Đang tải... (xem toàn văn)
Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit: a.[r]
(1)LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
PHA ̀N 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
A. Tóm tắt lý thuyết:
I PHƢƠNG TRÌNH MŨ:
1 Phƣơng trình mũ bản: 𝑎𝑥 = 𝑏 (0 < 𝑎 ≠ 1)
Nếu 𝑏 ≤ 0: phƣơng trình vô nghiê ̣m (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥) Nếu 𝑏 > 0: 𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log
𝑎𝑏 Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ:
a Đƣa về cùng số: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) b Logarit hóa:
Với phƣơng trình: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) (0 < 𝑎, 𝑏 ≠ 1) Ta lấy logarit số 𝑎 hai vế: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 log𝑎𝑏 Hoă ̣c lấy logarit số 𝑏 hai vế: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 log𝑏𝑎 c Đặt ẩn phụ:
Phƣơng trình có chƣ́a 𝑎𝑓(𝑥); 𝑎2𝑓(𝑥); … ta đặt 𝑡 = 𝑎𝑓(𝑥) >
Phƣơng trình có chƣ́a 𝑎𝑓(𝑥); 𝑏𝑓(𝑥) mà 𝑎 𝑏 = ta đặt 𝑡 = 𝑎𝑓(𝑥)> ⇒ 𝑏𝑓(𝑥) =1 𝑡
d Đoán nghiê ̣m và dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh nghiệm nhất
II PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT:
1 Phƣơng trình logarit bản: log𝑎𝑥 = 𝑏 (0 < 𝑎 ≠ 1) Nếu 𝑏 ≤ 0: phƣơng trình vô nghiê ̣m (vì 𝑎𝑥 > 0, ∀𝑥) Nếu 𝑏 > 0: log𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑎𝑏
2 Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit: a Đƣa về cùng số:
Đặt điều kiện để các biểu thức logarit có nghĩa Đƣa về log𝑎𝑓(𝑥) = log𝑎𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) Chý ý: log𝑎𝑓(𝑥) = log𝑎𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓 𝑥 > (𝑔 𝑥 > 0)
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
b Đặt ẩn phụ: đă ̣t 𝑡 = log𝑎𝑓(𝑥) (không có điều kiê ̣n của 𝑡) để đƣa phƣơng trình logarit về phƣơng trình đại số theo 𝑡
c Đoán nghiê ̣m và dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh nghiệm nhất
B. Các loại bài tập:
I.PHƢƠNG TRÌNH MŨ:
1) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đƣa về cùng số: a 2𝑥−4 = 43
b 2𝑥2−6𝑥−52 = 16 c 32𝑥−3 = 9𝑥2+3𝑥−5
d 1,25 1−𝑥 = 0,64 2(1+ 𝑥) e 52𝑥+1− 52𝑥 −1= 110
f 2𝑥 + 2𝑥−1+ 2𝑥−2 = 3𝑥 − 3𝑥−1 + 3𝑥−2 g 2𝑥2−1 − 3𝑥2 = 3𝑥2−1− 2𝑥2+2
h 2𝑥3𝑥−15𝑥−2 = 12 i 32𝑥 +5𝑥 −7 =
4 128 𝑥 +17
𝑥 −3
j
25 𝑥+1
(2)LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
k 0,5 2+3𝑥 = −𝑥 l 42𝑥 = 1283
m 52𝑥+1− 52𝑥 −1= 550 n 16𝑥 +10𝑥 −10 = 0,125
