Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2019)

Bài giảng Giải tích - Chương 3: Hàm khả vi cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm khả vi, định lý giá trị trung bình, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng hàm khả vi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

9/25/2019 Chương 3: Hàm khả vi §1 Khái niệm GV Phan Trung Hiếu §1 Khái niệm §2 Định lý giá trị trung bình §3 Đạo hàm cấp cao §4 Cơng thức Taylor LOG §5 Ứng dụng O I Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định khoảng mở chứa x0 Đạo hàm (cấp một) hàm số f(x) x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , tính f ( x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  x0 x  x0 giới hạn tồn hữu hạn Chú ý 1.2 Nếu f ( x0 ) tồn f(x) gọi khả vi x0 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm hàm số  ln(1  x2 ) x   f ( x)   x 0 x   x0  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f ( x0 )  lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Định lý 1.5: f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L Ví dụ 1.2: Xét tồn đạo hàm hàm số x  1, 1  x, f ( x)   (1  x)(2  x), x  x0  Định lý 1.6: f(x) có đạo hàm x0  f(x) liên tục x0 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số e x ( x  x) x  f ( x)   x  m có đạo hàm x0  9/25/2019 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định [a,b] -Hàm f(x) gọi có đạo hàm (a,b) f(x) có đạo hàm điểm x thuộc (a,b) -Hàm f(x) gọi có đạo hàm [a,b] f(x) có đạo hàm (a,b) có đạo hàm phải x = a có đạo hàm trái x = b II Các công thức quy tắc tính đạo hàm: 2.1 Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x ), ta có (k u )  k.u (u  v)  u  v (u.v)  u.v  u.v  u  u.v  u.v v  v2   2.3 Đạo hàm hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi y( x)  u  ( x) y  u ( x )  Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm hàm số sau III Vi phân cấp một: a) y  arctan x Vi phân (cấp một) hàm số f(x) b) y  (arcsin x ) df ( x)  f ( x) dx hay c) y  e x arctan e x  ln  e x d) y  ( x  1) x dy  ydx Ví dụ 1.5: Nếu F ( x)  f  g ( x)  , f (2)  8, f (2)  4, f (5)  3, g (5)  2, g (5)  Tìm F (5) Ví dụ 1.6 Cho y  e x Tính dy ( x) dy (1) Định lý 2.3 Nếu u, v hàm khả vi 1) d (u  v)  du  dv 2) d (k u)  k.du 3) d (u.v)  vdu  udv 10 Ví dụ 1.8 Tìm vi phân df a) y  ln  arctan(sin x)  x b) y  e x sin  u  vdu  udv 4) d    v2 v Ví dụ 1.7 Cho u v hàm khả vi theo biến x Tìm biểu thức vi phân hàm số sau a) y  u v2 b) y  ln u  v 11 12 9/25/2019 I Định lý Rolle: Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a) = f(b) tồn c ( a, b) cho f (c)  §2 Định lý giá trị trung bình Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn điều kiện định lý Rolle phải có điểm c thuộc (a,b) cho tiếp tuyến song song với trục hồnh 13 Ví dụ 2.1: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn điều kiện định lý Rolle đoạn cho trước khơng Sau tìm tất số c thỏa mãn kết luận định lý Rolle 14 II Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c ( a, b) cho f (b)  f (a)  f (c).(b  a) f ( x )  x  x  x  2,  0;3 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn điều kiện định lý giá trị trung bình phải có điểm c thuộc (a,b) cho tiếp tuyến song song với đường thẳng nối hai đầu mút 15 16 Ví dụ 2.2: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn điều kiện định lý giá trị trung bình đoạn cho trước khơng Sau tìm tất số c thỏa mãn kết luận định lý giá trị trung bình f ( x )  x ,  0;4  Ví dụ 2.3: Giả sử f(0) = -3 f ( x )  5, x   Tìm giá trị lớn mà f(2) nhận 17 §3 Đạo hàm cấp cao 18 9/25/2019 I Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa 1.1 Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp y đạo hàm cấp hai hàm số y=f(x) y  f ( x)   f ( x ) Tương tự, ta có đạo hàm cấp n f(x) Ví dụ 3.2 Cho hàm số y  x sin x Chứng minh xy  2( y  sin x)  xy  Ví dụ 3.3 Cho hàm số y  x  x Chứng minh a) y y   b) y y  y  Định lý 1.2 (Công thức Leibniz) Giả sử u v có đạo hàm đến cấp n Khi y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  Ví dụ 3.