Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu (2018)

Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng cung cấp cho người học các kiến thức: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. Cuối bài giảng có thêm phần bài tập để người học có thể ôn tập và củng cố kiến thức.

11/15/2018 Chương 6: Tích phân suy rộng §1 Các loại tích phân suy rộng GV Phan Trung Hiếu §1 Các loại tích phân suy rộng §2 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng LOG O Loại 1:   a b f ( x )dx;   f ( x) dx;   f ( x) dx  Loại 2:  /2 b  f ( x)dx lim f ( x)   với c  [a, b] a Ví dụ 1.1: Tích phân sau tích phân suy rộng? Nếu tích phân suy rộng cho biết thuộc loại   dx a )  dx b)  x x 1  xc c)  sin xdx cos x dx x 1 d ) 1 dx x 2 e)  TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn điểm suy rộng tích phân xác định để tính tích phân §2 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng TH2 (Khó tính ngun hàm): Ta dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân có kết tích phân dễ tính ngun hàm Từ đó, đưa kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ 11/15/2018 TH1 (Dễ tính nguyên hàm f(x)): Chú ý 2.1: Phương pháp: -Chú ý điểm suy rộng:  , điểm c  [ a, b] mà lim f ( x )   xc -Dùng giới hạn điểm suy rộng tích phân xác định để tính tích phân f ( x ) dx   f ( x) dx  alim    b b a  b    f ( x )dx  lim b   a  a  b   f ( x )dx   f ( x )dx   a a b c    f ( x)dx  f ( x )dx     f ( x )dx  x  a   Điểm suy rộng c  ( a, b ) b  b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx t a  a  a t  Điểm suy rộng b lim f ( x)   xb   f ( x )dx  lim  f ( x )dx t b a a  Điểm suy rộng a b c b  a b c f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x )dx a c -Trong công thức ,,, giới hạn tồn hữu hạn kết luận tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ -Trong cơng thức ,,, tích phân (bên phải) hội tụ kết luận tích phân hội tụ, ngược lại tích phân phân kỳ  t b b f ( x )dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx, c  (a, b) a c 10 Định lí 2.2:  a) Ví dụ 2.1: Khảo sát hội tụ tính tích phân sau (trong trường hợp hội tụ)   dx ln x a)  b)  e  x dx c)  dx x x   f ( x) dx hội tụ  a   g ( x)dx hội tụ a    f ( x)  g ( x )  dx hội tụ a     f ( x)  g ( x) dx   a a  f ( x) dx    g ( x )dx  a 11    k f ( x )dx hội tụ  k f ( x) dx  k  f ( x )dx a  g)  a f ( x ) dx hội tụ k số a    d)  b) f ( x )dx, c   tùy ý  Điểm suy rộng a lim f ( x )   b  c   f ( x )dx , b  (0,  ) tùy ý a j)  2 xe x dx dx 1 x e) xdx   x2  /2 h)  sin xdx  cos x  f) dx  1 x  e x dx ex 1 1 i)  dx  x2 12 11/15/2018 TH2 (Khó tính ngun hàm f(x)): Phương pháp: -Chú ý điểm suy rộng:  , điểm c  [ a, b] mà lim f ( x )   xc -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân có kết tích phân dễ tính nguyên hàm Định lí 2.2: f(x), g(x) dương [ a, ) khả tích đoạn [a,b], b  a f ( x)  k Xét xlim  g ( x ) i)  k   :    f ( x )dx , a  g ( x)dx hội tụ phân kỳ a  ii) k  :   g ( x)dx hội tụ   a  a  f ( x)dx phân kỳ  a    g ( x)dx phân kỳ a   iii) k   : f ( x )dx hội tụ f ( x )dx hội tụ  a   13 Hệ 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục [ a, ) f ( x )  g ( x) x     f ( x)dx g ( x)dx phân kỳ  14   a a hội tụ phân kỳ b  dx xn dx xn 15 b a (b  x) n dx hội tụ  n   Với a  b   , ta có b a ( x  a) n dx hội tụ  n  f ( x) dx phân kỳ a hội tụ  n  phân kỳ  n  hội tụ  n  phân kỳ  n  16 Ví dụ 2.2: Khảo sát hội tụ tích phân  a)  phân kỳ  n    Với  b   , ta có [ a, b), (a, b]  Với a  b   , ta có  Chú ý 2.4:  Với  a   , ta có  g ( x)dx Định lý Hệ tương tự cho trường hợp a a  a  g ( x)dx hội tụ  c)   dx x  