Chuyên đề hàm số mũ lôgarit thầy lê anh tuấn có lời giải chi tiết

CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa lũy thừa • Cho số thực b số nguyên dương n ( n ≥ ) Số a gọi bậc n số b a n = b • Chú ý: * Với n lẻ b ∈ ¡ : Có bậc n số b, kí hiệu n b b < : Không tồn bậc n b *Với n chẵn: b = : Có bậc n b số b > : Có hai bậc n b hai số đối nhau, có giá trị dương kí hiệu Số mũ α α = n∈¡ * α =0 α = −n ∈ ¡ n b , có giá trị âm kí hiệu − n b Lũy thừa aα aα = a n = a.a a (n thừa số a) aα = a = 1 aα = a − n = n a Cơ số a a∈¡ a≠0 a≠0 * m m ∈ ¢, n ∈ ¡ * ) ( n α = lim rn ( rn Ô , n Ơ * ) α= a>0 m aα = a n = n a m , a>0 ( n a = b ⇔ a = bn ) aα = lim a rn Một số tính chất lũy thừa • Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa: α α β a a = a α +β β aα aα α a ; β = aα − β ; ( aα ) = aα β ; ( ab ) = aα b β ;  ÷ = α a b b −α α a b ; ÷ =  ÷ b a • Nếu a > aα > a β ⇔ α > β ; Nếu < a < aα > a β ⇔ α < β ; • Với < a < b, ta có: a m < a n ⇔ m > 0; a m > a n ⇔ m < • Chú ý: o Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên o Khi xét lũy thừ với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác o Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương Một số tính chất bậc n • Với a, b ∈ ¡ ; n ∈ ¡ * , ta có: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải • 2n a n = a , ∀a; n +1 a n +1 = a, ∀a 2n ab = n a b , ∀a, b ≥ 0; n +1 ab = n +1 a n +1 b , ∀a, b 2n a = b , ∀ab ≥ 0, b ≠ 0; n +1 a = b a 2n b 2n 2n n +1 n +1 a , ∀a, ∀b ≠ b Với a, b ∈ ¡ , ta có: n am = n m ( a) n m , ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên a = nm a , ∀a ≥ 0, n,m nguyên dương Nếu p q = n m biệt: n n a p = m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc a = nm a m B CÁC DẠNG CÂU TẬP Dạng Viết biểu thức dạng lũy thừa Câu 1: Viết biểu thức A − dạng lũy thừa m ta m = ? 160,75 13 B 13 C D − Hướng dẫn: Chọn đáp án A −13 2 = = −2 Phương pháp tự luận 160,75 ( 24 ) 3 4 Câu 2: Cho x > 0; y > Viết biểu thức x x x ; dạng x m biểu thức y : y y ; dạng y n Ta có m − n = ? A − 11 B 11 C D − Hướng dẫn: Chọn đáp án B 4 103 x x x = x x x 12 = x 60 ⇒ m = 103 60 4  1 11 y : y y = y :  y y 12 ÷ = y 60 ⇒ n = − ⇒ m − n = 60   Câu 3: Khẳng định sau khẳng định sai? Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải A C 2n ab = a b , ∀a, b B 2n a n ≥ 0, ∀a, n nguyên dương a n = a , ∀a, n nguyên dương ( n ≥ 1) D = ∀a ≥ Hướng dẫn: Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bậc n ta có đáp án A xác Câu 4: Cho a > 0, b < 0, khẳng định sau khẳng định sai? A a 4b4 = ab B C a 2b2 = ab D a 3b3 = ab a 4b = − a 2b Hướng dẫn: Chọn đáp án A Áp dụng tính chất bậc n ta có đáp án A xác Câu 5: Tìm biểu thức khơng có nghĩa biểu thức sau A ( −3) −4 B ( −3) −   D  −3 ÷ 2  C 04 Hướng dẫn: Chọn đáp án B 1 Vì − ∉ ¢ nên ( −3) − khơng có nghĩa Vậy đáp án B Câu 6: Cho n ∈ ¥ ; n ≥ khẳng định sau đúng? 1 A a n = n a , ∀a ≠ B a n = n a , ∀a > 1 C a n = n a , ∀a ≥ D a n = n a , ∀a ∈ ¡ Hướng dẫn: Chọn đáp án B 11 Đáp án B Đáp án A, C, D sai điều kiện a a a a a : a 16 Câu 7: Cho số thực dương a Rút gọn biểu thức A a B a 11 a a a a : a 16 C a D a Hướng dẫn: Chọn đáp án D Vậy đáp án D Dạng So sánh lũy thừa Câu 8: Trong khẳng định sau , khẳng định đúng? ( ) < ( 2− 2) ( ) < ( 4− 2) A − C − 3 B ( 11 − D ( 3− ) >( ) aα > a β ⇔ α > β ; Nếu < a < aα > a β ⇔ α < β ; Câu 9: Nếu A m > ( 3− ) m− < + B m < C m > D m ≠ Hướng dẫn: Chọn