Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 1

Tài liệu Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3) phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Tích phân bất định; Phương pháp đổi biến; Các lớp hàm khả tích trong lớp các hàm sơ cấp; Tích phân xác định Riemann; Tích phân suy rộng;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan L´ y thuyˆe´t chuˆo˜ i Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n `an u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` 4 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 12 21 11 T´ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh - i.nh ngh˜ıa 11.1.1 D - iˆ `eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 11.1.2 D 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 11.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 89 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `eu biˆ 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p `en ch˜ u nhˆa.t 12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p `en h`ınh hˆo.p 12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.2.3 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.1.2 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.2.2 Chuˆ˜o i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n - iˆ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13.3.2 D 13.4 Chuˆo˜ i Fourier 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `e su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜ i Fourier 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d a˘’ ng cˆa´p 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244 `an 247 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264 `an nhˆa´t 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe sˆo´ h˘`ang 273 14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘`ang290 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ 15 Kh´ niˆ e.m vˆ an da.o h` am riˆ eng 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p d o.n gia’n nhˆa´t 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co ba’n `en s´ong 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace T` liˆ e.u tham kha’o 304 306 310 313 314 317 320 327 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆen h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh o’i biˆe´n 12 ap dˆ 10.1.2 Phu.o.ng ph´ `an 21 ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ am kha’ t´ıch l´ o.p c´ ac h` am 10.2 C´ ac l´ o.p h` a´p 30 so cˆ 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o.t sˆ o´ h` am vˆ o ty’ do.n gia’n 37 ac 48 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o ng gi´ 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh - i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f (x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi http://tieulun.hopto.org 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan ta.i mˆo˜ i diˆe’m cu’a khoa’ng v`a F (x) = f(x) - i.nh l´ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` `e su tˆ am liˆen tu.c trˆen D y 10.1.1 (vˆ `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b) - i.nh