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n hàm số y  e , k  const n (u.v )( n)   Cnk u ( k ) v ( n k ) k 0 Ví dụ 3.4 Tính y (20) 19 20 II Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.1 Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n vi phân cấp n hàm số y=f(x)  hàm số y  x 2e x  d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n Ví dụ 3.5 Tính vi phân cấp hàm số y  e x hai trường hợp: a) x biến độc lập b) x hàm biến độc lập dx n  dx dx  dx   n 21 22 I Công thức khai triển Taylor: Định lý 1.1 Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 khoảng mở chứa x0 Khi đó, cơng thức Taylor (khai triển Taylor) cấp n f(x) x0 §4 Cơng thức Taylor f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 )2   ( x  x0 )n 1! 2! n! f (n 1) (c )  ( x  x0 ) n1 (n  1)! c số nằm x x0 Rn ( x)  f ( n 1) (c ) ( x  x0 ) n 1 : Phần dư Lagrange bậc n ( n  1)!   Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : 23 Phần dư Peano bậc n 24 9/25/2019 II Công thức khai triển Maclaurin: III Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp: Là khai triển Taylor hàm f(x) điểm x0  : ( n) f ( x)  f (0)  ( n 1) f (0) f (0) f (0) n f (c ) n1 x x   x  x 1! 2! n! (n  1)! hay f ( x)  f (0)  f (0) f (0) f ( n ) (0) n x x   x  o( x n ) 1! 2! n! Xem Bảng Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n: Cách 1: Tính f (0), f (0), , f (n ) (0) vào công thức Cách 2: Dựa vào khai triển có sẵn Bảng đổi biến Chú ý: đặt w  g ( x ) cho x   w  Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n x = x0 : Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ), , f (n ) ( x0 ) vào cơng thức Cách 2: Dựa vào khai triển có sẵn Bảng đổi biến Chú ý: đặt w  x  x0 25 Ví dụ 4.1 Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x)  x  2x  Từ đó, suy khai triển Maclaurin hàm số f(x) đến cấp n 26 Ví dụ 4.2 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau đến số hạng chứa x a) f ( x)  e2 x b ) f ( x)  cos2 x c) f ( x)  3 x d ) f ( x)  ln(1  x ) Ví dụ 4.3 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau a) f ( x)  e x ln 1  x  đến số hạng chứa x b) f ( x )  27 x đến cấp ex 1 28 Ví dụ 4.4 Tìm khai triển Taylor hàm số sau đến cấp a ) f ( x)  e x x0  x0  x x  x  c) f ( x)  x 1 b ) f ( x)  §5 Ứng dụng 29 30 9/25/2019 I Quy tắc L’Hospital khử dạng vô định: Định lý 5.1 Giả sử hàm f g khả vi lân cận x0 (hoặc trừ x0) Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  hay x x0 Chú ý 5.2  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital dùng để khử dạng vô định   x x0 lim f ( x)  lim g ( x)   f ( x) x x0 lim tồn x x0 g ( x )  Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần x x0 lim x x0 f ( x) f ( x)  lim x  x g ( x ) g ( x) 31 32 Ví dụ 5.1 Tính giới hạn sau x2  x  x x  x  x  a)lim c )lim x 0 x  sin x x3 ln x x  x x x2   x2  x d ) lim x x  e  x0 II Xấp xỉ tuyến tính vi phân: Phép xấp xỉ f ( x )  f (a )  f (a )( x  a ) (*) gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tiếp tuyến f a Hàm tuyến tính L ( x)  f (a )  f (a )( x  a ) gọi tuyến tính hóa f a f ) lim  sin x.ln x  e) lim g )lim b)lim   x2 x0  1    t an2x  sin x x  h) lim (1  sin4x )cot x x 33 Đặt x  