Sách tham khảo lý thuyết toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG BỘ MƠN TỐN- KHOA CƠ BẢN Th.S Nguyễn Thị Toàn (Chủ biên) TS Vương Thị Thảo Bình ThS Phùng Duy Quang SÁCH THAM KHẢO LÝ THUẾT TỐN CAO CẤP (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC- 2010 Lời mở đầu Theo chương trình khung Bộ Giáo dục & Đào tạo quy định cho chương trình mơn học Tốn Cao cấp sinh viên khối Kinh tế trường Đại học, nhóm Giảng viên thuộc Bộ mơn Tốn trường Đại học Ngoại Thương biên soạn sách tham khảo “lý thuyết Toán Cao cấp1” Học phần Toán Cao cấp (hay cịn gọi Đại số tuyến tính) giảng dạy trường đại học Ngoại Thương cho sinh viên ngành: Kinh tế & Kinh doanh Quốc tế, Tài Ngân hàng, Kinh tế Quốc tế, Quản trị Kinh doanh Quốc tế Cuốn sách cung cấp cho độc giả kiến thức có hệ thống phần Đại số tuyến tính mơn học Tốn Cao cấp; giúp sinh viên trường Đại học & Cao đẳng nói chung trường Đại học Ngoại Thương nói riêng đạt mục tiêu mơn học đề Ngồi sách cịn cung cấp cho độc giả phần kiến thức Toán học Cao cấp làm sở để lĩnh hội môn khoa học khác ứng dụng giải số tốn thực tiễn, chẳng hạn như: tốn tìm phương án tối ưu hàm tuyến tính với ràng buộc tuyến tính, xây dựng vài mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế, Cấu trúc sách bao gồm: lời mở đầu, bảng ký hiệu, bảng chữ viết tắt, mục lục, nội dung, tài liệu tham khảo Phần nội dung bố cục thành chương phân công sau: ThS Phùng Duy Quang phụ trách viết chương chương 5; T.S Vương Thị Thảo Bình phụ trách viết chưong 2, Th.S Nguyễn Thị Toàn phụ trách viết chương chương Nội dung cụ thể chương sau: Chương 1: Tập hợp ánh xạ - trình bày kiến thức tổng quan tốn học như: Tập hợp, ánh xạ, phép tốn hai ngơi, số cấu trúc đại số Chương 2: Ma trận định thức - trình bày khái niệm ma trận, định thức; phép toán ma trận, hạng ma trận, ma trận nghịch đảo ma trân vng; tính chất định thức phương pháp tính định thức Chương 3: Khơng gian véc tơ - trình bày khái niệm, tính chất, mối quan hệ tuyến tính vectơ khơng gian vectơ tổng quát; không gian vectơ R n, không gian khơng gian vectơ; tích vơ hướng khơng gian Euclid E n Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính - trình bày khái niệm hệ phương trình tuyến tính; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính có hệ thống vài mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế Chương 5: Ánh xạ tuyến tính dạng tồn phương – trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính, ma trận ánh xạ tuyến tính; vectơ riêng giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính; khái niệm dạng tồn phương phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc Từ kinh nghiệm đúc rút qua thực tiễn việc tham khảo kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp giảng dạy mơn Tốn cao cấp nhiều năm trường đại học; biên soạn sách đặc biệt quan tâm đến mối quan hệ lý thuyết việc thực hành giải tập Sau khái niệm có ví dụ minh họa, tính chất, định lý hệ quả, Đặc biệt sau chương có số tập nhằm giúp độc giả củng cố lý thuyết, rèn luyện kỹ thực hành giải tập Chúng hy vọng sách mang đến cho độc giả kiến thức bổ ích, đồng thời mong nhận sáng tạo từ phía bạn đọc Tập thể tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Ban Giám Đốc Quản lý Dự án FTUTRIP, Phòng Quản lý Khoa học trường Đại học Ngoại Thương cám ơn ban Biên tập Nhà xuất tạo điều kiện cho việc đời sách Chúng xin cám ơn thầy cô giáo Bộ mơn Tốn- Khoa Cơ Bản trường đại học Ngoại Thương có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho nội dung sách Cuốn sách lần xuất nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tập thể tác giả mong nhận ý kiến đóng góp từ phía độc giả để sách hoàn thiện lần tái sau Mọi góp ý xin gửi Bộ mơn Tốn- Khoa Cơ Bản- Trường Đại học Ngoại Thương Trân trọng cám ơn! Hà nội, ngày 15 tháng năm 2010 Các tác giả BẢNG CÁC KÝ HIỆU A =[aij]m xn A a ijm x n : ma trận cấp m x n A =[aij]n x n A a ijn x n : ma trận vuông cấp n mxn (0)mxn : ma trận không cấp m x n :vectơ không En : ma trận đơn vị cấp n det(A) A : định thức ma trận vuông A Trường K truờng số thực R trường số phức C Mat mxn (K): tập ma trận cấp m x n với phần tử trường K Mat n (K): tập ma trận