l´ D y 10.1.2 C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆ o.t h` am l` a chı’ `ng sˆ o.t h˘ a o´ cˆ o.ng kh´ ac bo’ i mˆ Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o c˜ ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , cos x sin x , , , l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so cˆa´p cos(x2), sin(x2), lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) v`a du.o c k´ y hiˆe.u l`a f (x)dx Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 f(x)dx = F (x) + C, C∈R `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a d´o C l`a h˘`ang sˆo´ t` uy y ´ v`a d˘a’ng th´ u.c cˆ u.c gi˜ hai tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 1) d f (x)dx = f(x)dx 2) f (x)dx 3) df(x) = = f (x) f (x)dx = f(x) + C ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co T` u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh I 0.dx = C II 1dx = x + C xα+1 + C, α = −1 α+1 III xαdx = IV dx = ln|x| + C, x = x V axdx = ax + C (0 < a = 1); lna ex dx = ex + C VI sin xdx = − cos x + C VII cos xdx = sin x + C VIII π dx = tgx + C, x = + nπ, n ∈ Z cos x IX X XI dx = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z sin2 x  arc sin x + C, dx √ −1 < x < = − x2 −arc cos x + C  arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± (trong tru.`o.ng ho p dˆa´u tr` u th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1) XII XIII √ dx 1+x + C, |x| = = ln 1−x 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: http://tieulun.hopto.org 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 1) kf (x)dx = k 2) [f(x) ± g(x)]dx = 3) Nˆe´u f (x)dx, k = f (x)dx ± g(x)dx f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı f (u)du = F (u) + C ´ V´I DU CAC V´ı du Ch´ u.ng minh r˘`ang h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = h`am y = signx l`a h˘a`ng sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), < a < b ta c´o signx = v`a d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < < b Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘`ang sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = T` u d´o, theo di.nh ngh˜ıa h`am signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < < b V´ı du T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f (x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ `en x > mˆo.t Gia’i V´o.i x ta c´o e|x| = ex v`a d´o miˆ c´ac nguyˆen h`am l`a ex Khi x < ta c´o e|x| = e−x v`a vˆa.y `en x < mˆo.t c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘`ang miˆ sˆo´ C bˆa´t k` y Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´ u.c l`a = −1 + C ⇒ C = Nhu vˆa.y   ex nˆe´u x > 0,   F (x) = nˆe´u x = 0,    −e−x + nˆe´u x < l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´ u.ng minh r˘`ang F (x) l`a nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > ta c´o `an pha’i F (x) = ex = e|x|, v´o.i x < th`ı F (x) = e−x = e|x| Ta c`on cˆ ch´ u.ng minh r˘a`ng F (0) = e0 = Ta c´o F (x) − F (0) ex − = lim = 1, x→0+0 x→0+0 x x F (x) − F (0) −e−x + − = lim = F− (0) = lim x→0−0 x→0−0 x x Nhu vˆa.y F+ (0) = F− (0) = F (0) = = e|x| T` u