đáp án C Ta có 3+ = ⇒ 3− 1 Câu 10: Nếu a > a b A a > 1;0 < b < ( 3− >b ) m−2 < ( 3− ) −1 ⇔m> B a > 1; b < C < a < 1; b < D a < 1;0 < b < Hướng dẫn: Chọn đáp án A Do Vì 1 1 > nên a > a ⇒ a > > nên b >b ⇒ < b < đáp án A đáp án xác Câu 11: Kết luận số thực a ( 2a + 1)  − mệnh đề a) a m + b m < c m m > b) a m + b m > c m < m < c) a m < c m m > d) a m > c m < m < Có mệnh đề đúng? A B C D Hướng dẫn: Chọn đáp án C m m a b a m + bm < cm ⇔  ÷ +  ÷ < c c Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do a + b = c a > 0, b > nên < a b < 1;0 < < c c  a  m a  ÷ < m m c a+b  c  a b ⇒ ⇒ + < = 1( m > 1) ⇒ mệnh đề (a)  ÷  ÷ m c c c     b b   <   c ÷ c   Mệnh đề (b) chứng minh tương tự Mệnh đề (c) hiển nhiên Câu 22: Cho a ≥ b ≥ c ≥ d > mệnh đề sau a a bb c c ≥ a b b c c a I ( a + 1) II + ( b + 1) ≥ ( a + 1) + ( b + 1) c d d c Mệnh đề đúng? A Cả (I) (II) đề sai B (I) sai; (II) C (I) đúng; (II) sai D Cả (I) (II) Hướng dẫn: Chọn đáp án D Ta có a ≥ b ≥ c ≥ d Đặt a = b + x ( x ≥ ) ; b = c + y ( y ≥ ) ⇒ a = c + x + y x ⇒ a b c = a b c a a−x Do x, y ≥ 0;0 < b b− y c c+ x+ y y c c = a b c  ÷  ÷ a b a b c c c ≤ ≤ ⇒ a a bb c c ≥ a b b c c a (I) a b Ta có a ≥ b > ⇒ ( a + 1) ≥ ( b + 1) > d ⇒ ( a + 1) ( a + 1)  d c−d d d c −d c d d c − 1 ≥ ( b + 1) ( b + 1) − 1 ⇒ ( a + 1) + ( b + 1) ≥ ( a + 1) + ( b + 1)    án 1-A 11-A 21-C 2-B 12-C 22-D 3-A 13-B 4-A 14-C 5-B 15-C 6-B 16-B 7-D 17-A 8-C 18-C 9-C 19-C CÁC PHÉP TOÁN VỀ LOGARIT Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 10-A 20-B Đáp A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a ≠ Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi lôgarit α số a b kí hiệu log a b Ta viết α = log a b ⇔ a = b Tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có • log a a = 1, log a = • a log a b = b, log a ( aα ) = α Lơgarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a ≠ 1, ta có • log a ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2 Lôgarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a ≠ 1, ta có b1 = log a b1 − log a b2 b2 • log a • Đặc biệt: Với a, b > 0, a ≠ 1, log a = − log a b b Lôgarit lũy thừa: Cho a, b > 0, a ≠ 1, với α , ta có • log a bα = α log a b • Đặc biệt: log a n b = log a b n Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có log c b log c a • log a b = • Đặc biệt: log a c = 1 log aα b = log a b với a ≠ log c a α Lôgarit thập phân Lôgarit tự nhiên • Lơgarit thập phân lơgarit số 10 Viết: log10 b = log b = lg b • Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Viết: log e b = ln b B CÂU TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho a > 0, a ≠ 1, giá trị biểu thức A = a log A B 16 a C bao nhiêu? D Hướng dẫn: Chọn đáp án B Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có A = a log a =a log a1 = a 2loga = a loga 16 = 16 Câu 2: Giá trị biểu thức P = log 12 + 3log − log 15 − log 150 bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn: Chọn đáp án B +Tự luận P = log 12 + 3log − log 15 − log 150 = log 122 + log 53 − log ( 15.150 ) 122.53 = log =3 15.150 +Trắc nghiệm Nhập biểu thức vào máy tính nhấn calc ta thu kết Câu 3: Cho a > 0, a ≠ 1, giá trị biểu thức B = ln a + 3log a e − − có giá trị ln a log a e bao nhiêu? A ln a + log a B ln a C 3ln a − log a e D log a e Hướng dẫn: Chọn đáp án C +Tự luận B = ln a + 3log a e − 3log a e − ln a = = 3ln a − log a e +Trắc nghiệm Sử dụng máy tính, Thay