Bài giảng Giải tích: Chương 1 - Phan Trung Hiếu (2019)

Bài giảng Giải tích - Chương 1: Giới hạn do Phan Trung Hiếu biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, phương pháp tính giới hạn của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

9/4/2019 Kiểm tra, đánh giá kết quả: GIẢI TÍCH GV Phan Trung Hiếu 60 tiết LOG O -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm Vắng ngày trễ ngày: trừ điểm Chỉ vắng ngày có phép -Bài kiểm tra kì (hệ số 0.3): Tự luận, khơng sử dụng tài liệu -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không sử dụng tài liệu Điểm cộng, trừ tập: -Điểm cộng vào kiểm kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm câu:+0,5 điểm (nếu làm sai khơng trừ điểm) Chỉ cộng tối đa điểm Điểm cộng, trừ tập: -Điểm trừ vào kiểm kỳ: Khi SV +2 điểm mà tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần Khi khơng có SV xung phong lên làm GV gọi SV lên làm theo danh sách thứ tự từ xuống: -Nếu SV làm +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai khơng biết làm -0,5 điểm/lần Tải giảng xem thông tin môn học: sites.google.com/site/sgupth Nội dung: Chương Chương Chương Chương Chương Chương Chương 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: Giới hạn Hàm liên tục Hàm khả vi Tích phân Ứng dụng tích phân Tích phân suy rộng Lý thuyết chuỗi 9/4/2019 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng lớp [2] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập Phép tính giải tích hàm biến, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Tốn cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục Các tài liệu tham khảo khác Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus Chương 1: Giới hạn §1 Giới hạn dãy số GV Phan Trung Hiếu §1 Giới hạn dãy số §2 Giới hạn hàm số §3 Phương pháp tính giới hạn hàm số LOG O 10 I Các định nghĩa dãy số thực: Định nghĩa 1.1 Dãy số thực (dãy số) ánh xạ f : *   n  f (n)  xn Kí hiệu: {xn }  {x1 , x2 , , xn , }, đó: x1 , x2 , , xn , số hạng, xn số hạng tổng quát dãy số Nhận xét 1.2 Dãy số hoàn toàn xác định biết số hạng tổng quát 11 Ví dụ 1.1: Dãy số {xn }, với xn  n 1 Khi 1 x1  , x2  , x3  , Ví dụ 1.2: Dãy số {xn }, với xn  n! n Khi 1 x3  , x4  , x5  , 20 115 12 9/4/2019 Ví dụ 1.3: Dãy số {xn }, với Ví dụ 1.4: Dãy số {xn }, với xn      n Tính x1 , x2 , x3  1    xn  1  1          n  Tính x3 Giải Giải x1  1,  1  x3  1  1       x2    3, x3     6, 13 14 Ví dụ 1.5: Dãy số {xn }, với  x1   ,n   x2  x  x  x  n n 1 n Khi (Dãy Fibonacci) Chú ý: Một dãy số minh họa cách vẽ số hạng trục số, vẽ đồ thị n Ví dụ, xét dãy số {xn}, với xn  n 1 x3  x2  x1  2, x4  x3  x2    3, x5  x4  x3    5, x6  x5  x4    8, {xn }  1,1, 2,3,5,8,13,21,  15 16 Định nghĩa 1.6 Số a   gọi giới hạn dãy số {xn}   0, n0   : xn  a   , n  n0 n Ký hiệu lim xn  a hay xn   a n 17 18 9/4/2019 