Chuyên đề hàm số mũ lôgarit thầy lê anh tuấn có lời giải chi tiết

Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm... Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.. Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc

Trang 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa lũy thừa và căn

• Cho số thực b và số nguyên dương n (n≥2 ) Số a được gọi là căn bậc n cả của số bnếu n

a =b

• Chú ý: * Với n lẻ và b∈¡ : Có duy nhất một căn bậc n của số b, kí hiệu là n b

b<0 : Không tồn tại căn bậc n của b

*Với n chẵn: b=0 : Có một căn bậc n của b là số 0

b>0 : Có hai căn bậc n của b là hai số đối nhau, căn có giá trị

dương kí hiệu là n b , căn có giá trị âm kí hiệu là −n b

*

n

α = ∈¡ a∈¡ aα =a n =a a a (n thừa số a)0

2 Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

o Khi xét lũy thừ với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

o Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Một số tính chất của căn bậc n

• Với a b, ∈¡;n∈¡ ta có:*,

Trang 2

2n a2n = a,∀a; 2n+ 1a2n+ 1 = ∀a a,

2n ab =2n a2n b,∀a b, ≥0; 2n+ 1ab =2n+ 1a2n+ 1b,∀a b,

2 2

n n

n

a a

n n

n =m thì n a p =m a q,∀ >a 0,m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặcbiệt: n a =nm a m

B CÁC DẠNG CÂU TẬP

Dạng 1 Viết biểu thức về dạng lũy thừa

Câu 1: Viết biểu thức 2 40,753

16 về dạng lũy thừa 2m ta được m=?

6 3

Trang 3

− ∉¢ nên ( )−3 −13không có nghĩa Vậy đáp án B đúng.

Câu 6: Cho n∈¥;n≥2 khẳng định nào sau đây đúng?

A. a1n =n a,∀ ≠a 0 B. a1n = n a,∀ >a 0

C. a1n =n a,∀ ≥a 0 D. a1n = n a,∀ ∈a ¡

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

Đáp án B đúng Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a a a a a a : 1116

Câu 7: Cho số thực dương a Rút gọn biểu thức a a a a a : 1116

1 2

1 4

Trang 5

3 12 6

a b P

Trang 7

Câu 20: Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy

thừa với số mũ hữu tỉ có dạng x với a b, a b là phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a

   

Trang 8

A. Cả (I) và (II) đề sai B. (I) sai; (II) đúng.

C. (I) đúng; (II) sai D. Cả (I) và (II) đều đúng

Trang 9

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa:

Cho hai số dương a, b với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ

số a của b và kí hiệu là log a b Ta viết α =loga b⇔aα =b

3 Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a b b với , ,1 2 a≠1, ta có

• loga(b b1 2) =loga b1+loga b2

4 Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a b b với , ,1 2 a≠1, ta có

c

b b

7 Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Viết: log10b=logb=lgb

• Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Viết: loge b=lnb

Trang 10

Ta có log 4 log 1 2 4 2log 4 log 16

+Trắc nghiệm Nhập biểu thức vào máy tính và nhấn calc ta thu được kết quả bằng 3.

Câu 3: Cho a>0,a≠1,giá trị của biểu thức 2ln 3log 3 2

Ta có A=log 2 log 3 log 2000 log 1.2.3 2000x + x + + x = x( )=logx x=1

Câu 5: Biểu thức log 2sin2 log cos2

Trang 11

Câu 6: Cho log3x=4log3a+7 log3b a b( , >0 ) Giá trị của x tính theo a, b là.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

4log a+7 log b=log a b ⇒ =x a b

Câu 7: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn alog 7 3 =27,blog 11 7 =49,clog 25 11 = 11 Giá trị của biểuthức (log 7 3 )2 (log 11 7 )2 (log 25 11 )2

log 7 log 11 log 25 27log 7 49log 11 11 73 112 252 469

Câu 8: Cho a>0,b>0, nếu viết

0,2 10

Ta có log log3( 2a) = ⇒0 log2a= ⇒ =1 a 2

Câu 10: Giá trị của biểu thức

Trang 12

+Trắc nghiệm Sử dụng máy tính, Thay a=2, rồi nhập biểu thức

+Tự luận Ta có a=log 15 log 3.53 = 3( ) = +1 log 53 ⇒log 53 = −a 1

Khi đó, log 503 ⇒2log 5.103( ) =2 log 5 log 10( 3 + 3 ) =2(a− +1 b)

+Trắc nghiệm

Sử dụng máy tính gán lần lượt log 15;log 10 cho A,3 3

Lấy log 50 trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.3

Tìm các khẳng định đúng / khẳng định sai trong các biểu thức logarit đã cho.