a = lấy biểu thức đđ̃ cho trừ biểu thức có đáp số, kết đáp số Câu 4: Cho x = 2000! Giá trị biểu thức A = A B −1 1 + + + log x log x log 2000 x C D 2000 Hướng dẫn: Chọn đáp án A Ta có A = log x + log x + + log x 2000 = log x ( 1.2.3 2000 ) = log x x = π  π    Câu 5: Biểu thức B = log  2sin ÷+ log  cos ÷ có giá trị 12  12    A −2 B −1 C D log − Hướng dẫn: Chọn đáp án B π  π  π π      π B = log  2sin ÷+ log  cos ÷ = log  2sin cos ÷ = log  sin ÷ = log = −1 12  12  12 12  6     Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Câu 6: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, tháng gửi triệu đồng, với lãi suất kép 1% tháng Gửi hai năm tháng người có cơng việc nên rút toàn gốc lãi Số tiền người rút 27 A 101 ( 1, 01) − 1 triệu đồng 26 B 101 ( 1, 01) − 1 triệu đồng C 100 ( 1, 01) D 100 ( 1, 01) − 1 triệu đồng 27 − 1 triệu đồng  Hướng dẫn: Chọn đáp án A Phương pháp Quy tốn tính tổng cấp số nhân, áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân Dãy U1; U2 ; U3; ; Un gọi CSN có cơng bội q U k = U k −1 q Tổng n số hạng sn = u1 + u2 + + un = u1 − qn 1− q Cách giải + Gọi số tiền người gửi hàng tháng a = triệu + Đầu tháng người có a Cuối tháng người có a ( + 0, 01) = a.1, 01 + Đầu tháng người có a + a.1, 01 Cuối tháng người có 1, 01( a + a.1, 01) = a ( 1, 01 + 1,10 ) + Đầu tháng người có a ( + 1, 01 + 1, 01 ) 2 Cuối tháng người có a ( + 1, 01 + 1, 01 ) 1, 01 = a ( 1, 01 + 1, 01 + 1, 01 ) … 27 + Đến cuối tháng thứ 27 người có a ( 1, 01 + 1, 01 + + 1, 01 ) 27 Ta cần tính tổng a ( 1, 01 + 1, 01 + + 1, 01 ) Áp dụng công thức cấp số nhân với công bội 1, 01 ta 1, 01 − 1, 0127 = 101 ( 1, 0127 − 1) triệu đồng − 0, 01 Câu 7: Một bác nông dân vừa bán trâu số tiền 20.000.000 (đồng) Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nơng dân mang tồn số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn tháng với lãi suất kép 8,4% năm Hỏi sau năm tháng bác nông dân nhận tiền vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết bác nông dân Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 101 khơng rút vốn lãi tất định kì trước rút trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0,01% ngày (1 tháng tính 30 ngày) A 31803311 B 32833110 C 33083311 D 30803311 Hướng dẫn: Chọn đáp án A • Phương pháp Áp dụng cơng thức tính tiền tiết kiệm thu A = a ( + r ) n Với a số tiền gửi vào, r lãi suất kì, n kì • Cách giải Lãi suất năm 8,5% lãi suất tháng 4,25% Vì bác nơng dân gửi tiết kiệm kỳ hạn tháng nên sau năm tháng có 11 lần bác tính lãi => Số tiền bác nhận sau năm tháng ( + 0, 0425 ) 11 20 = 31, 61307166 (triệu đồng) Do bác rút trước kỳ hạn => tháng cuối nhân lãi suất 0,01% ngày (2 tháng=60 ngày) => Số tiền cuối bác nhận 31, 61307166 ( + 0, 0001) 60 = 31,803311 (triệu đồng) Câu 8: Ông An bắt đầu làm với mức lương khởi điểm triệu đồng tháng Cứ sau năm ơng An tăng lương 40% Hỏi sau tròn 20 năm làm tổng tiền lương ông An nhận (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)? A 726,74 triệu B 71674 triệu C 858,72 triệu D 768,37 triệu Hướng dẫn: Chọn đáp án D Mức lương năm đầu triệu Tổng lương năm đầu 36  2 Mức lương năm 1 + ÷  5  2 Tổng lương năm 36 1 + ÷  5  2 Mức lương năm 1 + ÷  5  2 Tổng lương năm 36 1 + ÷  5  2 Mức lương năm 1 + ÷  5  2 Tổng lương năm 36 1 + ÷  5  2 Mức lương năm 1 + ÷  5  2 Tổng lương năm 36 1 + ÷  5  2 Tổng lương năm 36 1 + ÷  5  2 Mức lương năm 1 + ÷  5 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 102  2 Mức lương năm 1 + ÷  5 Tổng lương sau tròn 20 năm  2 Tổng lương năm 24 1 + ÷  5     2  2   2 S = 36 1 + 1 + ÷ + 1 + ÷ + +  + ÷  + 24 1 + ÷     5        6  1 −  + ÷       2  = 36 + 24 1 + ÷ ≈ 768,37  2  5 − 1 + ÷  5 Câu 9: Cường độ trận động đất cho công thức M = log A − log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20 , c có cường độ đo độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nhật Bản có cường độ đo độ Richer Hỏi trận động đất San Francisco có biên độ gấp lần biên độ trận động đất Nhật bản? A 1000 lần B 10 lần C lần D 100 lần Hướng dẫn: Chọn đáp án D Gọi A1, A2 biên độ rung chấn tối đa trận động đất San Francisco Nhật Bản Phân tích Ta có M = log Tương tự A1 A → = 108 A0 A0 A2 A = 106 → = 100 A0 A2 Câu 10: Cục điều tra dân số giới cho biết Trong chiến tranh giới thứ hai (kéo dài năm); dân số năm giảm 2% so với dân số năm liền trước Vào thời hòa bình sau chiến tranh giới thứ hai dân số tăng 4% so với dân số năm liền trước Giả sử rằng, năm thứ diễn chiến tranh dân số giới tỉ người Kể từ thời điểm 10 năm sau dân số giới tỉ người? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 4,88 B 4,67 C 4,5 D 4,35 Hướng dẫn: Chọn đáp án B Phân tích 10 năm bao gồm năm chiến tranh năm hòa bình Do đó, dân số tính ( 0,98 ) ( 1, 04 ) ≈ 4, 67 tỷ người Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 103 Câu 11: Cường độ trận động đất M(độ richter) cho công thức M = log A − log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A biên độ chuẩn (hằng số) Trong tháng 9/2015, trận động đất mạnh 8,3 độ Richter xảy miền nam Chile Trong tháng 12/2016 trận động đất xảy có biên độ nhẹ 3,98 lần Cường độ trận động đất vừa xảy tháng 12 A 7,7 B 8,1 C 7,9 D 8,2 Hướng dẫn: Chọn đáp án A Ta có tháng 9/2015 có 8,3 = log A − log A0 = log A A ⇒ 108,3 = A0 A0 Gọi x cường độ trận động đất vừa xảy tháng 12 Ta có x = log A A 108,3 − log A0 = log = log ≈ 7, 3,98 3,98 A0 3,98 Câu 12: Biết tỉ lệ lạm phát hàng năm tính theo cơng thức T = log P0 100% với P0 P−1 mức giá trung bình năm P−1 mức giá trung bình năm trước (Lạm phát nói chung việc giá hàng hóa tăng lên so với mức giá thời) Tại Việt Nam, tỉ lệ lạm phát năm cho bảng sau Năm 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Tỉ lệ lạm phát 9,19% 18,58% 9,21% 6,6% 4,09% 0,63% Vậy so với năm 2010, giá loại hàng hóa năm 2015 tăng lên (làm tròn đến chữ số thập phân số ba) A 2,461 lần B 3,041 lần C 2,751 lần D 2,932 lần Hướng dẫn: Chọn đáp án A Gọi A0 giá hàng hóa năm 2009, An giá hàng hóa năm thứ n Tn tỉ lệ lạm phát năm thứ n Năm thứ (2010) T1 = log Năm thứ hai (2011) T2 = log A1 ⇒ A1 = A0 10T1 A0 A2 ⇒ A1 10T2 = A0 10T1 +T2 A1 ………………………………………………………………… Tương tự đến năm thứ n , An = A0 10 T1 + T2 + T3 + + Tn Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 104 Vậy so với năm 2010, giá loại hàng hóa năm 2015 tăng lên T2 + T3 + + T6 A6 = 10 ≈ 2, 461 A1 (lần) Câu 13: Số lượng loại vi khuẩn A phòng thí nghiệm tính theo cơng thức s ( t ) = s ( ) 2t , s ( ) số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s ( t ) số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu con? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút Hướng dẫn: Chọn đáp án C Ta có s ( 3) = s ( ) ⇒ s ( ) = s ( 3) = 78125.s ( t ) = s ( ) 2t ⇒ 2t = s( t) s ( 0) = 128 ⇒ t = Câu 14: Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S = A.e N r (trong A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên đầu năm 2025 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A ( 1.424.300;1.424.400) B ( 1.424.000;1.424.100) C ( 1.424.200;1.424.300) D ( 1.424.100;1.424.200) Hướng dẫn: Chọn đáp án C Gọi S1 dân số năm 2015, ta có S1 = 1.153.600, N = 5, A = 1.038.229 Ta có S1 = A.e N r ⇒ e N r = S1 ⇒r= A Gọi S2 dân số đầu năm 2025, ta có S1 A ln S1 15 A ln S = A.e15.r = 1.038.229.e ≈ 1.424.227, 71 Câu 15: Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo cơng thức S = A.e rt , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng, t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Hỏi số vi khuẩn sau 10 ? A 1000 B 850 C 800 D 900 Hướng dẫn: Chọn đáp án D Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 105 5r Từ giả thiết ta có 300 = 100.e ⇔ r = ln 300 − ln100 ln = 5 Tức tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn r = ln ln Sau 10 giờ, từ 100 vi khuẩn có 100.e10 = 900 Câu 16: Chuyện kể Ngày xưa, có ơng vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau Bàn cờ vua có 64 với thứ xin nhận hạt, thứ gấp đơi đầu, thứ lại gấp đơi ô thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô (từ ô thứ đến ô thứ n) lớn triệu A 18 B 19 C 20 D 21 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Bài toán dùng tổng n số hạng cấp số nhân Ta có S n = u1 + u2 + + un = + 1.2 + 1.2 + + 1.2n −1 = 2n − = 2n − −1 S n = 2n − > 106 ⇔ n > log ( 106 + 1) ≅ 19.93 Vậy n nhỏ thỏa yêu cầu 20 Câu 17: Áp suất khơng khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg( suy giảm mũ so xi với độ cao x (đo mét), tức P giảm theo công thức P = P0 e Trong Po = 760mmHg áp suất mực nước biển ( x = ) , i hệ số suy giảm Biết độ cao 1000m áp suất khơng khí 672,71 mmHg Hỏi áp suất khơng khí độ cao 3000m bao nhiêu? (Chọn kết gần nhất) A 201,81mmHg B 530,23 mmHg C 482,17 mmHg D 554,38 mmHg Hướng dẫn: Chọn đáp án B Ta có 672, 71 = 760.e10001 ⇒ i ≈ −1, 22.10−4 −4 Vậy áp suất khơng khí độ cao 3000m P = 760.e3000.1.22.10 ≈ 530, 23 mmHg Câu 18: Một nguồn âm đẳng hướng đặt điểm O có cơng suất truyền âm không đổi Mức cường độ âm điểm M cách O khoảng R tính cơng thức LM = log k (Ben) R2 với k số Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB mức cường độ âm A B Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 106 LA = (Ben) LB = (Ben) Tính mức cường độ âm trung điểm AB (làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy) A 3,59 (Ben) B 3,06 (Ben) C 3,69 (Ben) D (Ben) Hướng dẫn: Chọn đáp án C Ta có LA < LB ⇒ OA > OB Gọi I trung điểm AB.Ta có LA = log k k k ⇒ = 10 LA ⇒ OA = 2 LA OA OA 10 LB = log k k k ⇒ = 10 LB ⇒ OB = 2 LB OB OB 10 LI = log k k k ⇒ = 10 LI ⇒ OI = 2 LI OI OI 10 Ta có OI = k 1 k k =  − ( OA − OB ) ⇒ LI L LB 2  10 A 10 10 1  1 ⇒ LI = −2 log   − LA LB  10   10  1 1 ⇒ = − ÷  L L LB I ÷  10 A 10 10   ÷ ÷    ⇒ LI ≈ 3, 69 ÷ ÷  Câu 19: Một bể nước có dung tích 1m nước Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể Ban đầu bể cạn Trong đầu, vận tốc nước chảy vào bể lít/phút Trong tiếp theo, vận tốc nước chảy sau gấp đôi trước Hỏi sau khoảng thời gian bể nước đầy ? A 5,14 B 14915 giây C 350 phút D 3,14 Hướng dẫn: Chọn đáp án B Gọi n số vòi nước chảy để đầy bể Vận tốc chảy đầu 60 lit/giờ Trong đầu vòi chảy 60 lit Trong thứ hai vòi chảy 60.2 lit Trong thứ ba vòi