𝑥 +5 𝑥 −15 o 73𝑥 + 52𝑥 = 52𝑥 + 73𝑥
p 3𝑥−1 = 182𝑥 2−2𝑥 3𝑥+1 q 52𝑥+1− 7𝑥+1 = 52𝑥 + 7𝑥 r 5𝑥+1 + 5𝑥 − 5𝑥−1 = 52 s 3𝑥 2𝑥+1 = 72
t 3𝑥+1 3𝑥 +2+ 3𝑥 +3= 5𝑥 + 5𝑥+1+ 5𝑥+2 2) Giải các phƣơng trình sau bằng cách logarit hóa:
a 2𝑥−3 = b 3𝑥+1 = 5𝑥 −2 c 3𝑥−3 = 5𝑥2−7𝑥+12 d 2𝑥−3 = 5𝑥2−5𝑥+6
e 52𝑥+1− 7𝑥+1 = 52𝑥 + 7𝑥 f 2𝑥2−1 − 3𝑥2 = 3𝑥2−1− 2𝑥2+2 g 5𝑥
𝑥 −1
𝑥 = 500
h 5𝑥 22𝑥 −1𝑥 +1 = 50 i 3𝑥
𝑥 𝑥 +2 = j 3𝑥2−4𝑥 = 2𝑥−4 k 57𝑥 = 75𝑥 l
𝑥
𝑥 +2 = 36 32−𝑥
3) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đặt ẩn phụ: a 22𝑥+5+ 2𝑥+3 = 12
b 92𝑥+4− 32𝑥 +5+ 27 = c 52𝑥+4− 110 5𝑥 +1− 75 = d
2 𝑥
− 2
𝑥+1 +8
5 = e 9𝑥2−1 − 36 3𝑥2−3+ =
f 𝑥 − 53− 𝑥 = 20
g 4𝑥 − 13 6𝑥 + 9𝑥 = h 16𝑥 + 81𝑥 = 36𝑥
i + 𝑥 + − 𝑥 =
j + 𝑥+ − 𝑥 = 10
k 𝑥 −1
𝑥 +1− 𝑥 −1
2 − =
l + 𝑥+ − 𝑥 = 2𝑥 +3 m 43𝑥2+𝑥 − = 8𝑥2+𝑥3
n 32𝑥+8− 3𝑥 +5+ 27 =
o + 15 𝑥+ − 15 𝑥 = 62
p 𝑥+2𝑥 4𝑥−2 = q − 83
𝑥
+ + 83
𝑥 = r + 𝑥
2−2𝑥+1
+ − 𝑥 2−2𝑥+1
= 101
10(2− 3) s 41𝑥+
1
𝑥 = 𝑥
t 512+
𝑥+ 10
𝑥 =
1 2+
1 𝑥
u 32𝑥+4+ 45 6𝑥 − 22𝑥+2 =
v 2cos2𝑥 + 2sin2𝑥 = 6
w + 35 𝑥+ − 35 𝑥 = 12
x 8𝑥+1 + 0,5 3𝑥+ 2𝑥+3 = 125 − 24 0,5 𝑥 y 32 sin 𝑥+2 cos 𝑥+1−
15
− cos 𝑥−sin 𝑥−log158
+ 52 sin 𝑥+2 cos 𝑥+1 = 4) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đoán nghiê ̣m:
a 3𝑥 − + 𝑥 = b
2 𝑥
= 2𝑥 + c 3𝑥 + 4𝑥 = 5𝑥
(3)LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
g − 𝑥+ + 𝑥 = 2𝑥
h 4𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 = − 2𝑥 i 𝑥2 − − 2𝑥 𝑥 + − 2𝑥 = j
5 𝑥
= −2𝑥2 + 4𝑥 −
k 32𝑥−1+ 3𝑥 − 3𝑥 −1− 𝑥 + = l 𝑥log29 = 𝑥2 3log2𝑥− 𝑥log23
m 3𝑥 − =
𝑥
n +
𝑥
+ − 𝑥
= 10𝑥
o 255−𝑥− 2(𝑥 − 2)55−𝑥+ − 2𝑥 =
5) Bài tập ôn tổng hợp:
a
𝑥
𝑥 +2 0,2 𝑥 +2 𝑥 −4
= 125 0,4 𝑥 −2𝑥 −4 b
4
2−2𝑥−𝑥2 −
4
𝑥2+2𝑥−2
= 25log1258− c 25𝑥 − 7𝑥− 52𝑥+1+ 7𝑥+1 =
d 5𝑥 + 5𝑥+1+ 5𝑥+3 = 3𝑥 + 3𝑥+1 + 3𝑥+3 e 312𝑥−1− 96𝑥−1− 274𝑥−1+ 813𝑥 +1 = 2192 f 22 log 4𝑥−1− 7log 4𝑥 = 7log 4𝑥−1− 4log 4𝑥 g
2𝑥
100𝑥 = (0,7) 𝑥+ h 43𝑥2+𝑥 − = 8𝑥2+𝑥3
i 4𝑥2−3𝑥+2+ 4𝑥2+6𝑥+5 = 42𝑥2+3𝑥+7+ j 4𝑥− 𝑥2−5− 12 2𝑥−1− 𝑥2−5+ = k 64 9𝑥 − 84 12𝑥 + 27 16𝑥 = l 9𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 − = m 4𝑥 + 3𝑥 − 10 2𝑥+ − 𝑥 =
n
𝑥 4𝑥+8𝑥+
4𝑥 2𝑥+8𝑥+
8𝑥 4𝑥+2𝑥 =
3
o 23𝑥 − 2𝑥 −
23(𝑥 −1)+ 12 2𝑥 =
p 32𝑥2+6𝑥−9+ 15𝑥2+3𝑥−5 = 52𝑥2+6𝑥−9 q 22𝑥2+1 − 2𝑥2+𝑥 + 22𝑥 +2 =
r + 𝑥+ − 𝑥 =
s 22𝑥−1+ 32𝑥 + 52𝑥+1 = 2𝑥 + 3𝑥+1 + 5𝑥 +2 t 15𝑥2+ = 4𝑥
u 6𝑥 + 2𝑥 = 5𝑥 + 3𝑥
v 24𝑥 − 23𝑥 +1− 22𝑥 + 2𝑥+1 + = 6) Tìm 𝑚 để các phƣơng trình sau có nghiệm:
a 25𝑥 +1− 5𝑥+2 + 𝑚 = b
9 𝑥
− 𝑚
𝑥
+ 2𝑚 + =
7) Tìm 𝑚 để các phƣơng trình sau có nghiệm nhất: 16𝑥 +1+ 4𝑥−1− 5𝑚 =