Câu 12: Với giá trị nào của x thì biểu thức ( ) ( 3 2 )

a

c c

b

= D. loga b>loga c⇔ >b c

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

Câu D sai, vì khẳng định đó chỉ đúng khi a>1, còn khi 0< < ⇒a 1 loga b>loga c⇔ <b c

Câu 14: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

loga x =2loga x x >0 B.

C. loga xy=loga x+loga y D. loga xy=loga x +loga y xy( >0)

Trang 13

Do ,x y > ⇒0 loga xy=loga x +loga y xy( >0)

Câu 15: Cho ,x y>0 và x2+4y2 =12 xy Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

6log

6log5

+ Trắc nghiệm Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả

>0 thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả <0 thì đổi số trừ thành số

bị trừ và thay số

trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả

Câu 17: Các số log 2,log 3,log 11 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là.3 2 3

A. log 2,log 11,log 33 3 2 B. log 2,log 3,log 113 2 3

C. log 3, log 2,log 112 3 3 D. log 11,log 2,log 33 3 2

Ta có log 2 log 3 1 log 2 log 3 log 113 < 3 = = 2 < 2 < 3

Câu 18: Với giá trị nào của m thì biểu thức f x( ) =log 5(x m− ) xác định với mọi

( 3; )

x∈ − +∞

A. m> −3 B. m< −3 C. m≤ −3 D. m≥ −3

Trang 14

Biểu thức f x xác định ( ) ⇔ − > ⇔ >x m 0 x m

Để f x xác định với mọi ( ) x∈ − +∞( 3; ) thì biểu thức m≤ −3

Câu 19: Với giá trị nào của m thì biểu thức ( ) 1( ) ( )

Trang 15

C. log2a .log2b .log2c 1

+ Nếu x=2 suy ra y= −1 nên x y+ =1

+ Nếu x=1 suy ra y=1 nên x y+ =2

+ Nếu x=0 suy ra y=3 nên x y+ =3

Trang 16

2 2

1 log 2 log 2

log 5

05

Trang 17

Câu 1: Nghiệm của phương trình 2x+2x+ 1= +3x 3x+ 1 là.

Câu 2: Nghiệm của phương trình 2 2

x x

=



 =

Cách khác Thử đáp án bằng nút Calc

Câu 3: Nghiệm của phương trình 6.4x−13.6x+6.9x =0 là

Trang 18

Câu 6: Phương trình sin 2 cos 2

2 x+ 16x

-= Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D. Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

Trang 19

Û

23

370

Cách khác Dùng casio bằng tổ hợ phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm

Câu 8: Phương trình 28 -x2.58 -x2 =0,001.(10 )5 1 -x có tổng các nghiệm là

Cách khác Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm

Câu 10: Cho phương trình 1

4.4x- 9.2x++ = Gọi 8 0 x x là hai nghiệm của phương trình1, 2

Trang 20

4t -18 8 0t+ = Û

412

t t

é =êê

=êë

Û 1

2

21

x x

é =ê

ê ëVậy x x1 2 =-1.2=- 2

=-Cách khác Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm

Câu 11: Cho phương trình9x2 + -x1-10.3x2 + -x 2+ = Tổng tất cả các nghiệm của phương trình1 0là

t t

é =êê

=êë

3

x x

+ + -

êê

ê

Û

2101

x x x x

é ê

=-ê =ê

ê =ê

êVậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2

=-Cách khác Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm

Câu 12: Phương trình 9x- 5.3x+ = có tổng các nghiệm là.6 0

A. log 6 3 B. 3

2log

3log

é =ê

ê =ë

( )( )