x 1 b)   ( x  5)dx x 1 x d)  xdx x5  x  dx x3 dx sin x ln(1  x ) dx x3/2 f ) e)  phân kỳ  n  17 18 11/15/2018 Ví dụ 2.3: Tìm tất giá trị thực m để tích phân suy rộng sau hội tụ  x Ví dụ 2.4: Khảo sát hội tụ tích phân  a)  m 1   x dx 0  x2 ex b)  dx 1 d)  dx ln x c )  xe x dx e)  x  x  5ln x dx x3  x  1 dx f ) x2  x3dx (1  x )5 x3  x dx tan x  x g)  19 20 Ví dụ 2.5: Tìm tất giá trị thực m để tích phân suy rộng sau hội tụ  f ( x)    Định lí 2.5: x m1e  x dx Khi đó: b  [ a, ) g ( x) với x [a, b), lim f ( x)   xb   ( a, b], lim f ( x)   xa  b i)  g ( x) dx hội tụ   f ( x) dx hội tụ a b a b ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ a a 21 22 Ví dụ 2.6: Khảo sát hội tụ tích phân  a)   dx x  sin 3x b)   e x 1dx c)  x  e)  d)  arctan x dx  ex ln x dx x 5 sin x dx x2 Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối đánh giá theo Định lý sau Tích phân suy rộng f (x) hội tụ  Tích phân suy rộng f (x) hội tụ Khi đó, ta nói tích phân suy rộng f(x) hội tụ tuyệt đối Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X  Ví dụ 2.7: Khảo sát hội tụ tích phân   23 sin x dx x3 24 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tính tích phân sau cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ  1 x  e dx 1)     dx x xe 6)    9) e  (x 7) 0  dx 13)  x  14) 1 x 2 16) dx  (2  x)  20)  1 x dx x x2 2 1/ x e 23)  dx x 1 xdx (ln x )3 dx 0 x  sin 22) 4 x x dx x 1 19)  xdx 21)  1 x  x dx dx 0 ( x  1)2 18) 12)  15) dx 1 x dx  e2 xe 11) dx  x ln 8) dx x xdx  2) x e  2  x3 xdx  4)  xdx 10)   x  dx x ln x ln x 17) dx   (2  x )dx 3)  4 x 5)  2 x  e dx 2) 24) x ln xdx ln x 0 x dx 25) Bài 2: Khảo sát hội tụ tích phân sau  1) dx x   x  x10  1  x ln    x  5)  dx x  1 2) 1 9) e dx x 1  13)  (1  cos )dx x  xdx   x3  x 3)  10) xdx  x2  x4   dx 4) 7)  11) x 3x  /2 dx 14)  x2 x  15) 8)  dx dx x sin x x3  dx 2x2  x  1 ln(1  x ) 0 esin x  dx   dx 0 x( x  1)  1 6) x x  x 1 12) x 0 sin x dx 5x  dx 2 x  16) dx  (1  x 2 ) Bài 3: Khảo sát hội tụ tích phân sau  1)  e  5)  9)  dx ln x dx ln (1  x) dx x 2  2)  1 6)  ln(1  x) dx x 3) x   x4  x e dx  cos x 7)   dx 10)  ln x 11)   /2 dx dx x  ln x ex dx 2x  dx  cos x 4)  8) x  e dx 12)  dx x  x2 Bài tập Giải tích   13) ln x dx x( x  1) 17)  dx 14)  x e  cos x dx x (e x  e  x ) 1 18) ln x   x2 15) 2dx  (1  x )(4  x ) dx cos x  cos1 16)  dx Bài 4: Khảo sát hội tụ tích phân sau  1)    5) 8)  12)   dx 6)  x3 dx arctan x dx x 3/ x arctan x  1 x   13)  arctan x dx  ex  9)   x2 4)  dx x3 sin x 3)  dx x x  cos x  sin x sin x  cos x    dx x (1  e x )  2) x  sin x 1   e x dx x 10) x 3 dx 7) sin x   x dx 1  11) 1 x dx x 1 x4  x dx e x dx x 14) cos x 0  x dx Bài 5: Khảo sát hội tụ tích phân sau  cos x 1)  dx x  5)  sin x  dx x   cos x 2)  3/2 dx x  /2 3) 4) x  e s in2xdx 8)   cos x 1 x dx 7)  sin x   6)  cos x dx x2    0 x3 dx sin x dx x (1  x) Bài 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ  m   x 1)     dx 2) x  3x      e 1 dx x (ln x) m 3) x ln xdx  4)   1 5)  ( x  1) arctan   dx x m m 6)  dx x  x 1  m ln(1  x ) dx xm  ... phân   23 sin x dx x3 24 Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tính tích phân sau cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ  1 x  e dx 1)     dx x xe 6)    9) e  (x 7) 0... 1)  1 6) x x  x 1 12) x 0 sin x dx 5x  dx 2 x  16) dx  (1  x 2 ) Bài 3: Khảo sát hội tụ tích phân sau  1)  e  5)  9)  dx ln x dx ln (1  x) dx x 2  2)  1 6)  ln(1...  dx x  x2 Bài tập Giải tích   13) ln x dx x( x  1) 17)  dx 14)  x e  cos x dx x (e x  e  x ) 1 18) ln x   x2 15) 2dx  (1  x )(4  x ) dx cos x  cos1 16)  dx Bài 4: Khảo sát