Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích - Chương 4: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Nguyên hàm, tích phân xác định, các phương pháp tính tích phân. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán và nhứng ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập vầ nghiên cứu.
13/10/2018 Chương 4: Tích phân GV Phan Trung Hiếu §1 Ngun hàm §1 Ngun hàm §2 Tích phân xác định §3 Các phương pháp tính tích phân LOG O I Nguyên hàm: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định khoảng D Hàm số F gọi nguyên hàm f D F ( x ) f ( x ), x D Ví dụ 1.1: Định lý 1.2 Với C số tùy ý, F(x) nguyên hàm f(x) D F(x) + C nguyên hàm f(x) D Ngược lại, nguyên hàm f(x) D có dạng F(x) + C x2 nguyên hàm 2x, ( x ) x x2 + nguyên hàm 2x, ( x 3) x x2 + C (C số) nguyên hàm 2x, ( x C ) x II Tích phân bất định: Định nghĩa 2.1 Tích phân bất định hàm số f D biểu thức diễn tả tổng quát tất nguyên hàm f D Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) f ký hiệu Như vậy, nguyên hàm tích phân bất định hai thuật ngữ nội dung, ta có f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x) Ví dụ 1.2 2x dx x C ( x ) x f ( x )dx , : dấu tích phân x : biến lấy tích phân f ( x ) : hàm lấy tích phân f ( x )dx : biểu thức dấu tích phân 13/10/2018 III Tính chất: IV Bảng cơng thức tích phân bản: k f ( x )dx k f ( x )dx với k số khác f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx Xem Bảng f ( x )dx f ( x ) C f ( x)dx f ( x ) I Công thức Newton-Leibniz: §2 Tích phân xác định Định lý 1.1 (Cơng thức Newton-Leibniz) Nếu hàm số f(x) liên tục [a,b] F(x) nguyên hàm f(x) [a,b] tích phân xác định f từ a đến b b f ( x)dx F ( x) b a F (b ) F ( a ) a 10 II Tính chất: a f ( x )dx a a b f ( x )dx f ( x )dx b b a b a b a b b §3 Các phương pháp tính tích phân f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx a b với k số k f ( x )dx k. f ( x )dx a a c a b f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a c b f ( x ) [a,b] f ( x)dx a 11 12 13/10/2018 I Phương pháp đổi biến số loại 1: Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp cho t biểu thức lại hàm số Nếu chưa đặt ta tìm cách biến đổi hàm số Tích phân dạng: I f u ( x) u ( x) dx Bước (đổi biến): Đặt t u ( x ) dt u( x ) dx Bước (thay vào tích phân): I f (t ) dt F (t ) C F u ( x ) C 13 Tích phân dạng: 14 b I f u ( x) u ( x )dx Dấu hiệu đổi biến thường gặp: a Bước (đổi biến): Đặt t u ( x) dt u( x)dx a b Bước (đổi cận): x t u(a) u(b) Bước (thay vào tích phân): Có Đặt (u(x))n t u(x) ln x u (b) I x f (t ) dt u(a) t = căn t e x , const e x x x2 t ln x t x (cận mới, biến mới) 15 Dạng Đặt có tan x cos x có cot x sin x có arcsinx có arccosx 16 t = tanx t = cotx t = arcsinx 1 x t = arccosx 1 x 17 Dạng Đặt 1 x có arccotx 1 x t = arctanx có arctanx t = arccotx f (sin x)cosx dx t sin x f (cos x)sinx dx t cos x 18 13/10/2018 t cos x f đổi dấu f đổi dấu sin x sin x Thay cos x cos x t sin x f không đổi dấu t tan Tổng quát x x 1 x e) g) e dx ex 1 x 1/2 i) f) 1 sin dx x arccos x 1 x l ) e2sin x cos xdx m) (1 cos3x)sin3xdx n) sin x cos xdx p) sin(2 x 1) dx cos2 (2 x 1) sin x dx cos x r) dx 3cos x 4sin x 4x 4x sin x u) x cos dx x 21 Phương pháp (đổi biến): Đặt x u (t ) dx u ( t )dt Dấu hiệu đặt thông thường: Đặt a u ( x) u ( x) a sin t , t ; 2 u ( x) a u ( x) 2 u ( x) a t) sin x cos x dx sin x cos x v ) 4x e x x dx 22 II Phương pháp đổi biến số loại Có j ) tan x tan x dx dx s) o) cos2 x tan xdx q) x) 20 dx x 3 dx x 11 h) e tan x dx x 19 k) dx x (2 ln cos 4 x dx x d) x t tan x b) x 1 x dx dx c) Thay cos x cos x a ) (x x )5 (3x 1)dx Thay sin x sin x f (sin x, cos x)dx Ví dụ 3.1 Tính Đặt Dạng Ví dụ 3.2 Tính a) x xdx 2 c) b) dx x x2 , x 1 x3 dx (4 x 9)3/2 a ,t ; \{0} sin t 2 u ( x ) a tan t , t ; 2 23 24 13/10/2018 III Tích phân hàm hữu tỉ: P( x ) Q( x) dx, P(x), Q(x) đa thức Phương pháp: Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = biểu thức mẫu Nếu khơng ta làm sau n Mẫu có ( ax b) : Đặt t ax b Mẫu tam thức bậc hai ax bx c : ax Vô nghiệm tích phân có dạng dx , ta bx c 2 biến đổi ax bx c a u ( x ) Có nghiệm kép x0 , ta phân tích ax bx c a ( x x0 ) P( x ) P( x ) ax bx c a ( x x0 )2 25 26 Mẫu đa thức bậc lớn 2: Ta phân tích mẫu thành tích dạng lũy thừa nhị thức hay lũy thừa tam thức vơ nghiệm tìm hệ số sau P( x) A B C ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) x x1 x x2 x x3 Có nghiệm phân biệt x1 x2 , ta phân tích ax bx c a ( x x1 )( x x2 ) Tìm hệ số A, B cho P ( x) A B C ( x x1 )( x x2 )2 x x1 x x2 ( x x2 ) P( x ) A B a ( x x1 )( x x2 ) x x1 x x2 P( x) A Bx C ( x x0 )( ax + bx + c ) x x0 ax bx c ax bx c vô nghiệm 27 P( x) A B Cx D 2 ( x x0 ) ( ax + bx + c ) x x0 ( x x0 ) ax bx c 28 Ví dụ 3.3 Tính P ( x) A Bx C Dx E ( x x0 )(ax2 + bx + c)2 x x0 ax2 bx c (ax2 bx c)2 ax bx c vô nghiệm Đặc điểm: -Mẫu lũy thừa nhị thức (x - x0): Tử -Mẫu lũy thừa tam thức ax bx c vô nghiệm: Tử nhị thức 4x dx 2x 1 b) d) xdx (2 x 1)3 f ) 2x3 x2 x dx x2 x ( x 2)2 dx x( x 1)2 h) x x 11 dx x x 3x x2 x dx ( x 1) ( x 1) j) 2x3 5x2 8x dx ( x x 2) dx sin x c) ( x 1) dx x x x 12 1 e) g) i) 29 sin x dx cos x a) 30 13/10/2018 k) dx x( x2 1) m) e2 x dx 2x e 3e x l) 1 x dx x IV Phương pháp tích phân phần: Dấu hiệu: có xuất lơ (ln, log); đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); mũ (eax+b) liên hệ với phép nhân Phương pháp: u f ( x ) du f ( x)dx dv g ( x)dx v Nguyên hàm g(x) B1: Đặt 31 B2: Dùng công thức tích phân phần 32 Ví dụ 3.4 Tính udv uv vdu b udv uv a b) x 2e x dx a ) x cos xdx e b b a vdu a d) e ) arctan 4xdx f ) x arccos xdx g ) e x sin xdx 33 ln x dx x2 c) ln( x x )dx i) x ln xdx h) sin x ln(2 cos x) dx 34 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tính tích phân sau x 1) x dx cos x 2) ( x 1) xdx x 4) (1 e ) dx e3 x 3) 3x 5) x x 3e x x dx x3 e 1 dx x 1 e 6) 2cos x dx 7) tan 2 10) 13) xdx cos x dx 9) 11) sin x cos 3x cos xdx 12) x.32 x.53 x dx 3dx 8) (tan x cot x )2 dx 9x Bài 2: Tính tích phân sau 1) ( x x 1)10 (2 x 3)dx 4) dx x(1 x 7) x 10) ) dx e 16) 2) x x 4 xdx dx 8) ex (1 e x )2 dx dx x ln x 1 cos 1 dx x x ln 11) e x dx 2x 6) 17) e 9 26) x 1dx 15) x 1 dx x5 18) sin x dx cos4 x 1 e x dx x ln x cot xdx cos x x dx 21) x /3 sin /2 x (arccos x) 9x dx e dx 24) 25) cos3 x sin xdx x2 dx x 1 12) tan x 20) dx cos4 x 23) 3x 9) e x e x dx ln x dx 14) x ln x 1/ arcsin x 1/ x(1 x) dx x2 1 3) 1 x 1 5) tan x 19) dx tan x 22) 2X X dx e4 13) dx 2x 14) cos xdx 27) cot arcsin x dx 1 x sin x cos x dx 28) sin 31) 12 sin x 1 sin x 1 cos x 1 dx 34) sin x (1 sin x)2 dx 35) 1 x 2dx dx x 4x x 37) x4 3x2 x5 x3 x dx 38) x dx 1 x sin x 32) 1 sin cos dx x x x 30) dx sin x 36) cos x dx x tan x sin x dx cos x 33) Bài tập Giải tích x x 29) sin cos dx 3 x Bài 3: Tính tích phân sau 1) x dx 2) x 1 Bài 4: Tính tích phân sau x 1 x dx x dx 9 x 3) x 25dx , x x3 x4 x dx x dx 5) 1 x x 4) xdx 1 x x x 12 x 11 dx 2x x2 6) dx x 5x 2) 3) x3 x 7) dx x 2x2 x4 8) dx x x2 x 3x 9) dx x3 x x2 x 10) dx x 1 x 1 x 3 11) 1) 4) x x 10 0 x x 13) x2 x 1 ( x2 x 1) dx 14) 16) x 2x 1 ( x2 1)2 dx 17) 6x x4 dx x x 10 x 12) 3x2 x dx x3 x 15) x3 x2 x dx ( x 1)( x 1) 18) x2 dx x4 1 x3 x dx x4 1 x 81 x x2 9 dx x 2 dx 19) x 0 x x 13 dx 20) dx x2 x4 21) 22) sin x cos2 x 3cos x dx 23) ex (e x 2)(e2 x 1) dx 24) ex (e x 2)(e2 x 1) dx 25) 1 e 26) sin x(1 cos x) 27) cos x 3sin x 28) x 1 dx x 29) 2 30) x dx x dx dx x3 x dx dx x x 31) 1 x dx Bài tập Giải tích dx 32) x3 x Bài 5: Tính tích phân sau x x sin dx 2) 4) x 5) e x cos xdx 7) x ln x dx 1) x 1 e x dx xe arctan x 10) dx (1 x )3/ 8) x cos xdx earctan x arctan x 1 x2 dx 11) 6) sin ln x dx 9) 14) 2 x ln(1 x )dx xe dx x2 dx 12) ln(2 x x 1) 0 ( x 1)3 dx /2 esin x sin xdx 15) (2 x 1) cos 2 17) x ln( x x ) x /2 x arctan xdx 1 0 16) x ln xdx ln 13) 3) sin xdx 18) e x cos xdx xdx BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 0dx C dx x C x 1 x dx C dx x ln x C ( x 0) dx 1 x2 x C dx 1 xn (n 1)xn1 C dx x x C (x > 0) n n n m n m x dx n m x C n n n m dx x C n xm nm dx ax b (ax b)(cx d) ad bc ln cx d C x x (11) e dx e (12) x a dx (13) cos xdx sin x C (14) sin xdx cos x C (15) cot xdx ln sin x C (16) tan xdx ln cos x C (18) ( Ax B ) 1 ( 1) ( Ax B) dx A C dx ( Ax B 0) Ax B A ln Ax B C dx 1 ( Ax B)2 A Ax B C dx 1 ( Ax B)n A (n 1)( Ax B)n1 C dx Ax B A Ax B C (Ax + B > 0) n n m n m n ( Ax B) dx A n m ( Ax B) C 1 n n dx ( Ax B)nm C n ( Ax B)m A nm (10) (17) Với A : C ax C ln a dx cos2 x tan x C dx sin x cot x C ( Ax B ) e C A a ( Ax B ) ( Ax B ) a dx C (0 a 1) A ln a cos( Ax B ) dx sin( Ax B) C A 1 sin( Ax B ) dx cos( Ax B) C A cot( Ax B ) dx ln sin( Ax B ) C A 1 tan( Ax B ) dx ln cos( Ax B ) C A dx cos2 ( Ax B) A tan( Ax B) C dx 1 sin ( Ax B) A cot( Ax B) C e ( Ax B ) 11 dx (19) (20) (21) dx x arctan C ( k 0) k x2 k k dx x k x arcsin k C (k 0) dx ln x x k C x k (k 0) (22) (23) (24) dx 1 Ax B arctan C ( Ax B)2 k A k k dx Ax B k ( Ax B)2 A arcsin k C dx ( Ax B ) k ln ( Ax B ) ( Ax B ) k C A x k2 x k x dx k x arcsin C (k 0) 2 k x k x k dx x k ln x x k C 2 x k k x dx k x ln x k x C 2 2 12 ... ln xdx h) sin x ln(2 cos x) dx 34 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tính tích phân sau x 1) x dx cos x 2) ( x 1) xdx x 4) (1 e ) dx e3 x 3) 3x 5) x... cos x 33) Bài tập Giải tích x x 29) sin cos dx 3 x Bài 3: Tính tích phân sau 1) x dx 2) x 1 Bài 4: Tính tích phân sau x 1 x dx x dx 9 x 3) x 25dx , x x3 x4 x dx x... (ax2 bx c)2 ax bx c vô nghiệm Đặc điểm: -Mẫu lũy thừa nhị thức (x - x0): Tử -Mẫu lũy thừa tam thức ax bx c vô nghiệm: Tử nhị thức 4x dx 2x 1 b) d) xdx (2 x 1)3 f ) 2x3