N N

Với t= Þ2 3x = Û2 x=log 2.3

Với t= Þ3 3x = Û3 x=log 3 1.3 =

Suy ra 1 log 2 log 3 log 2 log 6+ 3 = 3 + 3 = 3

Câu 13: Phương trình 5x+251 -x = có tích các nghiệm là.6

Trang 21

1 212

t t

t

é

ê =ê

ê =êê

-ê =ê

( )( )( )

Câu 14: Phương trình 2x- 3 =3x2 - 5x+ 6 có hai nghiệm x x trong đó 1, 2 x1 < , hãy chọn phátx2

é - =ê

3( 2) log 3 1

x x

é =ê

x x

é =ê

3log 2 log 9

x x

é =ê

3log 18

x x

é =ê

x x

é =ê

ê =ëSuy ra 3x1- 2x2 =log 8.3

Câu 15: Phương trình 3 3 3 3 4 4 3

3+x+3- x+3+x+3 -x =10 có tổng các nghiệm là ?

Trang 22

y= ⇒ = ⇔ = −x

Câu 16: Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 2x2 + 4 =22(x2 + 1)+ 22(x2 + 2)−2x2 + 3+1 Khi

2

3 10log

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0

ĐẾM NGHIỆM

Trang 23

Câu 17: Phương trình 1 1

9

x x

• Vậy phương trình có một nghiệm âm

Câu 18: Số nghiệm của phương trình

+

 +  ÷ − =

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0,x=1

Câu 19: Cho phương trình 21 2 + x+15.2x− =8 0, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Có hai nghiệm âm B. Vô nghiệm

C. Có hai nghiệm dương D. Có một nghiệm

Trang 24

Cách khác Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.

Câu 20: Phương trình ( 3− 2)x+( 3+ 2)x =( 10)x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=2

Câu 21: Phương trình 32x+2 (3x x+ −1) 4.3x− =5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1

Câu 22: Hỏi phương trình 3.2x+4.3x+5.4x=6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Trang 25

Cách khác Dùng casio bằng tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình tìm nghiệm.

Câu 23: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2 41 24 1 4

x x

+ ≥ dấu bằng xảy ra khi

2

x= suy ra 2 41 24 1 4, 0

x x

+ < ∀ <

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 24: Cho phương trình (7 4 3)+ x+ +(2 3)x =6 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ B. Phương trình có một nghiệm hữ tỉ

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu D. Tích của hai nghiệm bằng -6

(7 4 3)+ x+ +(2 3)x =6 (8)

Trang 26

21-A 22-C 23-D 24-A

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2 Câu 1: Cho bất phương trình a x >b a( >1,b>0) Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là

Trang 27

A. (log ;a b +∞) B. (−∞;log )a b

Câu 2: Cho đồ thị hàm số y a= x và đường thẳng y b= được biểu diễn bởi hình vẽ sau

Tập nghiệm của bất phương trình x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(1) Đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số ( )C tại điểm có

hoành độ là x=log 2.3

Trang 28

(2) Bất phương trình ( ) f x ≥ −1 có nghiệm duy nhất.

Suy ra (1) đúng, (4) sai;

Bất phương trình ( )f x ≥ −1 đúng với mọi x

Bất phương trình ( ) 0f x ≥ có tập nghiệm là (log 2;3 +∞). Nên (2) và (3) sai.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( 1; 2)−

Cách khác Dùng kỹ thuật giải ngược để thử đáp án

Câu 6: Cho hàm số f x( ) 2 3= 2x sin 2x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. f x( ) 1< ⇔ xln 4 sin+ 2 xln 3 0.< B. f x( ) 1< ⇔ xlog 2 sin3 + 2x<0

C. f x( ) 1< ⇔2x+2sin log 3 0.x 2 < D. f x( ) 1< ⇔ +2 x2log 3 0.2 <

2 3

139

Trang 29

< −



− < <

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 16x− − ≤4x 6 0 là

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình 3 3

x x

>



 <

Cách khác Dùng kỹ thuật giải ngược để thử đáp án

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 1 11

Trang 30

Câu 12: Cho bất phương trình

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(1; 2)

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 5.4x+2.25x−7.10x ≤0 là

Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình 3x+ 1−22x+ 1−122<0 là

Trang 31

Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình

3

32

23

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình 2x+4.5x− <4 10x là

A. 0< <x 2 B. x<0 C. x>2 D. 0

2

x x

<



 <

 ⇔ ∈ −∞x ( ;0) (2;∪ +∞)

Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x −21 − x <1 là

Trang 32

Cách khác Dùng kỹ thuật giải ngược để thử đáp án.