Chú ý 1.7: Một số kết giới hạn cần nhớ: -Nếu a số hữu hạn ta nói dãy {xn} hội tụ đến a -Nếu a không tồn a   ta nói dãy {xn} phân kỳ 1) lim k  k ( k  ) n 1 2) lim   0,   0; lim n  0,   n  n n  pn 3) lim  0, (p  0); n  n! n lim n  0, (  , p  1) n p 0 4) lim a n   n  19 5) lim n a  1, a  a  Định lý 2.1 6) lim n n  n  n  a 7) lim 1    ea (a  ) n   n 8) lim xn  a  lim( xn  a)  n 9) lim xn   lim xn  n  20 II Các phép toán giới hạn dãy số: n n  a  1, n  ▪Nếu dãy số có giới hạn giới hạn ▪Nếu dãy số hội tụ bị chặn ▪Nếu dãy số tăng bị chặn hội tụ ▪ Nếu dãy số giảm bị chặn hội tụ 10) lim xn  lim xn , xn  n  n 21 22 Định lý 2.2 Nếu dãy số {xn} {yn} có giới hạn Định lý 2.3 (Định lý kẹp): Cho dãy số {xn}, {yn}, {zn} Nếu  yn  xn  zn , n  * , lim y  lim z  a n n n n i) lim( xn  yn )  lim xn  lim yn n  n n  ii) lim( xn yn )  lim xn lim yn n  iii) lim n  n n  lim xn xn n  (lim yn  0) yn lim yn n lim xn  a n  n  23 24 9/4/2019 Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với  : a  ( )  ( )  a  , a  (  )  (  )  a  ,  , a  0, a.( )  ( ).a    , a  0,  , a.( )  ( ).a    , a  0, a  25   ()  ( )  , ( ).()  ().()  , ()  ()  , ().( )  ( ).( )    n  * , ta có ( ) n  ,  n chẵn, () n    n lẻ  a    26 a  : 0 a > mẫu > a < mẫu < a > mẫu < a < mẫu >  ,  ,  ,   27 §2 Giới hạn hàm số 28 G  ( x, f ( x)) x  D : Đồ thị hàm số f I Hàm số: 1.1 Định nghĩa: Một hàm số f xác định tập hợp D   quy tắc đặt tương ứng số x  D với số thực y xác định f : D   x  y  f ( x) D: tập xác định (TXĐ) hàm số f x: biến độc lập (biến số) y: biến phụ thuộc (hàm) f(x): giá trị hàm số f x f ( D )  { y   y  f ( x ), x  D}: Tập giá trị (TGT) hàm số f 29 30 9/4/2019 Ví dụ 2.1: Đồ thị cho thấy mức tiêu thụ điện ngày vào tháng San Francisco (P tính MW, t tính giờ, bắt đầu vào lúc nửa đêm) a) Mức tiêu thụ điện vào lúc 6h sáng 6h tối bao nhiêu? b) Hãy cho biết tập xác định tập giá trị hàm số P(t) c) Mức tiêu thụ điện thấp nhất? Cao nhất? Thời gian có hợp lý khơng? 31 a) Tìm dân số giới vào năm 1950? P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t cho P(t) = 4450? 33 Hàm số xác định khúc: Hàm số ví dụ sau xác định cơng thức khác khúc khác tập xác định 35 1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:  Biểu diễn hàm số biểu thức: Ví dụ 2.2: Diện tích S hình trịn phụ thuộc vào bán kính R hình trịn Ta có S   R ( R  0) Biểu diễn hàm số dạng bảng số liệu: Ví dụ 2.3: Dân số giới P phụ thuộc vào thời gian t 32 Biểu diễn hàm số lời, đồ thị: Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ nước (T) bình phụ thuộc vào thời gian đun (t) Ta có đồ thị nhiệt độ nước bình sau Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu nước gần với nhiệt độ phịng Khi ta bật cơng tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng Khi ta ngắt cơng tắc điện, nhiệt độ bình giảm khơng đáng kể Khi ta tháo