chảy 60.22 lit … n−1 Trong thứ n vòi chảy 60.2 lit →Tổng lượng nước chảy sau n Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 107 60 ( + + 22 + + n −1 ) = 60 ( n − 1) lit → 60 ( n − 1) = 1000 ⇒ 2n = 53  53  ⇒ n = log  ÷ ≈ 4,142957 ( h )  3 ≈ 14915 ( s ) Câu 20: Một sinh viên học gia đình cho gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất kép 0,35% tháng Trong năm đầu tiên, tháng anh sinh viên rút 2,5 triệu đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Từ năm thứ hai, tháng anh rút triệu đồng Hỏi sau năm học với số tiền 100 triệu cấp thừa (thiếu) bao nhiêu? A Thừa 840 609 đồng B Thiếu 840 609 đồng C Thừa 985 288 đồng D Thiếu 985 288 đồng Hướng dẫn: Chọn đáp án C Số tiền lại sau năm 100.10 ( 1, 0035 ) 12 − 2,5.10 ( 1, 0035 ) 12 −1 0, 0035 ≈ 73697510 (đồng) Số tiền lại sau ba năm 73697510 ( 1, 0035 ) 12.3 − 2.10 ( 1, 0035) 12.3 0, 0035 −1 ≈ 6985288 (đồng) Câu 21: Trong môi trường nuôi cấy ổn định, người ta nhận thấy sau ngày số loài vi khuẩn A tăng lên gấp đơi, sau 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba Giả sử ban đầu có 100 vi khuẩn A 200 vi khuẩn B Hỏi sau ngày nuối cấy mơi trường số lượng hai loài nhau, biết tốc độ tăng trưởng loài thời điểm nhau? A × log C 10 × log B × log D 10 × log 3 Hướng dẫn: Chọn đáp án D Giả sử sau x ngày số lượng hai lồi vi khuẩn Khi ta có phương trình sau x x 100.2 = 200.310 Biến đổi phương trình ta có x x x = 2.310 ⇔ −1 x = 310 ⇔ x x 10 − = − log ⇔ x ( − log ) = 10 ⇔ x = 10 − log Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 108 Lại có − log = log = log Suy x = Vậy cần 10 = 10 × log 2 − log 3 10 × log ngày để số lượng hai loài vi khuẩn Câu 22: Biết chu kì bán hủy (hay gọi bán rã) chất phóng xạ plutơni Pu239 24360 năm (tức lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = A.e rt , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân hủy năm ( r < ) , t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10 gam năm phân hủy lại gam? A 82230 năm B 82232 năm C 82238 năm D 80922 năm Hướng dẫn: Chọn đáp án D Pu239 có chu kì bán hủy 24360 năm, ta có = 10e r 24360 ⇒ r = ln − ln10 24360 Suy phân hủy Pu239 tính theo cơng thức S = A.e Theo giải thiết, ta có = 10.e ln 5− ln10 24360 ⇒t = ln − ln10 24360 − ln10 ≈ 80922 ln − ln10 24360 Câu 23: Một điện thoại nạp pin, dung lượng pin nạp tính theo cơng thức ( Q ( t ) = Q0 − e −t ) , với t khoảng thời gian tính Q0 dung lượng tối đa (khi pin đầy) Hãy tính thời gian nạp pin điện thoại tính từ lúc cạn hết pin điện thoại đạt 90% dung lượng pin tối đa (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1,65 B 1,61 C 1,63 D 1,5 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Từ giả thiết ta có ( Q0 − e − t ) 0,9 ⇔ − e −t = 0,9Q0 ⇔ e −t = 0,1 ⇔ t = − ln ( 0,1) ≈ 1, 63 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 109 Câu 24: Một lon nước soda 80° F đưa vào máy làm lạnh chứa đá 32° F Nhiệt độ lon soda phút thứ t tính theo định luật Newton cơng thức T ( t ) = 32 + 48 ( 0.9 ) Hỏi phải làm mát lon soda để nhiệt độ 50° F ? t A 1,56 phút B 9,3 phút C phút D phút Hướng dẫn: Chọn đáp án B Nhiệt độ lon soda lại 50° F nên ta có T ( t ) = 50 ⇔ 32 + 48 ( 0.9 ) = 50 ⇔ ( 0;9 ) = t t Lấy logarit số 0,9 hai vế ta log 0,9 ( 0;9 ) = log 0,9 t 3 ⇔ t = log 0,9 ≈ 9,3 8 Câu 25: Bạn Hùng trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương khơng đủ tiền nộp học phí nên