Câu 19: Cho bất phương trình 11 1

t t

Vậy tập nghiệm của BPT là S= −( 1;0] (1;∪ +∞)

Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình 4x2+3 x x+31 + x <2 3x2 x +2x+6 là

(log 2;+∞) D.

2

3

3[0;log 2) ;

Trang 33

Vậy tập nghiệm của BPT là 32

3[0;log 2) ;

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 3 Câu 1: Cho hàm số ( ) 2

Trang 34

(1) Đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số (C) tại một điểm có hoành độ là số nguyên

(2) Phương trình f x( ) = −1 có nghiệm duy nhất

(3) Phương trình f x( ) =1 có nghiệm duy nhất

(4) Đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

Nhìn trên đồ thị ta thấy Đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt

nhưng chỉ có một điểm có hoành độ là số nguyên x=1 Phương trình f x( ) = −1, f x( ) =1

có nhiều hơn một nghiệm

Nhận xét Việc quan sát đồ thị giúp chọn nhanh đáp án thay vì giải phương trình

Câu 2: Cho hàm số f x( ) = lnx có đồ thị (C) như hình vẽ và các phát biểu sau.

(1) Đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số (C) tại một điểm có hoành

độ là số nguyên

(2) x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình f x( ) =0

(3) Phương trình f x( ) =1 có nghiệm duy nhất

(4) Đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.

Trang 36

2log 2 0

x x

X = (số nhỏ nhất) ta thấy sai Vậy loại đáp án A

Nhấn CALC và cho X =1 ta thấy sai Vậy loại đáp án D

Nhấn CALC và cho X =2 ta thấy sai Vậy loại đáp án C

Câu 10: Nghiệm lớn nhất của phương trình 3 2

log x 2log x 2 logx

Trang 37

Nhập vào màn hình máy tính −log3 X +2log2 X− +2 logX

Nhấn CALC và cho X =1000 (số lớn nhất) ta thấy sai Vậy loại đáp án D

Nhấn CALC và cho X =100 ta thấy đúng

TM x

Thay x=1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3 0= vô lý, vậy loại B, D

Thay x= −1 vào log 25( x−1) ta đượclog5( )−3 không xác định, nên loại A

Câu 12: Số nghiệm của phương trình log4(x+12 log 2 1) x = là

Trang 38

x x

Trang 39

2x 2 x 2

⇔ = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=2

Cách khác dùng máy tính casio với tổ hợp phím Shift Calc để giải phương trình hoặc đếm sốnghiệm của phương trình (như trong bài giảng)

Câu 16: Phương trình log 3.22( x 1) 2 1

Ấn SHIFT CALC nhập X =5, ấn = Máy hiện X =0

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC Viết lại phương trình log 3 22( 1) 2 1

Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 = Máy hiện X = −1

Ấn Alpha X Shift STO

Ấn AC Viết lại phương trình ( )

Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn = Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm Vậy đã hết nghiệm

Câu 17: Số nghiệm của phương trình ln(x2−6x+ =7) ln(x−3) là

Trang 40

Nhập vào màn hình máy tính ln(X2−6X + −7) ln(X − =3) 0

Ấn SHIFT CALC nhập X =4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn = Máy hiện X =5

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC Viết lại phương trình ( 2 ) ( )

Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =

Máy không giải ra nghiệm Vậy đã hết nghiệm

Câu 18: Hỏi phương trình 2 ( )3

3x −6x+ln x+1 + =1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Trang 42

1

3

21

8

2

x

x x

6

x

x x

2

1

2 2

2

x x

x

x x

Trang 43

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

04116

Trang 44

Câu 25: Biết phương trình log 9 log 9 log 27 3

4 x−6.2 x+2 =0 có hai nghiệm x x Khi đó 1, 2 2 2

Trang 45

x +x = − C. 13 23

20494

x +x = − D. 13 23

20474

2 3

2 8log 3

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 3 13 23

8;

44

Định dạng
Số trang	115
Dung lượng	6,72 MB