút gọn cho số hạng trước 19 20 Ví dụ 7.10 Xét tính hội tụ chuỗi a) n 2 b) n n! c) n 1 n 1 n n ! d) n2 n n 1 n n e) n 1 IV Tiêu chuẩn số Cauchy: n n3 Xét chuỗi số dương an Ta có: n 1 n 1 n 3 ! n !.3n lim n an n an hội tụ n 1 an phân kỳ n 1 chưa kết luận Thường dùng tiêu chuẩn Cauchy chuỗi có số hạng tổng quát có dạng số mũ có chứa n 21 22 Ví dụ 7.11 Xét tính hội tụ chuỗi 3n b) n 1 2n a) n n n 1 n n2 n 1 c) n n 1 n 23 §3 Chuỗi đan dấu 24 12/5/2019 I Định nghĩa: II Định lý Leibnitz: Cho an dãy số dương, chuỗi số Nếu an dãy số dương, giảm lim an n a1 a2 a3 a4 ( 1) n 1 an n 1 chuỗi đan dấu ( 1) n 1 an hội tụ n 1 a1 a2 a3 a4 ( 1)n an n 1 chuỗi đan dấu Ví dụ 7.12 Xét tính hội tụ chuỗi ( 1) n 1 ( 1) n n a) b) n n2 n 1 n 1 n ( 1) c) (1) n 3n n 1 25 26 III Hội tụ tuyệt đối: Định lý: a n hội tụ n 1 a hội tụ n n 1 c) 3 b) (5) n (n 4) n phân kỳ n 1 Ví dụ 7.14 Xét tính hội tụ chuỗi n n (1) n 4n b) a) n n 1 3n n 1 ( 1) n n 2 n 1 2n d) n 1 n 1 (1) n 1 n 1 sin n a) n 1 n n 1 a n Ví dụ 7.13 Xét tính hội tụ chuỗi Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết chuỗi an phân kỳ 27 28 I Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng a x n (1) n §4 Chuỗi lũy thừa n0 x biến, số an hệ số x n Tổng quát, cho trước x0 , an chuỗi hàm số a (x x ) n n (2) n0 gọi chuỗi lũy thừa x x0 29 30 12/5/2019 Chú ý: Đặt X x x0 chuỗi (2) trở thành II Tìm bán kính hội tụ tìm miền hội tụ: Miền hội tụ chuỗi lũy thừa có dạng ( R; R), R; R , R; R , R; R a X n n n0 Chuỗi (1) hội tụ x =0 Tồn số R để chuỗi an x n hội tụ n khoảng (R; R), phân kỳ khoảng ( ; R ) ( R; ) R: bán kính hội tụ (R; R) : khoảng hội tụ 31 Định lý: Nếu lim n an1 lim n an n an 1 , R 0, , 32 Các bước tìm miền hội tụ: Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo định lý Bước 2: Xét tính hội tụ chuỗi –R R Bước 3: Kết luận Ví dụ 7.15 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi sau n n a) n ! xn n 1 b) n!x 2n ! c) nx n n 1 n 1 n 2n x 3 n3 n 1 n ( 1) n (2 n 1) x 1 f) 2n n 1 ( 1) n x n d) e) n.2n n 1 33 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Xét tính hội tụ chuỗi sau 2n1 1) n n 1 n2 n 3) n 1 n 2n n 2) n n 1 4) n 1 2 2 e n Bài 2: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) n 1 (2n 1)(2n 1) 5) 1 1 cos n n 1 9) n 1 n 1 n n 6) 3) sin n n 1 n 1 n( n 1) n 1 n 1 2) n 1 n n 7) sin n 1 3n 10) n n 1 n ln 1 n 1 1n e 1 n 1 n n 8) (n 1)n 12) n1 n n 1 n2 11) n n 4) 13) n n e n 1 Bài 3: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) n n 1 n.3 2) n n 1 3) n ln n n 7 Bài 4: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) n 2 n.ln n 2) n.ln n ln(ln n) n 1 3) n.ln n 4) n 1 arctan n n 1 n Bài 5: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) n3 n n 1 2) 3n n! n n 1 n 3) 5) n 2n n1 n! 6) 2n 10 n1 n 7) 9) sin n 1 n e 3n n n1 n1 8) n2 n n1 2n 12) (2n) n 2n n 1 n (n 1)en n1 10) 4) 3n 13) (n!)2 n1 (2n)! 4.7.10 (3n 1) 11) n 1 2.6.10 (4 n 2) n 1 n 1 (3n 1).3 n4 n 1 Bài 6: Xét tính hội tụ chuỗi sau 2n 1) n 1 3n (2n) n 5) n n 1 n n 4n 2) n 1 3n 6) n 2 n n 3) n 1 n ln n n2 n 1 7) n 1 n n 4) n 1 n ( n 1) n 1 n Bài tập Giải tích Bài 7: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) 1 n 1 n 1 5) n 1 ln n (1)n n (1) n cos n 3 9) n! n 1 2) n 1 6) 13) 1 n 1 n 10) 14) n 1 n 1 3) n 7) 1 n 1 10 n 1 11) n! n 4) 2n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n n n3 1 n n ln n n 8) cos n n 1 n n 12) n2 n 1 n n 1 n 2 1 1 n n 1 2n 3n n n3 (n 3)! 3 Bài 8: Tìm miền hội tụ chuỗi sau xn 2) n n(n 1) 1) nx n n 1 5) (1)n n 1 xn 2n ( x 1) n 9) n n 1 6) n 1 ( x 2) n n.3n n 1 10) n 1 13) xn 3) n 1 n ! 14) xn 4) n n 1 n.2 xn 8) n 3 ln n xn 3n x n n 1 (n 1) 7) 2n 3x 5 n 1 11) n2 4n 1 x n 1 2n x n ( x 2) n 1 n ( x 2) n nn n 1 n n n 12) ( x 3) n 1 n 15) n 16) n( x 2) n 1 n ... n.2n n 1 33 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Xét tính hội tụ chuỗi sau 2n1 1) n n 1 n2 n 3) n 1 n 2n n 2) n n 1 4) n 1 2 2 e n Bài 2: Xét tính... n 3) n 1 n ln n n2 n 1 7) n 1 n n 4) n 1 n ( n 1) n 1 n Bài tập Giải tích Bài 7: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) 1 n 1 n 1 ... 2) n n 1 3) n ln n n ? ?7 Bài 4: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) n 2 n.ln n 2) n.ln n ln(ln n) n 1 3) n.ln n 4) n 1 arctan n n 1 n Bài 5: Xét tính hội tụ chuỗi