(4)LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
II PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
1) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đƣa về cùng số: a log4 𝑥 + − log4 𝑥 − = log46
b log(𝑥 + 1) − log(1 − 𝑥) = log(2𝑥 + 3)
c log4𝑥 + log2𝑥 + log16𝑥 = d log4 𝑥 + − log4 𝑥2 − = e log3𝑥 =
1
2+ log9 4𝑥 + f log2𝑥 log3𝑥 = log2 𝑥2 + log
3 𝑥3 −
g log + log(𝑥 + 10) − = log 21𝑥 − 20 − log(2𝑥 − 1)
h log2 9𝑥−2+ − = log
2 3𝑥−2+ i log5 𝑥2+ 2𝑥 − + log
5 𝑥+3 𝑥−1 = j log3 9𝑥 + = 𝑥 − log1
3
28 − 3𝑥 k log5𝑥 − log25𝑥 = log0,2
l log 5𝑥 − + log 𝑥 + = + log 0,18
m log2 𝑥2− − log
2 6𝑥 − 10 + = n log2 2𝑥+1− = 𝑥
o log(𝑥 + 10) +1
2log 𝑥
2 = − log p log9 log3𝑥 − log3 log9𝑥 = + log34 q log2𝑥 log4𝑥 log8𝑥 log16𝑥 =
2 r log5𝑥4− log
2𝑥3− = −6 log2𝑥 log5𝑥 s log(𝑥3+ 1) −1
2log(𝑥
2+ 2𝑥 + 1) = log 𝑥 t 𝑥 + log 3𝑥− = 𝑥 log10
3 + log u 𝑥 + log5 125 − 5𝑥 = 25
2) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đặt ẩn phụ: a log2𝑥 + 10 log2𝑥 + =
b log1
𝑥 +5
2= log𝑥3
c log𝑥16 − log16𝑥 = log2𝑥 d log 22 𝑥 + log2𝑥 + log1
2
𝑥 = e log4 𝑥 − 2+ log2 𝑥 − 3 = 25 f log2 4𝑥+1+ log2 4𝑥 + = log28 g 𝑥 + log(4 − 5𝑥) = 𝑥 log + log h log(10𝑥2) log 𝑥 =
i log9𝑥 + log𝑥3 = 10 j log𝑥2 − log4𝑥 +
7 6= k log𝑥 125𝑥 log252 𝑥 =
l
4−log 𝑥 +
2+log 𝑥 =
m log𝑥4 + log4𝑥2 + log16𝑥8 = n log2 2𝑥 − log
(5)LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page
o log2𝑥 − log 𝑥2 = log23 − p + log2 𝑥 − = log𝑥 −14
q log𝑥 + log𝑥5𝑥 − 2,25 = log𝑥
r log22 𝑥 − 2+ log
2 𝑥 − = s log4𝑥8 − log2𝑥 + log9243 = t 1+log3𝑥
1+log9𝑥 =
1+log27𝑥 1+log81𝑥
u log𝑥 2𝑥2− + log2𝑥2−5𝑥2 = v log3 3𝑥2 logx23 =
3) Giải các phƣơng trình sau bằng cách đoán nghiệm: a log3𝑥 = − 𝑥
b log5(𝑥 − 3) = − 𝑥
c log3(𝑥 + 1) + log5(2𝑥 + 1) = d log3(3𝑥 − 8) = − 𝑥
e 𝑥 + log 𝑥2− 𝑥 − = + log 𝑥 + f 2log5(𝑥+3) = 𝑥
g log𝑥(𝑥 + 1) = log
h log3 cot 𝑥 = log2 cos 𝑥 4) Giải các phƣơng trình hỗn hợp sau:
a 53−log5𝑥 = 25𝑥 b 𝑥−6 3− log𝑥3 = 3−5 c 𝑥log9𝑥 = 𝑥2 d 𝑥4 53 = 5log𝑥5
e 4log0,4(sin2𝑥+5 sin 𝑥 cos 𝑥+2)=1 f 𝑥log 9+ 9log 𝑥 =
g 𝑥3 log3𝑥−23log 𝑥 = 100 103 5) Bài tập ôn tổng hợp:
a log2(2𝑥2) log2(16𝑥) =9 2log2
2𝑥
b log2 4𝑥+1+ log
2 4𝑥 + = log1
1 c 2log3𝑥 + log3 𝑥2− = log
30,5 + d 2007log2006𝑥 = 4014 − 𝑥log20062007 e log16 log2𝑥 + log2 log16𝑥 = 0,5 f
2log14 𝑥 +
2− = log
1
− 𝑥 + log
(𝑥 + 6)3 g log2 𝑥2+ = + log
2𝑥 − log2 𝑥+7𝑥
h log3𝑥
𝑥 + log3
2𝑥 = i log9 9𝑥8 log
3 3𝑥 = log3𝑥3
j log2(100𝑥) + log2(10𝑥) = 14 + log 1 𝑥