vuông n với phần tử trường K 12 n1 n : hoán vị n số tự nhiên 1, 2, 3, … , n N( ): số nghịch hốn vị Di (Ci): dịng (cột) thứ i ma trận A Di D (Cj i C )j : hốn vị dịng (cột) i cho dịng (cột) j kDi (kCi) : nhân dòng (cột) i lên k lần kDi + Dj (kCi + Cj) : nhân dòng (cột) i lên k lần cộng vào dòng (cột) j AT : ma trận chuyển vị ma trận A A : ma trận phụ hợp ma trận vuông A Mij : định thức cấp n- có từ định thức ma trận vuông A cách bỏ dòng i cột j Aij = (-1)i + i.Mij : phần phụ đại số phần tử aij A-1 : ma trận nghịch đảo ma trận vuông A r(A) : hạng ma trận A dimE: chiều không gian véc tơ E L[U]: bao tuyến tính U khơng gian véc tơ sinh hệ véc tơ U ~ A : B : ma trận bổ sung hệ phương trình A.X = B A Dn : định thức cấp n E : không gian riêng ứng với giá trị riêng det(A - E ): đa thức đặc trưng ma trận vuông A : tích vơ hướng vectơ x vectơ y x :chuẩn vectơ x Pn(x): tập hợp đa thức có bậc nhỏ hay n n( N)của x, với hệ số thực P* S x : tập hợp đa thức có bậc tùy ý biến x, với hệ số thực X X1,2, , Xm : tập S có m phần tử: X X1,2, , Xm Rn : tập hợp phần tử có n thành phần thực Rank(f): hạng ánh xạ f Ker(f): nhân ánh xạ f Dim(f): ảnh ánh xạ f BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT Đltt: độc lập tuyến tính Đltttđ: độc lập tuyến tính tối đại Pttt: phụ thuộc tuyến tính Đpcm: điều phải chứng minh MỤC LỤC Nội dung Trang CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các phép toán tập hợp 10 1.2 Ánh xạ 11 1.2.1 Khái niệm ánh xạ 11 1.2.2 Phép toán ánh xạ 11 1.3 Cấu trúc đại số 12 1.3.1 Cấu trúc nhóm 12 1.3.2 Cấu trúc vành 13 1.3.3 Cấu trúc trường 13 1.4 Trường số thực 13 1.5 Trường số phức 14 1.5.1 Khái niệm 14 1.5.2 Các phép toán trường số phức 15 1.5.3 Giải phương trình 18 Bài tập chương 18 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 21 2.1 Một số khái niệm ma trận 21 2.2 Các phép toán ma trận 23 2.2.1 Phép cộng hai ma trận cấp 23 2.2.2 Phép nhân vô hướng ma trận với số thực 24 2.2.3 Tích hai ma trận 24 2.3 Định thức 26 2.3.1 Hoán vị 26 2.3.2 Định thức ma trận vuông 28 2.3.3 Các tính chất định thức 31 2.3.4 Một số phương pháp tính định thức 35 2.3.5 Định thức ma trận tích 42 2.4 Hạng ma trận 43 2.4.1 Khái niệm 43 2.4.2 Một số phương pháp tính hạng ma trận 44 2.4.2.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp 44 2.4.2.2 Phương pháp định thức 45 2.5 Ma trận nghịch đảo 47 2.5.1 Khái niệm 47 2.5.2 Sự ma trận nghịch đảo 47 2.5.3 Sự tồn ma trận nghịch đảo 47 2.5.4 Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 48 Bài tập chương 52 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ 56 3.1 Khái niệm không gian vectơ 56 3.1.1 Không gian vectơ tổng quát 56 3.1.2 Không gian vectơ Rn 58 3.2 Tính chất khơng gian vectơ 59 3.3 Mối quan hệ tuyến tính vectơ khơng gian vectơ V 60 3.3.1 Các định nghĩa 60 3.3.2 Các tính chất 62 3.4 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ 63 3.4.1 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ V 63 3.4.2 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ Rn 71 3.5 Không gian vectơ 74 3.6 Tích vơ hướng không gian Rn 77 Bài tập chương 81 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 85 4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 85 4.1.1 Các định nghĩa 85 4.1.2 Các phép biến đổi đương đương hệ phương trình: 86 4.2 Cách giải hệ phương trình 88 4.2.1 Hệ phương trình dạng tam giác dạng bậc thang 88 4.2.1.1 Hệ phương trình dạng tam giác 88 4.2.1.2 Hệ phương trình dạng bậc thang 89 4.2.2 Hệ Cramer 90 4.2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 93 4.2.3.1 Điều kiện cần đủ để hệ phương trình có nghiệm 93 4.2.3.2 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính 94 4.2.4 Hệ phương trình tuyến tính 97 4.2.4.1 Các tính chất nghiệm hệ phương trình tuyến tính 97 4.2.4.2 Mối liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tương ứng 100 4.3 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 10 4.3.1 Mơ hình cân thị trường n hàng hóa có liên quan 101 4.3.2 Mơ hình cân đối liên ngành (mơ hình Input-Output Leontief ) 103 Bài tập chương 107 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 111 5.1 Ánh xạ tuyến tính 111 5.1.1 Các khái niệm 111 5.1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 113 5.1.2.1 Khái niệm 113 5.1.2.2 Ma trận chuyển sở 114 5.1.2.3 Ma trận biến đổi tuyến tính chuyển sở 115 5.2 Giá trị riêng véc tơ riêng 116 5.2.1 Các khái niệm 116 5.2.2 Chéo hố ma trận vng 118 5.2.2.1 Các khái niệm 118 5.2.2.2 Điều kiện chéo hoá 119 5.2.2.3 Chéo hoá ma trận đối xứng thực ma trận trực giao 121 5.3 Dạng toàn phương 124 5.3.1 Các khái niệm 124 5.3.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 125 5.3.2.1 Phương pháp Lagrange 125 5.3.2.2 Phương pháp Jacobi 127 5.3.2.3 Phương pháp biến đổi trực giao 128 5.3.2.4 Luật quán tính dạng toàn phương 129 Bài tập chương 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO 134 CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm Trong ngôn ngữ hàng ngày, ta thường dùng đến khái niệm tập hợp: tập hợp sinh viên có mặt lớp học, tập hợp câu hỏi trắc nghiệm mơn Tốn cao cấp 1, … Ở ta không định nghĩa tập hợp mà mơ tả dấu hiệu hay tính chất cho phép ta nhận biết tập hợp phân biệt với tập hợp khác Ta coi tập hợp khái niệm nguyên thuỷ giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng hình học Các đối tượng lập nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Người ta thường dùng chữ A, B, C, …để ký hiệu tập hợp phần tử tập hợp thường ký hiệu a, b, c, … Nếu a phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a A (đọc là: a thuộc A) Nếu a không phần tử tập hợp A ta ký hiệu : a A (đọc : a không thuộc A) Lực lượng tập hợp: Số phần tử tập hợp người ta gọi lực lượng tập hợp Một tập gọi hữu hạn gồm số định phần tử Một tập hợp gồm vô hạn phần tử gọi tập hợp vô hạn Người ta phân biệt: Tập hợp vô hạn đếm tập hợp số phần tử vơ hạn song đánh số thứ tự phần tử Tập hợp vơ hạn khơng đếm tập có vơ số phần tử khơng có cách đánh số thứ tự phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu: Ví dụ 1.1 Tập A x R :x 3x 20 1,2 tập hữu hạn Tập số tự nhiên N tập vô hạn đếm Tập số thực [0 ; 1] tập vô hạn không đếm Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp A, B Nếu phần tử A phần tử B tập A gọi tập B, ký hiệu A B (A bao hàm B B chứa A) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu : A B B 1.2 N Z Q R C A C Ví dụ Quy ước tập rỗng tập tập hợp Định nghĩa 1.2 Nếu A tập B B tập A ta nói A B Ký hiệu A = B Cách cho tập hợp: Người ta thường cho tập hợp cách: Liệt kê tất phần tử tập hợp Nêu tính chất đặc trưng phần tử tập hợp 1.1.2 Các phép tốn tập hợp Giả sử A, B, C, … tập tập hợp E Có thể xây dựng E tập hợp dựa tập hợp phép tốn sau: Định nghĩa 1.3 (hợp hai tập hợp) Hợp hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A hai tập B) gồm tất phần tử thuộc x A Mơ tả phần tử tập A B x: x B Định nghĩa 1.4 (giao hai tập hợp) Giao hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A thời hai tập B) gồm phần tử thuộc đồng x A Mô tả phần tử tập A Nếu A B x: x B B ta nói tập hợp A, B không giao hay rời Định nghĩa 1.5 (hiệu hai tập hợp) Hiệu hai tập A B tập hợp (ký hiệu A\B) gồm phần tử thuộc A không thuộc B x A Mô tả phần tử tập A \ B x: x B Đặc biệt, hiệu E\A gọi phần bù A E, ký hiệu A Định nghĩa 1.6 (Tích đề hai tập hợp) Tích đề hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A x B) gồm phần tử có hai thành phần, thành phần thứ thuộc tập A thành phần thứ hai thuộc tập B Mô tả phần tử tập A xB (a;b):a A;b B Đặc biệt, A = A x A = {(a ; b) : a, b A} Tương tự, ta mở rộng cho tích đề n tập hợp Các tính chất phép toán tập hợp: Giả sử A, B, C tập hợp tập E Các phép tốn hợp, giao, bổ sung có tính chất sau : ... học Tốn Cao cấp sinh viên khối Kinh tế trường Đại học, nhóm Giảng viên thuộc Bộ mơn Tốn trường Đại học Ngoại Thương biên soạn sách tham khảo ? ?lý thuyết Toán Cao cấp1 ” Học phần Toán Cao cấp (hay... mục tiêu mơn học đề Ngồi sách cịn cung cấp cho độc giả phần kiến thức Toán học Cao cấp làm sở để lĩnh hội môn khoa học khác ứng dụng giải số toán thực tiễn, chẳng hạn như: toán tìm phương án tối... rút qua thực tiễn việc tham khảo kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp giảng dạy mơn Tốn cao cấp nhiều năm trường đại học; biên soạn sách đặc biệt quan tâm đến mối quan hệ lý thuyết việc thực hành