nước khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ nước ban đầu 34 Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 3ngàn/km quãng đường chạy xe không 100 km Nếu quãng đường chạy xe vượt q 100 km ngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x số km xe thuê chạy C(x) chi phí thuê xe Viết hàm số C(x) 36 9/4/2019 II Các hàm số bản: 2.1 Các hàm số sơ cấp bản: Hàm hằng: y  C  Hàm lũy thừa: y  x (   ) x Hàm mũ: y  a (0  a  1) Hàm logarit: y  log a x (0  a  1) Hàm lượng giác: y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x Hàm lượng giác ngược: Chú ý:  sin(arcsin x )  x (1  x  1) arcsin(sin x)  x     x    2   cos(arccos x)  x ( 1  x  1) arccos(cos x)  x  tan(arctan x )  x (0  x   ) arctan(tan x )  x  cot(arc cot x)  x ( x  )     x    2  ( x   ) arccot(cot x)  x (0  x   ) y  arcsin x, y  arccos x, y  arctan x, y  arccot x 37 2.2 Các hàm số sơ cấp: hàm số tạo thành số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số sơ cấp Ví dụ 2.6: Ta thường gặp dạng hàm số sơ cấp sau 38 Định nghĩa 2.3: ▪Hàm số y=f(x) gọi hàm chẵn f ( x)  f ( x), x  D ▪Hàm số y=f(x) gọi hàm lẻ f ( x)   f ( x), x  D Hàm đa thức (hàm nguyên): y  an x n  an1 x n1   a0 Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): y P ( x) Q ( x) P(x) Q(x) đa thức 39 Định nghĩa 2.4 Giả sử y=f(u) hàm số biến số u, đồng thời u=g(x) hàm số biến số x Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) hàm số hợp biến số x thông qua biến số trung gian u Ký hiệu 40 III Định nghĩa giới hạn hàm số: Ví dụ 2.8: Xét hàm số f ( x)  x  x  giá trị x gần Bảng đây, cho thấy giá trị hàm f(x) x tiến dần không ( f  g )( x)  f  g ( x)  Ví dụ 2.7: Cho hàm số f ( x)  x , g ( x)  x  Tìm f  g g  f 41 42 9/4/2019 Định nghĩa 3.2 (Giới hạn phía): ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x  x0 x  x0 ta nói f(x) có giới hạn bên phải x0 Ký hiệu Định nghĩa 3.1 Cho hàm số f(x) xác định tập D x0  D x0  D Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x  x0 ký hiệu lim f ( x )  L lim f ( x)  L x  x0 x  x0 Với điều kiện ta làm cho giá trị f(x) gần L, giữ chúng nằm gần đó, cách lấy x đủ gần x0 không x0 Ngồi ra, ta cịn ký hiệu f ( x)  L x  x0 đọc f(x) tiến dần L x tiến dần x0 Ví dụ 2.9: Dự đốn giá trị a) lim x 1 x 1 x2  b) lim 43 x  ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x  x0 x  x0 ta nói f(x) có giới hạn bên trái x0 Ký hiệu lim f ( x)  L x x0 Định lý 3.3: Giới hạn hàm số (nếu có)  x8  x  x  Chú ý:  x  x0  x  x0  x  x0  x  x0 x  x0  x  x0  x  x0 x  x0  lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L x x0  x x0 44 Ví dụ 2.10: Một bệnh nhân đồng hồ phải tiêm mũi thuốc 150 mg Đồ thị cho thấy lượng thuốc f(t) máu bệnh nhân sau t f (t ) lim f (t ) giải thích ý Tìm tlim 12 t 12 nghĩa giới hạn   x x0 lim f ( x )  L1   lim f ( x)  L2   lim f ( x) không tồn