x  a Từ (*), ta có f (a  x)  f (a )  f ( a) x f (a  x )  f (a)  f (a)x y  f  ( a ) x y lượng tăng giảm y x tăng giảm lượng x Ví dụ 5.2: Tính gần giá trị a ) 3,98 34 Ví dụ 5.3: Một sợi kim loại mỏng có chiều dài L = 12cm nhiệt độ t = 21o C Hãy ước lượng thay đổi chiều dài t tăng lên 24o C Giả sử L hàm số phụ thuộc vào t thỏa L(t )  k L , k  1,7  10 5 o C 1 hệ số giãn nở nhiệt b) sin 290 35 36 9/25/2019 III Phương pháp Newton: Xét phương trình f ( x)  Nếu nghiệm xấp xỉ thứ n xn f ( xn )  nghiệm xấp xỉ cho cơng thức xn1  xn  Ví dụ 5.4: Tìm nghiệm xấp xỉ phương trình cos x  x lấy xác đến chữ số thập phân, biết đồ thị hai hàm số y  cos x y  x cho hình vẽ sau f ( xn ) f ( xn ) Nếu số xn ngày tiến gần đến r n lớn dần ta nói dãy số hội tụ r ta viết lim xn  r n  37 38 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP Đạo hàm hàm hợp, với u=u(x) STT Đạo hàm (C )  (C  const ) ( x )   x 1 (u )   u 1.u   1     x x ( x )  x ( a x )  a x ln a, ( a : > 0)   u    u  u u ( u )  u ( a u )  a u (ln a ).u (e x )  e x (eu )  eu u (log a x )  10 11 12 13 14 15 16 , (0  a  1) x.ln a (log a u )  (  const ) u u.ln a (ln x)  x (sin x)  cos x u (ln u )  u (sin u )  (cos u ).u (cos x)   sin x (tan x)    tan x cos x 1 (cot x)   (1  cot x) sin x (arcsin x )   x2 1 (arc cos x )   x2 (arc tan x)   x2 1 (arc cot x )   x2 (cos u )  (sin u ).u u (tan u )   (1  tan u ).u cos u u (cot u )   (1  cot u).u  sin u u (arcsin u )  1 u2 u  (arc cos u )   u2 u (arc tan u )   u2 u (arc cot u )   u2 BẢNG KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Công thức n x x x xn x n e    o( x )   x      o( x n ) 2! 3! n! k 0 k ! n   (1)k x k  o( x n )   x  x  x   (1) n x n  o( x n )  x k 0 n   x k  o( x n )   x  x  x3   x n  o( x n )  x k 0 n x k 1 x3 x x x n 1 k n n sin x   (1)  o( x )  x      (1)  o( x n  ) (2k  1)! 3! 5! 7! (2n  1)! k 0 2k 2n n x x x x x cos x   (1)k  o( x n 1 )       (1)n  o( x n1 ) (2k )! 2! 4! 6! (2n)! k 0 k n n x x x k 1 x n n 1 x ln(1  x)   (1)  o( x )  x      (1)  o( x n ) k n k 1 k n n x x x x x ln(1  x)     o( x n )   x       o( x n ) n k 1 k k Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Các hàm số sau có đạo hàm x  x0 khơng?  sin  x , x 1  a) f ( x)   x  , x0  0, x 1  b) f ( x )  x  , x0  2 x  7, x  3, c) f ( x)   , x0  16  x, x   x sin , x  0, d) f ( x )   , x0  x 0, x0  e4 mx  cos x , x  0,  Bài 2: Cho hàm số f ( x)   x m2  3, x   a) Tìm m để hàm số f(x) liên tục  b) Với giá trị m vừa tìm trên, hàm số f(x) có tồn f (0) hay không? a ln( x  1)  cos  x, x  Bài 3: Tìm a b để hàm số f ( x)   có đạo hàm x0  x 1 b cos  x, Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau arcsin x x sin x  sin x 4) y   ln cos x cos x 1) y  7) y  xln x  (ln x) x với x  3) y  arcsin 5) y  (sin x) x , với sin x  6) y  x  x x , với x  8) y  x (2 x  1)2 x 1 Bài 5: Tìm vi phân dy hàm số sau 1) y  arctan e x 2) y  x sin x 4) y  ln(sin x )  sin x 3) y  3x ln x x2 5) y  6) y  cos arcsin x Bài 6: Tính vi phân cấp hàm số sau  x  1) f ( x )  x.e  x x biến độc lập   2) f ( x )  sin x a) x biến độc lập b) x hàm biến độc lập Bài 7: 1) Cho y  x  ln x Tính dy( x ) dy( e ) 2) Tính x2  x4 2) y  ln(arcsin x) d  sin x    d( x )  x  10 x Bài tập Giải tích 3) Nếu f ( x )  e g( x ), g(4)  g(4)  Tìm f (4) x g( x ) Tính h(2), biết f (2)  3, g(2)  4,  f (x) 4) Cho ba hàm số y  f ( x ) , y  g( x ) h(x )  f (2)  2 g(2)  Bài 8: Cho u, v, w hàm khả vi theo biến x Tìm biểu thức vi phân hàm số sau u 1) y  u.v.w 2) y  arctan 3) y  v u  v2 dy ln x Bài 9: Cho x y  e x  y , x  0, x  Chứng minh  e dx (1  ln x)2 Bài 10: 1) Chứng minh y  x sin x thỏa