d´o c´o thˆe’ viˆe´t:  ex + C, x ∀ x 2x2 + = f(x) = x + 3x + 2+ Ta c´o x2 · x+ + x x V´o.i x du’ l´o.n h`am f(x) c´o d´ang diˆe.u nhu Do d´o ta lˆa´y h`am x ’ ϕ(x) = dˆe so s´anh v`a c´o x f(x) (2x2 + 1)x = lim = = lim x→+∞ ϕ(x) x→+∞ x + 3x + ∞ dx phˆan k` y nˆen theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh II t´ıch phˆan d˜a x V`ı t´ıch phˆan cho phˆan k` y V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan ∞ dx √ · x3 − 12 http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 103 Gia’i Ta c´o bˆa´t d˘a’ng th´ u.c √ x3 −1 x > x > ∞ dx phˆan k` y, d´o theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh I t´ıch x Nhu.ng t´ıch phˆan y phˆan d˜a cho phˆan k` V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu v`a d˘a.c t´ınh hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan +∞ sin x dx x `an mˆo.t c´ach h`ınh th´ `au tiˆen ta t´ıch phˆan t` Gia’i Dˆ u.c u.ng phˆ +∞ +∞ cos x sin x dx = − x x − 1 +∞ cos x dx = cos − x2 +∞ cos x dx x2 (11.30) +∞ cos x dx hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i, d´o n´o hˆo.i tu Nhu vˆa.y x2 ca’ hai sˆo´ ha.ng o’ vˆe´ pha’i (11.30) h˜ u.u ha.n T` u d´o suy ph´ep t´ıch `an d˜a thu c hiˆe.n l`a ho p l´ phˆan t` u.ng phˆ y v`a vˆe´ tr´ai cu’a (11.30) l`a t´ıch phˆan hˆo.i tu Ta x´et su hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i Ta c´o T´ıch phˆan | sin x| sin2 x = − cos 2x b b v`a vˆa.y ∀ b > ta c´o b | sin x| dx x 1 dx − x cos 2x dx x (11.31) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 104 y T´ıch phˆan th´ u T´ıch phˆan th´ u nhˆa´t o’ vˆe´ pha’i cu’a (11.31) phˆan k` `eu d´o du.o c suy b˘`ang c´ach t´ıch phˆan t` u.ng hai o’ vˆe´ pha’i d´o hˆo.i tu (diˆ `an nhu (11.30)) Qua gi´o.i ha.n (11.31) b → +∞ ta c´o vˆe´ pha’i phˆ `an dˆe´n ∞ v`a d´o t´ıch phˆan vˆe´ tr´ai cu’a (11.31) phˆan cu’a (11.31) dˆ `eu kiˆe.n (khˆong tuyˆe.t dˆo´i) k` y, t´ u c l`a t´ıch phˆan d˜a cho hˆo.i tu c´o diˆ ` TA ˆ P BAI T´ınh c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n ∞ xe−x dx (DS ) ∞ dx x x2 − (DS π ) dx + 1)2 (DS π−2 ) √ ∞ (x2 ∞ x sin xdx (DS Phˆan k` y) ∞ 2xdx x2 + (DS Phˆan k` y) −∞ ∞ e−x sin xdx (DS ) +∞ x2 + dx − (x + 1)2 (DS + ln 3) 2 +∞ dx x2 + 4x + √ π (DS ) −∞ http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng +∞ xdx + 1)3 (x2 √ (DS 105 √ ˜ n D˘a.t x = t ) Chı’ dˆ a 36 +∞ dx √ x x2 + x + 10 ˜ n D˘a.t x = (DS ln + √ ) Chı’ dˆ a t +∞ arctgx dx x2 11 (DS π ln + ) +∞ 12 x2 2x + dx + 3x − 10 (DS Phˆan k` y) ∞ e−ax sin bxdx, a > 13 (DS a2 b ) + b2 +∞ e−ax cos bxdx, a > 14 (DS a ) a2 + b2 Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n ∞ 15 e−x dx x (DS Hˆo.i tu.) e−x ´ du.ng bˆa´t d˘a’ng th´ ˜ n Ap u.c Chı’ dˆ a x e−x ∀ x +∞ xdx √ x4 + 16 (DS Phˆan k` y) ´ du.ng bˆa´t d˘a’ng th´ ˜ Chı’ dˆ a n Ap u.c x x √ >√ x4 + x4 + x4 ∀x +∞ sin2 3x √ dx x4 + 17 (DS Hˆo.i tu.) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 106 +∞ √ 18 dx 4x + ln x (DS Phˆan k` y) +∞ ln + 19 xα x dx (DS Hˆo.i tu nˆe´u α > 0) +∞ √ 20 xdx x5 + (DS Hˆo.i tu.) +∞ cos 5x − cos 7x dx x2 21 (DS Hˆo.i tu.) +∞ √ 22 xdx + x7 (DS Hˆo.i tu.) +∞ √ x+1 √ dx + x + x2 23 (DS Hˆo.i tu.) ∞ √ (e1/x − 1)dx x 24 ∞ 25 (DS Hˆo.i tu.) √ x+ x+1 √ dx x2 + x4 + (DS Phˆan k` y) ∞ dx 26 (DS Hˆo.i tu.) (3x4 − x2)e−x dx (DS Hˆo.i tu.) x(x − 1)(x − 2) ∞ ∗ 27 +∞ x2 ˜ Chı’ dˆ a n So s´anh v´o.i t´ıch phˆan hˆo.i tu e− dx (ta.i ?) v`a ´ap du.ng dˆa´u hiˆe.u so s´anh II http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 107 +∞ ln(x − 2) dx x5 + x2 + ∗ 28 (DS Hˆo.i tu.) ´ du.nng hˆe th´ ˜ Chı’ dˆ a n Ap u.c ln t ln(x − 2) = ∀α > ⇒ lim = ∀ α > t→+∞ tα x→+∞ xα lim +∞ dx , α > xα T` u d´o so s´anh t´ıch phˆan d˜a cho v´o.i t´ıch phˆan hˆo.i tu Tiˆe´p dˆe´n a´p du.ng dˆa´u hiˆe.u so s´anh II 11.4.2 T´ıch phˆ an suy rˆ o.ng cu’a h` am khˆ ong bi ch˘ a.n Gia’ su’ h`am f(x) x´ac di.nh trˆen khoa’ng [a, b) v`a kha’ t´ıch trˆen mo.i `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ doa.n [a, ξ], ξ < b Nˆe´u tˆ u.u ha.n ξ lim f (x)dx ξ→b−0 (11.32) th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a t´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am f(x) trˆen [a, b) v`a k´ y hiˆe.u l`a: b f (x)dx (11.33) a Trong tru.`o.ng ho p n`ay t´ıch phˆan suy rˆo.ng (11.33) du.o c go.i l`a t´ıch `on ta.i th`ı t´ıch phˆan suy phˆan hˆo.i tu Nˆe´u gi´o.i ha.n (11.32) khˆong tˆ rˆo.ng (11.33) phˆan k` y Di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am f (x) x´ac di.nh trˆen khoa’ng (a, b] du.o c ph´at biˆe’u tu.o.ng tu Nˆe´u h`am f(x) kha’ t´ıch theo ngh˜ıa suy rˆo.ng trˆen c´ac khoa’ng [a, c) v`a (c, b] th`ı h`am du.o c go.i l`a h`am kha’ t´ıch theo ngh˜ıa suy rˆo.ng trˆen http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 108 doa n [a, b] v`a tru.o`.ng ho p n`ay t´ıch phˆan suy rˆo.ng du.o c x´ac di.nh bo’.i d˘a’ng th´ u.c: b c f(x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c C´ ac cˆ ong th´ u.c co ba’n b 1) Nˆe´u c´ac t´ıch phˆan b g(x)dx hˆo.i tu th`ı ∀ α, β ∈ R f (x)dx v`a a a ta c´o t´ıch phˆan b [αf (x) + βg(x)]dx hˆo.i tu v`a a b b [αf (x) + βg(x)]dx = α a b f (x)dx + β g(x)dx a a 2) Cˆong th´ u.c Newton-Leibnitz Nˆe´u h`am f(x), x ∈ [a, b) liˆen tu.c v`a F (x) l`a mˆo.t nguyˆen h`am n`ao d´o cu’a f trˆen [a, b) th`ı: b f(x)dx = F (x) b−0 a = F (b − 0) − F (a), a F (b − 0) = lim F (x) x→b−0 3) Cˆong th´ u.c dˆo’i biˆe´n Gia’ su’ f(x) liˆen tu.c trˆen [a, b) c`on ϕ(t), t ∈ [α, β) kha’ vi liˆen tu.c v`a a = ϕ(α) ϕ(t) < lim ϕ(t) = b Khi t→β−0 d´o: β b f (x)dx = a f [ϕ(t)]ϕ (t)dt α http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 109 `an Gia’ su’ u(x), x ∈ [a, b) v`a v(x), u.ng phˆ 4) Cˆong th´ u.c t´ıch phˆan t` `on ta.i Khi d´o; x ∈ [a, b) l`a nh˜ u.ng h`am kha’ vi liˆen tu.c v`a lim (uv) tˆ x→b−0 b b udv = uv uv a b a b a − vdu a = lim (uv) − u(a)v(a) x→b−0 `eu kiˆ C´ ac diˆ e.n hˆ o.i tu 1) Tiˆeu chuˆa’n Cauchy Gia’ su’ h`am f(x) x´ac di.nh trˆen khoa’ng [a, b), kha’ t´ıch theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng trˆen mo.i doa.n [a, ξ], ξ < b v`a khˆong bi ch˘a.n lˆan cˆa.n bˆen tr´ai cu’a diˆe’m x = b Khi d´o b f(x)dx hˆo.i tu v`a chı’ ∀ ε > 0, ∃ η ∈ [a, b) cho t´ıch phˆan a ∀ η1, η2 ∈ (η, b) th`ı η2 f(x)dx < ε η1 2) Dˆ a´u hiˆe.u so