x  x0  x  x0 L1  L2  x  x0 45 Định nghĩa 3.4 (Giới hạn vô cùng): ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x  x0 lim f ( x)   xx ▪ Nếu f(x) giảm mà khơng bị chặn x  x0 lim f ( x)   x x Ví dụ 2.11: 0 lim x 0   x2 46 Định nghĩa 3.5 (Giới hạn vô cùng): ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x tăng khơng bị chặn với giá trị dương lim f ( x)  L x  ▪ Nếu f(x) có giới hạn L x giảm không bị chặn với giá trị âm lim f ( x)  L x  Ví dụ 2.12: lim f ( x)  x lim f ( x )  x  47 48 9/4/2019 ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x tăng không bị chặn với giá trị dương lim f ( x)   x  ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn x giảm không bị chặn với giá trị âm ▪ Nếu f(x) giảm mà khơng bị chặn x tăng không bị chặn với giá trị dương lim f ( x)   x  ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn x giảm không bị chặn với giá trị âm lim f ( x )   lim f ( x)   Ví dụ 2.13: x Ví dụ 2.14: x  n lẻ: n chẵn: n lim x n   lim x   x  x  lim x n   lim x n   x  x  49 IV Định nghĩa xác giới hạn: 50 Ví dụ 2.15: Sử dụng đồ thị f cho để tìm số  cho x    f ( x)   0,2 Định nghĩa 4.1 Cho hàm số f(x) xác định tập D x0  D x0  D Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x  x0 (L, x0 hữu hạn), ký hiệu lim f ( x )  L x  x0    0,   : x  D,  x  x0    f ( x)  L   51 V Giới hạn hàm số sơ cấp bản: 5.1 Giới hạn điểm thuộc TXĐ: Giới hạn hàm số sơ cấp điểm x0 thuộc TXĐ tính theo cơng thức lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Ví dụ 2.16: Tính giới hạn sau a ) lim( x  x  2) x 1 b) lim x 0 sin x  cos x c) lim x  52 Ví dụ 2.17: Cho 1  x x  1, f ( x)   x   2, Tìm lim f ( x ), lim f ( x), lim f ( x ) x 1 x 1 x 1 Ví dụ 2.18: Tìm m để hàm số sau có giới hạn x  2  x  mx  x  f ( x)    x  x  x  x2 53 54 9/4/2019 5.2 Một số kết giới hạn hàm sơ cấp V Một số kết giới hạn cần nhớ: bản: VI Một số định lý giới hạn hàm số: ĐL 6.1: lim k  k (k  ) x x0 ĐL 6.2: Giả sử lim f ( x)  A, lim g ( x)  B x x Xem Bảng x x 0 Khi đó: i ) lim  k f ( x)   k lim f ( x) (k  ) x  x0 x x0 ii ) lim  f ( x)  g ( x)   A  B x  x0 iii ) lim  f ( x).g ( x)   A.B x  x0  f ( x)  A iv) lim   ( B  0) x  x0 g ( x )    B g ( x) v) lim  f ( x)   A B (0  A  1) x  x0 55 ĐL 6.3: i ) lim f ( x )   lim f ( x)  x  x0 x x0 ii ) Nếu  g ( x)  f ( x)  h( x ), x  ( x0   , x0   ),  lim g ( x )  lim h( x )  L  x x0 x  x0 lim f ( x)  L 56 Chú ý 6.4: Trong tính tốn giới hạn hàm số, có ta gặp dạng sau gọi dạng vô định:  , , 0.,   , 00 ,  ,1  Khi đó, ta khơng thể dùng định lý 6.2, mà phải dùng phép biến đổi để khử dạng vô định x  x0 57 VII Vơ bé (VCB): Định nghĩa 7.1 Hàm số f(x) gọi vô bé x  x0 (x0 vô cùng) lim f ( x )  x  x0 Ví dụ 2.19: a ) sin x, tan x,  cos x VCB x  b) x  3sin x VCB x   c) cos x, cot x VCB x  x 1 d) VCB x   x 2 59 58 Định lý 7.2 lim f ( x)  L   ( x )  f ( x)  L VCB x  x0 x  x0 Tính chất 7.3 1) Tổng, hiệu, tích hai VCB VCB 2) Tích VCB hàm bị chặn VCB 3) Thương hai VCB chưa VCB 60 10 9/4/2019 Định nghĩa 7.4 (So sánh VCB): Cho f(x) g(x) hai VCB x  x0 Xét f ( x) lim  k x  x0 g ( x ) -Nếu k  ta nói f(x) VCB bậc cao g(x) Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa f ( x)  nhanh g(x) -Nếu k   ta nói f(x) VCB bậc thấp g(x) -Nếu k  0, k   ta nói f(x) g(x) hai VCB bậc Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x )  -Đặc biệt, k  ta nói f(x) g(x) hai VCB tương đương Ký hiệu: f ( x)  g ( x) Một số vô bé tương đương thường gặp (Xem Bảng 1) VIII Vô lớn (VCL): Định nghĩa 8.1 Hàm số f(x) gọi vô lớn x  x0 (x0 vô cùng) lim f ( x)   x  x0 Ví dụ 2.20: 1 a) , , cot x VCL x  x sin x b) x , x  VCL x   61 Định nghĩa 8.2 (So sánh VCL): Cho f(x) g(x) hai VCL x  x0 Xét f ( x) lim  k x  x0 g ( x ) -Nếu k  ta nói f(x) VCL bậc thấp g(x) Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa f ( x)   chậm g(x) -Nếu k   ta nói f(x) VCL bậc cao g(x) -Nếu k  0, k   ta nói f(x) g(x) hai VCL bậc Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x )  -Đặc biệt, k  ta nói f(x) g(x) hai VCL tương đương Ký hiệu: f ( x)  g ( x) 62 Tính chất 8.3: Quan hệ ~ VI VII quan hệ tương đương, có tính chất sau 1) f ( x )  f ( x ) 2) f ( x )  g ( x )  g ( x )  f ( x )  f ( x )  g ( x) 3)   f ( x)  h( x)  g ( x )  h ( x) 63 64 f ( x) : Phương pháp tính xlim  x0 Thế x0 vào f(x) §3 Phương pháp tính giới hạn hàm số số cụ thể  biện luận xem ? vô định  , , 0., , 00, 0,1  khử 65 66 11 9/4/2019 3.1 Khử dạng  : Chú ý 3.2:  Giả sử f ( x), f1 ( x), g ( x), g1 ( x) VCB (hoặc VCL) x  x0 Khi  f (x)  g(x) 1)   lim f (x)  lim g(x) lim g(x) ton taiï xx0 xx0 xx0 f ( x ) g ( x )  f  1( x).g1(x)  f (x)  f1(x)  2)    f (x) f1(x) g(x)  g1(x)  g(x)  g (x)   f ( x)  f1 ( x)  f ( x )  g ( x )  f1 ( x)  g1 ( x )    g ( x)  g1 ( x)  f ( x )  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x)  f ( x)  g ( x) k k 3)    f ( x)    g ( x )  g ( x )   4) Trong 3) : k   n f ( x)  n g ( x) n 67 68 Ví dụ 3.1: Cho f ( x)  x  g ( x)   x  Tính: a) lim x f ( x) g ( x) b) lim  f ( x )  g ( x ) x x2 x 0 arcsin 3x 7x arctan h) lim 2 x x 0 e 1 sin x x 0 x e) lim f ) lim  cos3 x x 0 x2 g ) lim Ví dụ 3.2: Tính giới hạn sau x2  2x x0 x3  x a) lim x2  2x  x  x  x  b) lim ( x  2)( x  x  1) d ) lim x  x( x  2) x  c) lim 2x  3x  5x  i ) lim x 0  ( x) cấp giới hạn tỉ số x  x0  ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp bé  ( x),  ( x) j ) lim x 0 ln(1  x)  e3 x  cos x x  ( x   ) ln(cos x) x 0 x2 l ) lim k ) lim 69 Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao): Nếu  ( x),  ( x) tổng VCB khác 1 2x 1 tan 3x 70 Hệ quả: Cho f(x) g(x) hai VCB x  cho f ( x)  ax m , g ( x)  bx n Khi đó: axm m  n  n f (x)  g(x)  bx neáu m  n (a  b)xm neáu m  n, a  b   Nếu