mãn đẳng thức y   y  cos x 2) Chứng minh y  arcsin x 1 x thỏa mãn đẳng thức (1  x ) y  xy  3) Chứng minh y  sin(ln x )  cos(ln x) thỏa mãn đẳng thức x2 y  xy  y  4) Chứng minh y  x  x  thỏa mãn đẳng thức  x y  y 4(1  x ) y  xy  y  Bài 11: Cho F ( x )  f  f  f ( x )   , f (0)  f (0)  Tìm F (0) Bài 12: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn điều kiện định lý giá trị trung bình đoạn cho trước khơng Sau đó, tìm tất số c thỏa mãn kết luận định lý giá trị trung bình a) x3  3x  ,  2; 2 b) x ln x , 1;2 c) e x ,  0;2 d) , 1;3 x e x , 0 x2 Bài 13: Cho hàm số f ( x )    x  m,   x  a) Tìm m đề hàm số f(x) khả vi (-1;2) Tìm f ( x) b) Tìm số c định lý giá trị trung bình [-1;2] Bài 14: Nếu f (1)  10 f ( x)  2, x  [1; 4] f (4) nhỏ bao nhiêu? Bài 15: a) Cho y  e x sin x Tính y (2017) (0) b) Cho y  x 1 Tính y (2018) (1) x Bài 16: Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau 1) f ( x)  ecos x đến số hạng chứa x4 3) f ( x )  x đến số hạng chứa x4  x3 2) f ( x)  ln(3  x) đến số hạng chứa x3 4) f ( x)  ln(1  sin x) đến cấp 5) f ( x)  e2 x  x đến cấp 6) f ( x)  sin(sin x) đến cấp 7) f ( x )  sin x  ln(1  x) đến cấp 8) f ( x )  tan x đến số hạng chứa x5 11 Bài tập Giải tích sin x đến số hạng chứa x6 x 9) f ( x )  ln 10) f ( x )  cos x Bài 17: a) Tìm đạo hàm cấp n hàm số f ( x)  ( x 1)e x Từ đó, suy khai triển Maclaurin hàm số f(x) đến cấp n b) Tìm đạo hàm cấp n hàm số f ( x)   ln(1  x) Từ đó, suy khai triển Maclaurin (2 x  3)3 hàm số f(x) đến cấp n Bài 18: Tính giới hạn sau x2  1) lim x x  3x  x 1 1 2) lim x 0  x  e x  e x  x x 0 x  sin x x3  x  x  x  ln x  4) lim 5) lim x tan x 7) lim x   cos x cos x  cos x 8) lim x 0 sin x  10) lim x 1  cos x  cos x arcsin(3 x)   arctan(4 x)  sin x  x cos x 9) lim x x sin x x2 x  (ln x )3 ln(1  e x ) x  1 x 11) lim e3 x  x  tan x 6) lim sin x.arcsin(2 x ).arctan(5 x) x0 x   ln x 3) lim x 1 ex  e x3 x  e x 12) lim 13) lim   2) lim    x 0 x sin x    1 3) lim   x  x0 x e 1   x 14) lim x  xe x  ex Bài 19: Tính giới hạn sau 1  1) lim  cot x   x0 x    1 1    4) lim  e x ln x  5) xlim x0 0 ln x     ln x  x       x  7) lim  ln x tan  x 1   10) lim x x 1 x 1 8) lim ( x  1) x x  9) lim (sin x ) tan x x 0 x x 11) lim( x  e )  1x  6) lim x  e  1 x    x0 x  12) lim  tan  x 1   Bài 20: Tính gần giá trị a) f (1, 2)  f (1) f (1)  d) ln   32, 005  4, 002 b) (1,999)4 c) e) arctan(1, 004)  1, 004 f) cos 310 12 tan x Bài tập Giải tích Bài 21: a) Doanh thu phịng vè rạp chiếu phim Paris R( p)  3600 p  p3 (euros) suất chiếu giá vé p (euros) Tính R ( p) p  sử dụng xấp xỉ tuyến tính để ước tính R p tăng giảm 0,5 euros b) Bán kính bóng hình cầu đo r  25 cm Ước tính sai số tối đa thể tích diện tích bề mặt biết sai số r 0,5 cm Bài 22: Sử dụng phương pháp Newton với xấp xỉ ban đầu x1 để tìm x3 nghiệm xấp xỉ phương trình sau (đáp án lấy chữ số thập phân) a) x  x   , x1  b)  x sin x  , x1  Bài 23: Tìm nghiệm xấp xỉ dương nhỏ phương trình s in3x  cos x lấy xác đến chữ số thập phân, biết đồ thị hàm số f ( x)  s in3x  cos x cho hình vẽ sau 13 ... 0;2 d) , 1 ;3? ?? x e x , 0 x2 Bài 13: Cho hàm số f ( x )    x  m,   x  a) Tìm m đề hàm số f(x) khả vi (-1 ;2) Tìm f ( x) b) Tìm số c định lý giá trị trung bình [-1 ;2] Bài 14: Nếu f... k 1 k k Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Các hàm số sau có đạo hàm x  x0 khơng?  sin  x , x 1  a) f ( x)   x  , x0  0, x 1  b) f ( x )  x  , x0  2 x  7, x  3, c) f...  x 1   Bài 20: Tính gần giá trị a) f (1, 2)  f (1) f (1)  d) ln   32 , 005  4, 002 b) (1,999)4 c) e) arctan(1, 004)  1, 004 f) cos 31 0 12 tan x Bài tập Giải tích Bài 21: a)