s´ anh I Gia’ su’ g(x) f (x) trˆen khoa’ng [a, b) v`a kha’ t´ıch trˆen mˆ˜o i doa.n [a, ξ], ξ < b Khi d´o: b (i) Nˆe´u t´ıch phˆan b g(x)dx hˆo.i tu th`ı t´ıch phˆan a f (x)dx hˆo.i tu a b (ii) Nˆe´u t´ıch phˆan b f(x)dx phˆan k` y th`ı t´ıch phˆan a g(x)dx phˆan a k` y 3) Dˆ a´u hiˆe.u so s´ anh II Gia’ su’ f(x) 0, g(x) > 0, x ∈ [a, b) v`a f (x) = λ x→b−0 g(x) lim Khi d´o: http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 110 b (i) Nˆe´u < λ < +∞ th`ı c´ac t´ıch phˆan b a `ong th`o.i phˆan k` y th`o.i hˆo.i tu ho˘a.c dˆ `ong g(x)dx dˆ f (x)dx v`a a b (ii) Nˆe´u λ = v`a t´ıch phˆan b g(x)dx hˆo.i tu th`ı t´ıch phˆan a f (x)dx a hˆo.i tu b (iii) Nˆe´u λ = +∞ v`a t´ıch phˆan f (x)dx hˆo.i tu th`ı t´ıch phˆan a b g(x)dx hˆo.i tu a Dˆe’ so s´anh ta thu.`o.ng su’ du.ng t´ıch phˆan: b hˆo.i tu nˆe´u α < dx (b − x)α phˆan k` y nˆe´u α a ho˘a.c b hˆo.i tu nˆe´u α < dx (x − a)α phˆan k` y nˆe´u α a b f (x)dx du.o c go.i l`a hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i nˆe´u - i.nh ngh˜ıa T´ıch phˆan D a b `eu kiˆe.n nˆe´u t´ıch |f(x)|dx hˆo.i tu v`a du.o c go.i l`a hˆo.i tu c´o diˆ t´ıch phˆan a b b f(x)dx hˆo.i tu nhu.ng phˆan a |f(x)|dx phˆan k` y a 4) Tu.o.ng tu nhu 11.4.1 ta c´o http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 111 anh Nˆe´u x → b − h`am f (x) x´ac di.nh Dˆ a´u hiˆe.u thu c h` th`ı v`a liˆen tu.c [a, b) l`a vˆo c` ung l´o.n cˆa´p α so v´o.i b−x b (i) t´ıch phˆan f(x)dx hˆo.i tu α < 1; a b (ii) t´ıch phˆan f(x)dx phˆan k` y α a ´ V´I DU CAC dx √ − x2 V´ı du X´et t´ıch phˆan liˆen tu.c v`a d´o n´o kha’ t´ıch trˆen mo.i − x2 doa.n [0, − ε], ε > 0, nhu.ng x → − th`ı f (x) → +∞ Ta c´o Gia’i H`am f (x) = √ 1−ε √ lim ε→0 dx π = lim arc sin(1 − ε) = asrc sin = · − x2 ε→0 Nhu vˆa.y t´ıch phˆan d˜a cho hˆo.i tu V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan √ xdx √ · − x4 Gia’i H`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan c´o gi´an doa.n vˆo c` ung ta.i diˆe’m x = Ta c´o √ x √ √ ∀ x ∈ [0, 1) 1−x 1−x Nhu.ng t´ıch phˆan √ dx hˆo.i tu., nˆen theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh I 1−x t´ıch phˆan d˜a cho hˆo.i tu http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 112 V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan ex dx · − cos x Gia’i O’ dˆay h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan c´o gi´an doa.n vˆo c` ung ta.i diˆe’m x = Khi x ∈ (0, 1] ta c´o ex − cos x xe v`ı r˘`ang xe dx phˆan k` y xe e − cos x (ta.i ?) Nhu.ng t´ıch phˆan x nˆen t´ıch phˆan d˜a cho phˆan k` y V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan +∞ arctgx dx, xα α 0 Gia’i Ta chia khoa’ng lˆa´y t´ıch phˆan l`am hai cho khoa’ng th´ u nhˆa´t h`am c´o bˆa´t thu.