I 3 GÓC giữa hai mặtphẳng
Suyra hlnh chlồu cù aA trén (BCD) là tâm đường Iròn ngoụl tiốp lam giảc BCD
đường Iròn ngoụl tiốp lam giảc BCD .
(ỉọi 11 lù trung đlốm <ùa BI).
I).^2 2
I>o tam giác ABI) cAn tụi A nôn AH 1 BD.
VI (ABD)l(BCD) nên AH 1 (BCD). Hay H là hình chiếu của A trên (BCD) . VẠy 11 là tAm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Suy ra tam giác BCD vuông tại c. Ta có BD Ựbơ+CD2 = 3^3 => BH = ^ệ- => sinBAH = = ^ệ- => BAH = 60°.
2 AB 2
(ỉọi 1là trung điếm AB.
Trong mặt phầng (ABD), dường trung trực của AB cắt AH tại o. Khi đó () là tâm mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
IA
Ta có bán kính mặt cẫu là R = AO = —-■ —= a. cos60°
4,4 Vây thể tích khói cẵu ngoại tiếp tứ diện ABCD là V = —ttR3 = —7ta3.
Đáp án A.
PENBOOK Luyộn đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
HỌC CHỦ ĐỘNG - SỐNG TÍCH cực 51
dang 21. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG
M
► PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = o vớiA2+B2+c2 *0
+ Nếu mặt phẳng (a) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là n = (A;B;C).
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n = (A;B;C) khác õ là vectơpháp tuyến có dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.
Vậy để viết phương trình mật phẳng ta cần dựa vào các yếu tố đề bài ra để xác định một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó.
Các trường hợp riêng:
+ Xét phương trình mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + c2 0 Nều D.= 0 thì mặt phẳng (a) đi qua gốc tọa độ o.
Nếu A = 0,B # o,c * 0 thì mặt phẳng (a) song song hoặc chứa trục Ox. Nếu A•'* 0,B - o,c * 0 thi mặt phẳng (ot) song song hoặc chứa trục Oy. Nếu A * 0,B o,c = 0 thì mặt phằng (a) song song hoặc chứa trục Oz .
Nếu A - B = o,c * 0 thì mặt phẳng (a) song song hoặc trùng với (Oxy). Nếu A = c = 0,B * 0 thì mặt phẳng (oc) song song hoặc trùng với (Oxz). Nếu B = c = 0, A * 0 thì mặt phẳng (a) song song hoặc trùng với (Oyz).
Cz+D=o By+D=o Ax+D=o
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (a): -+£+-= 1, ở đây (à) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) với abc^o. c
PENBOOK Luyện đẻ thí Tốt nghiệp THPT môn Toán J
32
í Ví du 1 (TĨIPTQG - 2019): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(l;3;0) và B(5;l; .’). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 2x —y — Z4-5 = 0. B. 2x —y — Z-5 — 0 . c. x4-2y 4-2z-3 = 0 . D. 3x4-2y —z-14 = 0. ẵ 5 z 2 ■ > X z Ệ, 1 Hướng đản giãi:
Mạt phẳng trung trực (p) của AB đi qua trung điểm l(3;2;-l) của AB vù nhận AB = (4;-2;-2) làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phầng (p) là 4(x-3)-2(y-2)-2(z + l) = 0 «2x-y-z-5 = 0.
Đáp An B. Vídụ 2](SỞ Hà Nội - 2019): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(s) : X2 4- y2 4- z2 4- 2x - 4y - 6z 4- 5 = 0.
Mặt phẳng tiếp xúc với (s) và song song với mặt phẳng (p): 2x —y 4-2z —11 = 0 có phương trình là
A. 2x-y4-2z —7 = 0. B. 2x-y4-2z4-9 = 0. c. 2x-y4-2z4-7 = 0. D. 2x —y + 2z-9 = 0 . Hướng dẫn giải:
Ta có tâm l(—1;2;3), bán kính R = 3 .
(Q) song song (p)=> (Q):2x-y4-2z4-d = o(d7i-ll). ,/_/_I”2 — 2 + 6 + d|
d(i;(Q)) = 1---1=3« d = -ll(L)
d = 7(TM) => (Q) :2x-y4-2z 4-7 = 0.
Đáp án c.
í Ví dụ 3 j(SỞ Nam Định - 2019): Trong không gian Oxyz, cho mặt cẩu
(s): X2 4-y2 4-(z — l)2 = 4 và điểm A(2;2;2). Từ điểm A kè ba tiếp tuyến AB,AC, AD với B,C,D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phằng (BCD).
A. 2x4-2y4-z —1 = 0. B. 2x4-2y4-z-3 = 0. c. 2x 4- 2y 4- z 4-1 = 0 . D. 2x4-2y 4-Z-5 = 0 . Hướng dẫn giải: Ta có mặt cẩu (S) tầm l(0;0;l) bán kính R = 2 và AI = (—2;—2;—1) =>Al = ự(-2)2+(-2)2+(-l)2=3.
Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (BCD) và AI thì BH ± AI.
Xét tam giác vuông ABI tại B (do AB là tiếp tuyến của mặt câu).
PENBOOK Luyện đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
HỌC CHỦ ĐỘNG - SỐNG TÍCH cực 53
Ta có AB = Vai2 - BI2 = V5 mà BH ± AI => AB2 - AH.AI => AH - 3 .
Giả sử H(x;y;z) ta có hệ 1 8 X = — 9 8 y 9 13 z = — 9 r8 8 13 9;9; 9 Do H nằm giữa A và I nên AH = I AI.
x-2 = |(0 y-2=j(0
z-2 = ị(l- 9'
Mặt phằng (BCD) qua h| I Ay nhận vectơ Ãí = (—2; —2;—1) là vectơ pháp tuyến
8 Kỉ 8
nên có phương trình là-2 x_9 -2 y — — z--- —13 9
Đáp án D. 9