m  n, a  b  ta khơng thể viết f ( x)  g ( x)  71 72 12 9/4/2019 Ví dụ 3.3: a) f ( x)  2x2 , g( x)  4x4  f ( x)  g(x)  2x2 b) f ( x)  2x4 , g( x)  4x4  f (x)  g(x)  2x4 cấp giới hạn tỉ số Ví dụ 3.4: Tính x  3sin x  4sin x x  x3  x8 a) lim x0 Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp): Nếu  ( x),  ( x)đều tổng VCL khác giới hạn tỉ số hai VCL cấp lớn tan x  sin x c ) lim x 0 x3 e3 x  e5 x b) lim x 0 x  ( x),  ( x) 73 74 Ví dụ 3.5: Tính Hệ quả: Cho f(x) g(x) hai VCL x   cho Khi đó: lim f ( x)  ax m , g ( x)  bx n x  m ax neáu m  n  n f (x)  g(x)  bx neáu m  n (a  b)xm neáu m  n, a  b   Nếu m  n, a  b  ta khơng thể viết f ( x)  g ( x)  0   x  x 1  b) limsin   tan x1 2   g ( x) 0  3.4 Dạng ,  ,1 : Giới hạn có dạng lim  f ( x) x  x0  ln a  lim ln  f ( x)  ln a  lim g ( x ) ln f ( x )  b x  x0  a  eb Ví dụ 3.8: Tính a) lim(1  x) 77   x2  x   x Ví dụ 3.9: Tính a ) lim n  (3 n  1)(2 n  2)( n  1) (2  n )(2 n  n  1) 3n   n  n  4n  3n  n 1  n   e ) lim  cos n  c ) lim  n  n n   2.5 n  n 6n     12 n   d ) lim ln   n   9  4n  b ) lim g (x) x  x0 x 0  Ví dụ 3.6: Tính giới hạn sau  x3 x2  a) lim    b) xlim  x x  3x    n  2x 1 a) lim ( x  1) x  x  x2 x 3.5 Định lý: Nếu lim f ( x )  L f ( n )  x n x   lim x n  L Ví dụ 3.7: Tính giới hạn sau x  x0 x2   x 76 3.3 Dạng  : biến đổi đưa dạng Đặt a  lim  f ( x)  x2   x  x 3.2 Khử dạng    : Phương pháp: Quy đồng nhân chia với lượng liên hợp để đưa dạng  75 g ( x)  ( x) x  x0  ( x) x  3 b) lim 1   x   x 78 13 Bài tập Giải tích Chương Một số kết giới hạn thường gặp , n chaün  lim x n   ; lim x n   x  x  , n leû  a 1 a 1  a 1  lim tan x  , lim  tan x     lim ln x  ; lim ln x   x  a 1 , lim a x   x  0,  0, lim a x   x  , x 0 x  x    lim cot x  , lim cot x    lim arctan x    lim arc cot x  0, lim arc cot x   ln x x  Nếu   1,   lim   lim x  x  x x   x  x  x 0 x  x   x  x0  lim 1  u ( x)  u ( x )  e u ( x)  0 x  x0    lim    x  x0  u( x)   u ( x) e  u ( x)    x  x0 Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp STT Hàm tương đương Với m  n, an  0, am  : ▪ Khi x  : an x n  an 1 x n 1   am x m  am x m ▪ Khi x   : an x n  an 1 x n 1   am x m  an x n   x  x0 sin u ( x)  u ( x ) u ( x)  0 x  x0 arcsin u ( x)  u ( x ) u ( x )  0 x  x0 tan u ( x)  u ( x ) u ( x )  0 x  x0 arc tan u ( x )  u ( x) u ( x)  0       ln 1  u ( x)  u ( x )  u ( x)   0 x  x0 log a 1  u ( x )   u ( x) x  x0 u ( x )  0 ln a     x  x0 eu ( x )   u ( x ) u ( x )  0 x  x0 au ( x )   u ( x ).ln a u ( x)  0 10 x x  0 1  u( x)    u ( x)  u( x)    11 cos u ( x )    u ( x)   u( x)  0 x  x0 14 Bài tập Giải tích Chương Bài 1: Ở tiểu bang, vận tốc tối đa cho phép đường cao tốc 65 dặm/h tối thiểu 40 dặm/h Tiền phạt vi phạm quy định 15 USD cho dặm/h vượt mức tối đa dặm/h thấp mức tối thiểu Biểu diễn số tiền phạt F dạng hàm số vận tốc x đồ thị F(x) với  