`o.ng ta.i diˆe’m x = Ch˘a’ng ha.n ta chia th`anh hai nu’.a khoa’ng (0, 1] v`a [1, +∞) Khi d´o ta c´o +∞ arctgx dx = xα +∞ arctgx dx + xα arctgx dx xα (11.34) arctgx dx, Ta c´o xα `au tiˆen x´et t´ıch phˆan Dˆ f (x) = x arctgx ∼ = α−1 = ϕ(x) α α x (x→0) x x http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 113 T´ıch phˆan ϕ(x)dx hˆo.i tu α − < ⇒ α < Do d´o t´ıch f(x)dx c˜ ung hˆo.i tu α < theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh II phˆan ∞ ´ du.ng dˆa´u hiˆe.u so s´anh II 1◦ ta f(x)dx Ap X´et t´ıch phˆan 1 d˘a.t ϕ(x) = α v`a c´o x π f(x) xαarctgx = lim = · α x→+∞ ϕ(x) x→+∞ x lim ∞ dx hˆoi tu α > nˆen v´o.i α > t´ıch phˆan du.o c xα x´et hˆo.i tu Nhu vˆa.y ca’ hai t´ıch phˆan o’ vˆe´ pha’i (11.34) chı’ hˆo.i tu < α < `eu kiˆe.n hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan d˜a cho D´o ch´ınh l`a diˆ V`ı t´ıch phˆan V´ı du Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan √ ln(1 + x2) √ dx √ x sin x Gia’i H`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan khˆong bi ch˘a.n lˆan cˆa.n pha’i cu’a diˆe’m x = Khi x → + ta c´o √ √ 3 x2 ln(1 + x2) √ √ ∼ = √ = ϕ(x) x sin x (x→0+0) x x dx √ hˆoi tu nˆen theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh II, t´ıch phˆan x V`ı t´ıch phˆan d˜a cho hˆo.i tu http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 114 ` TA ˆP BAI T´ınh c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng sau √ (DS 2) dx (4 − x)2 2 dx (x − 1)2 (DS 6) e dx x ln x (DS Phˆan k` y) x2 dx − 4x + (DS Phˆan k` y) x ln xdx (DS −0, 25) √ xdx x2 − (DS 2√ 125) 2 dx (x − 1)2 (DS Phˆan k` y) xdx x2 − (DS Phˆan k` y) −2 x3 dx √ − x2 (DS 16 ˜ ) Chı’ dˆ a n D˘a.t x = sin t 0 10 e1/x dx x3 (DS − ) e −1 http://tieulun.hopto.org 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 11 e1/x dx x3 115 (DS Phˆan k` y) dx 12 x(1 − x) (DS π) b dx ; a < b (x − a)(b − x) 13 a (DS π) x ln2 xdx 14 (DS ) Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng sau dˆay 15 cos2 x √ dx − x2 (DS Hˆo.i tu.) 16 √ ln(1 + x dx esin x − (DS Hˆo.i tu.) dx e −1 17 √ (DS Hˆo.i tu.) x √ 18 xdx −1 (DS Hˆo.i tu.) esin x 19 x2 dx 20 x3 dx (1 − x2 )5 (1 − x2 )5 (DS Phˆan k` y) (DS Phˆan k` y) http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 11 T´ıch phˆan x´ac di.nh Riemann 116 dx ex − cos x 21 (DS Phˆan k` y) π/4 ln(sin 2x) √ dx x 22 (DS Hˆo.i tu.) ln x √ dx x 23 (DS Hˆo.i tu.) ˜ u.c lim xα ln x = ∀ α > ⇒ c´o thˆe’ lˆa´y Chı’ dˆ a n Su’ du.ng hˆe th´ x→0+0 |lnx| α = ch˘a’ng ha.n ⇒ √ < 3/4 x x sin x dx x2 24 (DS Phˆan k` y) √ 25 dx x − x3 (DS Hˆo.i tu.) 26 x2 (x − 2) dx − 3x2 + (DS Phˆan k` y) 1 dx 27 x(ex − e−x ) 16 + x4 dx 16 − x4 28 (DS Hˆo.i tu.) (DS Hˆo.i tu.) 1√ ex − dx sin x 29 (DS Hˆo.i tu.) ln(1 + x) dx − cos x 30 (DS Phˆan k` y) http://tieulun.hopto.org ... Gauss-Ostrogradski 12 .4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 11 7 11 8 11 8 11 8 12 1 13 3 13 3 13 4 13 6 13 6 14 4 14 4 14 6 15 8 15 8 16 0 16 2 16 2 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13 .1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng... phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13 .3.2 D 13 .4 Chuˆo˜ i Fourier 13 .4 .1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 17 7 17 8 17 8 17 9 19 1 19 1 19 2 19 9 19 9 2 01 211 211 ... http://tieulun.hopto.org 10 .2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 1+ x dx 1? ??x (x − 2) √ − x − x2 − arc sin x) 2 (DS x +1 dx x − (x − 1) 3 (DS 16 10 12 13 14 15 − (DS 28 x +1 x? ?1 3 ) x−2 ) x? ?1 x? ?1 , d˘at