... http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
1.2 Bấtđẳngthức AM-GM và các bài toán liên
quan
Trong bài này, ta sẽ đề cập đến định lí vềbấtđẳngthứcgiátrịtrung bình
cộng vàgiátrịtrungbình nhân (Còn gọi là bấtđẳngthức AM-GM ... đẳngthức AM-GM hoặc ngắn
gọn là bấtđẳngthức AG), các bài toán liên quan vàbấtđẳngthức AG suy rộng.
Định lý 1.2 (Định lí về các giátrịtrungbình cộng vàtrungbình nhân ([2],[5])).
Giả sử ... x
n
n
≥
n
√
x
1
x
2
···x
n
. (1.3)
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= ··· = x
n
.
Hệ quả trực tiếp của bấtđẳngthức AG là bấtđẳngthức giữa trung bình
nhân vàtrungbình điều hòa. (Gọi và viết tắt là...
... 1 -
LỚP CÁC BÀI TOÁN ỨNGDỤNGĐỊNHLÝGIÁTRỊ
TRUNG BÌNH
ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE
THEOREMS
TÓM TẮT
Các địnhlývềgiátrịtrungbình đóng một vai trò quan ... nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của
nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứngdụng các địnhlývềgiátrịtrungbình ... '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giátrị nhỏ nhất, giátrị
lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó...
...
- 1 -
LỚP CÁC BÀI TOÁN ỨNGDỤNGĐỊNHLÝGIÁTRỊ
TRUNG BÌNH
ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE
THEOREMS
TÓM TẮT
Các địnhlývềgiátrịtrungbình đóng một vai trò quan ... nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của
nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứngdụng các địnhlývềgiátrịtrungbình ... '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giátrị nhỏ nhất, giátrị
lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó...
... nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của
nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứngdụng các địnhlývềgiátrịtrungbình ... 2004-2007
TÓM TẮT
Các địnhlývềgiátrịtrungbình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học, và được
thường xuyên khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán địa phương, quốc giavà quốc tế (ở ... '(a).f '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giátrị nhỏ nhất, giátrị
lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó...
... '(a).f '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giátrị nhỏ nhất, giá
trị lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó ... '(x)=0.
Định lý 2.2 (Định lý CAUCHY) Cho
ϕ
và
ψ
là liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Lúc đó
tồn tại c
∈
(a;b) để: [
ψ
(b)-
ψ
(a)]
ϕ
'(c) = [
ϕ
(b)-
ϕ
(a)]
ψ
'(c)
Định lý 2.3 ... duy nhất một nghiệm thuộc [a;b].
2. Phương pháp sử dụng phép tính vi phân
Định lý 2.1 (Định lý ROLLE) Cho f là một hàm liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Nếu
có f(a) = f(b) thì tồn tại...
... '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giátrị nhỏ nhất, giátrị
lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó ... '(x)=0.
Định lý 2.2 (Định lý CAUCHY) Cho
và
là liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Lúc đó
tồn tại c
(a;b) để: [
(b)-
(a)]
'(c) = [
(b)-
(a)]
'(c)
Định lý ... duy nhất một nghiệm thuộc [a;b].
2. Phương pháp sử dụng phép tính vi phân
Định lý 2.1 (Định lý ROLLE) Cho f là một hàm liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Nếu
có f(a) = f(b) thì tồn tại...
... bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứngdụng các địnhlývềgiátrịtrungbình trong ba lĩnh vực: liên tục, khả vi và khả tích.
ABSTRACT
Theorems of the so-called mean-value ... TRỊ
TRUNG BÌNH
ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE
THEOREMS
TÓM TẮT
Các địnhlývềgiátrịtrungbình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học, và được
thường ... theo địnhlý Rolle thì:
f '(x) có n - 1 nghiệm phân biệt
f "(x) có n - 2 nghiệm phân biệt,
Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
- 1 -
LỚP CÁC BÀI TOÁN ỨNGDỤNGĐỊNHLÝGIÁTRỊ
TRUNG...
...
<H> Hãy xác định GTNN của tổng
hai số này ?
Hoạt động 6. Hướng đẫn học sinh
nắm vững các bấtđẳngthức chứa
giá trị tuyệt đối. Bấtđẳngthức
trung bình cộng vàtrungbình nhân,
đồng ...
phát hiện và nắm vững bấtđẳng
thức trungbình cộng vãtrungbình
nhân.
<H> Với a
0 và
0 chứng minh
rằng ab
ba
2
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
gọi là bấtđẳngthức Côsi. ... vẽ dưới đây, cho AH =
a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD
và HC theo a và b. Từ đó suy ra
BĐT giữa trungbình cộng vàtrung
bình nhân.
O
B
A
C
H
D
Cho hai số x, y dương có tổng
S = x + y...
...
* Chứng minh với
- Bấtđẳngthức hiển nhiên đúng với .
- Với thì bấtđẳngthức đúng.
- Với . Xét hàm . Hàm thỏa mãn giả thiết của
định lý Lagrange. Vậy, tồn tại sao cho
Vậy với .
Chứng minh ... nghiệm khác nhau của phương trình . Theo định
lí Roll thì tồn tại sao cho .
2. Sử dụng các định lí trungbình để chứng minh các đẳngthức sau
a. .
Áp dụngđính lí Lagrange cho hàm trên thế
thì ... Chứng minh rằng công thức tính gần đúng
có sai số không vượt quá 0,001 với các giátrị
Ta có khai triển của đến là
Suy ra sai số là
Vậy
[ Mục lục ]
Bài tập tự giải
1. Chứng minh các bất đẳng...
... ≥
3
BẤT ĐẲNGTHỨCVÀ CỰC TRỊ
Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bấtđẳngthức hoặc dùng phương
pháp đánh giá.
I. Sử dụng một số BĐT cơ bản:
1. BĐT Côsi:
Với n số không âm bất kì:
1 2 ... 3 / 2≤
Chứng minh:
a + b + c +1 / a +1 / b +1 / c 15 / 2≤
Bài 23: Ba số dương x, y, z có tích bằng 1.
Chứng minh:
2 2 2
x + y + z x + y + z≥
.
Giải:
Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = ... thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức:
2 2 2 2
a + b + c + d = 1
; x là số thựcbất kì.
Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
(x + ax + b) + (x + cx + d) (2x +1)≤
Giải:
Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có:
2...
... Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu
thức
444
),,( zyxzyxf .
Giải:
Áp dụngbấtđẳngthức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:
S = x
2
+ y
2
+ z
2
222
c
b
a
P
.
S sẽ có giátrị ... x, ta có bấtđẳngthức Cô-si:
abx
x
ab
x
x
ab
22
Khi đó:
2
)(2
))((
baabba
x
xbxa
Vậy giátrị nhỏ nhất của biểu thức là (
2
)ba đạt được khi abx
VD7:
Tìm giátrị lớn ... tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức
x
xbxa ))((
.
Khi nào đạt giátrị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:
xba
x
ab
x
xxbaab
x
xbxa
2
)())((
Đối với hai số dương
x
ab
và x,...