x  100 Bài 2: Số lượng gấu y (con) khu vực theo thời gian t (tháng) biểu diễn đồ thị hình bên a) Tìm lim y(t ), lim y(t), lim y(t ) t  0.6 t  0.6 t  0.6 b) Tìm lim y(t), lim y(t ), lim y(t) t  0.8 t  0.8 t  0.8 Bài 3: Sử dụng đồ thị f cho để tìm số  cho  x    f (x )   0, Bài 4: Sử dụng đồ thị hàm số f ( x )  x cho để tìm số  cho x    x   0, Bài 5: Tính giới hạn sau 1) lim x0 4) lim x 0 x  4x  x x2  x  6) lim x 10  3x  x x3  t an5x s in3x x2  x  x  x  2) lim sin 5) lim x 0 7) lim x 0 3x x  cos x s in4x 2x  x  x  3) lim 6) lim arcsin x x 8) lim esin x  x x 0 x 0 15 Bài tập Giải tích Chương 1 x 1 10) lim x 0 1 x 1 9) lim x 0 ln(1  3x ) sin (3x ) 12) lim x 0 11) lim x 0 (1  x  x )3  x 0 sin x e x 1  15) lim x 1 ln x  cos x tan x 13) lim sin x  cos x  x Bài 6: Tính giới hạn sau 14) lim  x (x  1)(1  x )5 1) lim x  x7  x  2) lim (1   x )(1  cos x ) 3) lim x 0 ln(1  x )arcsin x (1  e x )(1  cos x ) 4) lim x 0 x  sin x 5) lim x 0 x 0 6) lim x 0 x  x   8x x  9) lim x 0  cos x x s in3x 7) lim  x4 x2 15) lim x 0    x  x2   x  x2  6) lim (1  x ) tan cos x  cos x sin x x   2x 2) lim    x  x  x 1  3) lim x  x  x2 x2 x2 x2  cos  cos  cos cos  x3  4   x2  2x  x  x  x   sin x  5) lim   tan x x   cos x   4) lim x x  x  x0  1) ln(1  x sin x ) s in(x ) tan x Bài 7: Tính giới hạn sau   1) lim   cot x  x 0 s in2x   8) lim x x2 11) lim x 0  x sin x  cos x x cos  x  sin 13) lim x 1 ( x  1)2 arctan(2  x )  sin( x  2) x2  x 1 2 x  3x 14) lim x x 0 (2  x )2 x  (arctan x )2 ( e s in2x  arcsin x  arctan x 3x  x 12) lim x  sin( x )ln(1  3x ) e x  cos x 8) lim x 0 x2  cos x  sin x  sin x  x  3x 10) lim x 0 tan x  sin x  x  5x 2) lim sin(sin x ) sin x 7) lim 2 x.sin x      x x   9) lim x   arctan  x  x1 4 16 Bài tập Giải tích Chương  2x   10) lim   x  x    3x  11) lim   x  cot x x 0 x 12) lim 1  sin( x  x ) x 0   tan x  sin x 13) lim   x0   sin x  x  sin x x   sin x Bài 8: Một bể chứa 5000 lít nước tinh khiết Người ta bơm nước muối có chứa 30 gam muối lít nước vào bể với tốc độ 25 lít/phút a) Tìm nồng độ muối bể sau t phút (tính gam/lít) b) Nồng độ muối bể t   ? Bài 9: Tính giới hạn sau 14) lim x   3n  n   1) lim   n  n  n    3) lim n  n2   n n3  n  n 2) lim n  2.7 n   n  n  3.5n 4) lim n  n2  n3  n n2  n  n ( 1)n n.sin n 5) lim n  n1 17 ... Bài tập Giải tích Chương 1? ?? x ? ?1 10 ) lim x 0 1? ?? x ? ?1 9) lim x 0 ln (1  3x ) sin (3x ) 12 ) lim x 0 11 ) lim x 0 (1  x  x )3  x 0 sin x e x ? ?1  15 ) lim x ? ?1 ln x  cos x tan x 13 ) lim... x2 , x3  1? ??    xn  ? ?1  ? ?1          n  Tính x3 Giải Giải x1  1,  1? ??  x3  ? ?1  ? ?1       x2    3, x3     6, 13 14 Ví dụ 1. 5: Dãy số {xn }, với  x1   ,n... }  ? ?1, 1, 2,3,5,8 ,13 , 21,  15 16 Định nghĩa 1. 6 Số a   gọi giới hạn dãy số {xn}   0, n0   : xn  a   , n  n0 n Ký hiệu lim xn  a hay xn   a n 17 18 9/4/2 019 Chú ý 1. 7: