Bài giảng Giải tích - Chương 5: Ứng dụng của tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Mức biến thiên, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính độ dài của cung, tính diện tích mặt tròn xoay. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
10/31/2018 Chương 5: Ứng dụng tích phân GV Phan Trung Hiếu §1 Mức biến thiên §1 Mức biến thiên §2 Tính diện tích hình phẳng §3 Tính thể tích vật thể §4 Tính độLOG dài cung O tích mặt trịn xoay §5 Tính diện I Mức biến thiên: Chúng ta biết F’ (x) tốc độ biến thiên y = F(x) theo x Khi đó, mức biến thiên y x biến thiên từ a đến b b F( b) F ( a) F ( x )dx Ví dụ 5.1: Tốc độ thay đổi dân số thành phố A mơ hình P '(t ) 11,7.e 0,026 t (nghìn người/năm) t thời gian (năm) kể từ năm 1960 P dân số (nghìn người) Biết rằng, năm 1980, thành phố A có 790.000 người a) Tìm P(t) b) Tìm dân số thành phố A vào năm 2012 a I Hình thang cong tọa độ Descartes: Bài tốn: Tính diện tích hình thang cong abBA giới hạn trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b §2 Tính diện tích hình phẳng Định lý 2.1: Tích phân hàm khơng âm f liên tục [a,b] coi diện tích S hình thang cong abBA giới hạn trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa b S f ( x )dx , f ( x ) 0, x [a, b] a 10/31/2018 Ví dụ 2.3: Đồ thị hàm số f cho hình vẽ Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x , trục hoành, hai đường thẳng x = x = Hệ 2.2: Nếu f liên tục [a,b] b S f ( x ) dx a Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = sinx, trục Ox, x = x = 2 Tính tích phân sau a) f ( x )dx b) f ( x )dx d ) f ( x )dx Hệ 2.3: Nếu hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a x = b Hệ 2.4: Nếu hình phẳng giới hạn hai đường cong x = f(y), x = g(y) hai đường thẳng y = c y = d b d S f ( x ) g( x ) dx S f ( y ) g( y ) dy a c Ví dụ 2.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x y x [-1;1] Ví dụ 2.5: Tính diện tích miền tơ màu Ví dụ 2.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y x 1 Ví dụ 2.7: Tính diện tích miền tơ màu II Hình thang cong cho hàm phụ thuộc tham số: Hệ 2.5: Hình thang cong cho có diện tích c) f ( x )dx x x(t ) , t [ , ] y y (t ) S y( t) x (t ) dt 10 III Hệ tọa độ cực: O: cực Ox: trục cực r: bán kính cực : góc cực (r , ) : tọa độ cực Ví dụ 2.8: Tìm diện tích cung đường cycloid x t sin t , t [0,2 ] y cos t Ta quy ước góc Ox quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ 11 12 10/31/2018 Chú ý rằng, có nhiều cặp giá trị (r , ) xác định vị trí điểm P Ví dụ, cặp số 3, n2 , n xác định vị trí điểm P hệ tọa độ cực Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vng góc cho gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cực có cơng thức liên hệ sau x r cos , y r sin Do đó, quy ước r , 2 điểm P mặt phẳng ứng với cặp số (r , ) Đặc biệt, r = P trùng O 13 14 IV Đường cong hệ tọa độ cực: Xét hàm số r r ( ) Khi góc cực biến thiên từ đến điểm P với tọa độ cực r ( ), vạch nên đường cong C mặt phẳng Ta nói đường cong C hệ tọa độ cực có phương trình r r( ) Ví dụ 2.9: Phương trình tọa độ cực đường trịn tâm I(a;0), bán kính r = a (a > 0) r a cos Giả sử cho a = 1, ta phương trình đường trịn tâm I(1,0), bán kính r = r cos ta vẽ đường trịn hệ tọa độ cực sau 15 Ví dụ 2.10: Một số hình vẽ đường cong hệ tọa độ cực 16 V Hình thang cong tọa độ cực: Hệ 2.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ), cho hình quạt cong giới hạn r r ( ), [ , ] Khi đó, diện tích quạt cong S r ( )d Ví dụ 2.11: Tìm diện tích hình quạt cong r cos2 , 4 17 18 10/31/2018 Hệ 2.7: Trong hệ tọa độ cực (r , ), cho hình quạt cong giới hạn Ví dụ 2.12: Tìm diện tích hình tơ màu r1 r1 ( ), r2 r2 ( ), r1 ( ) r2 ( ), [ , ] Khi đó, diện tích quạt cong S r ( ) r12 ( ) d 19 20 I Vật thể V bất kỳ: Cho vật thể V xác định mặt kín với thiết diện phụ thuộc biến x [a, b] S(x) Thể tích vật thể V §3 Tính thể tích vật thể b V S( x )dx a 21 Ví dụ 3.1: Tính thể tích hình khối có đáy hình trịn bán kính 1, mặt cắt song song vng góc với đáy tam giác hình vẽ 22 II Vật thể trịn xoay: Loại 1: Có thể quay hình thang cong y f ( x ) 0, x [a, b] quanh trục Ox nhận vật thể tròn xoay Vật trịn xoay có diện tích thiết diện S( x ) f ( x ) Vì vậy, thể tích b V f ( x )dx a 23 24 10/31/2018 Ví dụ 3.2: Cho miền D giới hạn y x , x 2, trục Ox Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh trục Ox 25 Loại 2: Có thể quay hình giới hạn y f ( x ), y g( x ), f ( x ) g( x ) 0, x [a, b] quanh trục Ox nhận vật thể trịn xoay Vật trịn xoay tích Ví dụ 3.3: Cho miền D giới hạn y x , y 1, x hình vẽ Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh đường thẳng y = 26 Ví dụ 3.4: Cho miền D giới hạn y x 4, y 2, x 1, x Tính thể tích vật tròn xoay quay miền D quanh trục Ox b V f ( x ) g ( x ) dx a 27 Ví dụ 3.5: Cho miền D giới hạn f ( x ) x 2, g( x ) x hình vẽ Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh đường thẳng y = -3 29 28 Ví dụ 3.6: Cho miền D giới hạn x , y y quay quanh Oy Tính thể tích vật trịn xoay sinh 30 10/31/2018 Ví dụ 3.7: Cho miền D giới hạn f (x) x2 , x hình vẽ Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh đường thẳng x = -2 Loại 3: Cho miền D giới hạn cung y f ( x ), x [a, b] Ox nằm phần tư thứ hệ trục tọa độ quay quanh Oy b V 2 xf ( x )dx a 31 Ví dụ 3.8: Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D (được tơ màu hình vẽ) quay trục Oy 32 Loại 4: Cho miền D giới hạn y f ( x ), y g( x ), f ( x ) g( x ) 0, x [a, b] nằm phần tư thứ hệ trục tọa độ quay quanh Oy b V 2 x f ( x ) g( x ) dx a 33 34 Ví dụ 3.9: Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D (được tơ màu hình vẽ) quay trục Oy §4 Tính độ dài cung 35 36 10/31/2018 I Cung cho đường cong y = f(x): Đường cong y f ( x ), x [a, b], xác định cung AB với độ dài b l f ( x ) dx a Ví dụ 4.1: Tính độ dài cung parabol y x, với x 37 II Cung cho hàm phụ thuộc tham số: Đường cong cho x x (t ) , t [ , ] y y (t ) Khi AB có độ dài 2 l x(t ) y(t ) dt Ví dụ 4.2: Tính độ dài cung x t , y t , t y4 Ví dụ 4.3: Tính độ dài cung x , y 38 y2 I Quay quanh Ox: Cung AB xác định hàm y f ( x ), x [a, b], quay quanh trục Ox tạo nên mặt trịn xoay có diện tích b S AB 2 f ( x ) f ( x ) dx §5 Tính diện tích mặt trịn xoay a Trường hợp cung AB cho phương trình tham số x x (t ) , t [ , ] y y (t ) mặt trịn xoay có diện tích 2 SAB 2 y(t ) x(t ) y(t ) dt 39 Ví dụ 5.1: Tìm diện tích bề mặt tạo thành quay đường cong sau quanh trục Ox a) y x , x b ) y 12 x , x 40 II Quay quanh Oy: Cung AB xác định hàm x g( y ), y [c, d ], quay quanh trục Oy tạo nên mặt tròn xoay có diện tích d x cos t c) , t 0;2 y sin t S AB 2 g( y ) g( y ) dy c Trường hợp cung AB cho phương trình tham số x x (t ) , t [ , ] y y (t ) mặt trịn xoay có diện tích 2 SAB 2 x(t ) x(t ) y(t ) dt 41 42 10/31/2018 Ví dụ 5.2: Tìm diện tích bề mặt tạo thành quay đường cong sau quanh trục Oy a) x y, y b) y x , x x e t t c) , t 0;1 t/ y 4e 43 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Hiệu E người vận hành máy (tính %) có tốc độ thay đổi theo thời gian t cho dE biểu thức 30 10t , t số mà người vận hành làm việc dt a) Tìm E(t) biết hiệu người vận hành 72% sau hai làm việc b) Tìm hiệu vận hành sau giờ, sau dC 0, 2Q , Bài 2: Tốc độ tăng chi phí sản xuất xí nghiệp cho biểu thức dQ Q sản lượng sản xuất (kg), C chi phí sản xuất (triệu đồng) Xác định chi phí sản xuất tăng sản lượng từ 65 kg đến 75 kg Bài 3: Đồ thị hàm số f bao gồm hai đoạn thẳng nửa đường tròn cho hình vẽ Tính tích phân sau a) f ( x)dx b) f ( x)dx c) f ( x)dx Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y x y x b) y x x x y c) x y x y d) y x 2, y x , x 0, x e) y x , y 2, x f) y e x , y xe x , x g) y x , x y h) x y , y x , y i) y x , y x Bài 5: Tính diện tích miền tơ màu: a) b) c) Bài tập Giải tích d) e) f) Bài 6: Tính diện tích miền bị giới hạn đường astroid x cos3 t , t [0,2 ] y sin t Bài 7: Tính diện tích giới hạn đường cong x t 2t , y t trục Oy Bài 8: Tính diện tích hình quạt cong a) r cos , 0; 2 b) r e , Bài 9: Tính diện tích miền tô màu: a) b) c) r 9sin 2 , 10 c) Bài tập Giải tích d) e) f) Bài 10: Tính thể tích hình chóp cụt có đáy hình vng cạnh cm, đáy hình vng cạnh cm, chiều cao cm Bài 11: Tính thể tích hình khối có đáy hình elip với đường cong giới hạn có phương trình x y 36 Các mặt cắt song song vng góc với đáy tam giác vng cân có cạnh huyền nằm mặt đáy Bài 12: Tính thể tích vật trịn xoay miền phẳng D giới hạn đường x a) y , y 0, x 1, x quay quanh Ox b) y x , y quay quanh Ox c) y x 1, y 0, x quay quanh Ox e) x 2sin y , y d) x y , x 0, y quay quanh Oy , x quay quanh Oy f) y ln x, y 1, y 2, x quay quanh Oy 11 Bài tập Giải tích Bài 13: Tính thể tích vật trịn xoay miền phẳng D (được tô màu) a) b) quay quanh đường y = c) quay quanh Ox d) quay quanh Ox e) quay quanh Oy f) quay quanh đường y = -1 quay quanh đường x = 12 Bài tập Giải tích h) g) quay quanh đường x = i) quay quanh Oy j) quay quanh đường x = -1 k) quay quanh Oy l) quay quanh Oy m) quay quanh Oy n) quay quanh Ox quay quanh Ox 13 Bài tập Giải tích Bài 14: Tính độ dài cung a) y x 5, x 1;3 c) y x3 , x 1; 2 4x e) x y ( y 3) y 1;9 x et e t g) , t 0;3 y 2t b) y x , x 0;1 d) y ln(cos x ), x 0; 3 x cos t f) , t 0;2 y sin t x cos t ln tan t 3 h) , t ; 4 y sin t Bài 15: Tính diện tích bề mặt tạo thành quay đường cong sau x a) y , x 0;4 quanh trục Ox 1 3 b) y x x , x ; quanh trục Ox 2 2 x c) y , x 0;4 quanh trục Oy y3 d) x , y 0;1 quanh trục Oy 5 e) x y 1, y ;1 quanh trục Oy 8 x 3t t f) , t 0;1 quanh trục Ox y 3t x cos3 t g) , t 0; quanh trục Ox 2 y sin t x 3t h) , t 0;5 quanh trục Oy y 2t 14 ... dụ 5. 2: Tìm diện tích bề mặt tạo thành quay đường cong sau quanh trục Oy a) x y, y b) y x , x x e t t c) , t 0;1 t/ y 4e 43 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài. .. x , y x Bài 5: Tính diện tích miền tơ màu: a) b) c) Bài tập Giải tích d) e) f) Bài 6: Tính diện tích miền bị giới hạn đường astroid x cos3 t , t [0,2 ] y sin t Bài 7: Tính... = 12 Bài tập Giải tích h) g) quay quanh đường x = i) quay quanh Oy j) quay quanh đường x = -1 k) quay quanh Oy l) quay quanh Oy m) quay quanh Oy n) quay quanh Ox quay quanh Ox 13 Bài tập Giải