Hùng định vay ngân hàng năm năm 000 000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3% năm Sau tốt nghiệp Đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền t (không đổi) với lãi suất 0, 25% tháng vòng năm Tính số tiền t (làm tròn đến kết hàng phần trăm) hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng? A 309 718,11đồng B 312518,17 đồng C 398 402,12 đồng D 309 604,14 đồng Hướng dẫn: Chọn đáp án A Sau năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là: 4000000 ( + 0, 03) + ( + 0, 03) + ( + 0, 03) + ( + 0, 03 )  = 17236543, 24 (đồng)   Lúc ta coi bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu 17236543,24 đồng, số tiền bắt đầu tính lãi trả góp năm Suy t = 17236543, 24.0, 0025 ( + 0, 0025 ) ( + 0, 0025 ) 60 −1 60 = 309718,11 (đồng) Câu 26: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi trữ lượng dầu nước A hết sau 100 năm Nhưng nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% năm Hỏi sau năm số dầu dự trữ nước A hết? A 41,1 B 42,1 C 43 D 41 Hướng dẫn: Chọn đáp án D Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 110 Giả sử mức tiêu thụ dầu hàng năm nước A theo dự báo M lượng dầu nước A 100M Gọi xn lượng dầu tiêu thụ năm thứ n Lượng tiêu thụ năm thứ hai x2 = M × 1, 04 Lượng tiêu thụ năm thứ ba x3 = M × 1, 04 ………………… n −1 Lượng tiêu thụ năm thứ n xn = M × 1, 04 n −1 Ta có phương trình M ( + 1, 04 + + 1, 04 ) = 100 M ⇔ 1, 04n − = 100 Dùng lệnh SOLVE máy tính cầm tay giải n = 41 0, 04 Chúng ta khơng làm tròn kết lên 41,1 thực tế lượng dầu khơng để dùng đến thời gian Câu 27: Cho f x = e ( ) số tự nhiên 1+ x2 + ( x +1) m Biết f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e n với m, n m tối giản Tính m − n n A m − n = 2018 B m − n = −2018 C m − n = D m − n = −1 Hướng dẫn: Chọn đáp án D 1 = Ta có g ( x ) = + + x ( x + 1) x + ( x + 1) + x ( x + 1) x ( x + 1) Suy g ( 1) + g ( ) + g ( 3) + + g ( 2017 ) = + 2018 − e x2 + x + 1 1+ − x ( x + 1) x x +1 1 1 1 − + + − + + + − 2 2017 2018 2018 Khi f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e g ( 1) + g ( 2) + g ( 3) + + g ( 2017 ) = e 2018− = 2018 2018− 2018 = 20182 − = e ⇒ m  n = 2018 m n Vậy phép tính m − n = 20182 − − 20182 = −1 Trang 111 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Cách Đặt g ( x ) = + g ( 1) = 1 + ta có 2 x ( x + 1) 1 = + − : g ( 2) = = + = + − 2 6 1 − x x +1 Dự đoán g ( x ) = + Câu 28: Cho hai số thực dương a b thỏa mãn log a = log b = log9 ( a + b ) Tính tỉ số a b A −1 + B −1 − C 1+ D Hướng dẫn: Chọn đáp án A Đặt log a = log b = log ( a + b ) = x a = x  a −1 + a a x ⇒ b = ⇒ a ( a + b) = b ⇒  ÷ + − = ⇒ = b b b a + b = x  ( ) Câu 29: Cho a, b hai số thực dương khác thỏa mãn log a b − 8log b a b = − ( Tính ) giá trị biểu thức P = log a a ab + 2017 A P = 2019 B P = 2020 C P = 2017 D P = 2016 Hướng dẫn: Chọn đáp án A ( ) 1 8  log 2a b − 8log b a b = − ⇔ log a2 b −  log b a + ÷ = − ⇔ log a2 b − = ⇔ log a b = 3 log b a  ( ) 4 P = log a a ab + 2017 = log a a + log a b + 2017 = + + 2017 = 2019 3 3 4x Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = x Tính giá trị biểu thức +2      100  A= f  ÷+ f  ÷+ + f  ÷?  100   200   100  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 112 A 50 B 49 149 C D 301 Hướng dẫn: Chọn đáp án D x  100   ÷ = 301 Cách Bấm máy tính Casio fx 570 theo cơng thức ∑  x ÷ X =1  100 ÷ +   100 Cách Sử dụng tính chất f ( x ) + f ( − x ) = hàm số f ( x ) = 4x Ta có 4x +      49   99       98    51    50   100  A=f  ÷+ f  ÷ +  f  ÷+ f  ÷ + +  f  ÷+ f  ÷ + f  ÷+ f  ÷  100     100   100    100    100   100    100    100  = 49 + + +2 301 = 4+2 4x Chứng minh tính chất hàm số f ( x ) = x +2 4x 41− x 4x 4x Ta có f ( x ) + f ( − x ) = x + 1− x = x + = x + =1 x + + + + 2.4 + 2 + 4x Câu 31: Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P = log 2a ( a ) + 3log b  ÷ b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Hướng dẫn: Chọn đáp án D Với điều kiện đề bài, ta có P = log a b (a ) a  + 3log b  ÷ =  log a b  b 2   a  a  a a  + 3log b  ÷ = log a  b ÷ + 3log b  ÷ b b   b  b    a = 1 + log a b  + 3log b  ÷ b b   Đặt t = log a b > b (vì a > b > ) , ta có P = ( + t ) + 3 = 4t + 8t + + = f ( t ) t t ( 2t − 1) ( 4t + 6t + 3) Ta có f ' ( t ) = 8t + − = 8t + 8t − = t2 t2 t2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 113 Vậy f ' ( t ) = ⇔ t = 1 Khảo sát hàm số, ta có Pmin = f  ÷ = 15 2 Câu 32: Cho x , y số dương thỏa mãn xy ≤ y − Giá trị nhỏ P= ( 2x + y ) x + ln A 45 x + 2y y a + ln b Giá trị tích ab B 81 C 108 D 115 Hướng dẫn: Chọn đáp án B x, y dương ta có xy ≤ y − ⇔ xy + ≤ y ≤ y + ⇔ < Có P = 12 + Đặt t = x  y + ln  + ÷ x y  x , điều kiện < t ≤ y P = f ( t ) = 12 + f '( t ) = − + ln ( t + ) t t − 6t − 12 + = ; f '( t ) = ⇔ t2 t + t ( t + 2) Từ BBT suy GTNN ( P ) = ⇒a= x ≤4 y t = + 21  t = − 21 27 + ln t = 27 , b = ⇒ ab = 81 Câu 33: Tính giới hạn A = lim x→0 A A = e log ( + x ) sin x B A = ln C A = log e D A = Hướng dẫn: Chọn đáp án C Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 114 Phương pháp Sử dụng giới hạn lim ln ( + x ) x x→0 Cách giải A = lim log ( + x ) sin x x →0 lim =1 log e.ln ( + x ) x x →0 = log e.lim x→0 ln ( + x ) x = log e.1 = log e Câu 34: Cho a,b>0 thỏa mãn log a = log b = log ( a + b ) Tính b − a A b − a = −4 B b − a = C b − a = 10 D b − a = 28 Hướng dẫn: Chọn đáp án D a = 6t t t  3  4 t t t t ⇒ + = 10 ⇔  ÷ +  ÷ = (*) Đặt t = log a = log b = log ( a + b ) ⇒ b = 5 5 a + b = 10t  t t t t 3  4 3  4 Xét hàm số f ( t ) =  ÷ +  ÷ ⇒ f ' ( t ) =  ÷ ln +  ÷ ln < ⇒ (*) có nghiệm 5  5 5  5 nghiệm  a = 36 ⇒ b − a = 28 Dễ thấy t = nghiệm PT (*) ⇒  b = 64 Câu 35: Cho x, y > thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y A P = B P = C P = D P = 16 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Ta có log x + log y ≥ log ( x + y ) ⇔ log ( xy ) ≥ log ( x + y ) ⇔ x + y ≤ xy ≤ ( x + y) Khi P = x + y ≥ 2 ⇔ x+ y ≥4 ( x + y) 2 ≥ 42 = ⇒ Pmin = , dấu “=” xảy x = y = 2 Đáp án 1-C 2-A 3-D 4-C 5-B 6-A 7-A 8-D 9-D 10-B 11-A 12-A 13-C 14-C 15-D 16-C 17-B 18-C 19-B 20-C 21-D 22-D 23-C 24-B 25-A 26-D 27-D 28-A 29-A 30-D 31-D 32-B 33-C Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 115 34-D 35-C ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải thức Câu 20: Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x viết dạng lũy a a thừa với số mũ hữu tỉ có dạng x b , với phân số tối giản Khi... x < a có tập nghiệm (log a b; +∞) (4) Đồ thị hàm số y = b x có b > Số mệnh đề sai A B C D Hướng dẫn: Chọn đáp án C Các mệnh đề sai (1), (3), (4) Câu 4: Cho hàm số f ( x) = 32 x − 2.3x có đồ thị... Mệnh đề đúng? (1) Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (C ) điểm có hồnh độ x = log Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải (2) Bất phương trình f ( x) ≥ −1 có