Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng nờn nếu là ma trận thực thỡ luụn chộo hoỏ trực giao được. Do đú, luụn tồn tại một phộp biến đổi tuyến tớnh (hay phộp đổi cơ sở) để đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc. 5.3.2.1. Phương phỏp Lagrange
Cho dạng toàn phương f(x ,x ,...,x )1 2n a x xij i j (5.17) ; a ij R ; A =[aij]n x n đối
i 1 j 1 xứng
Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại phộp biến đổi tuyến tớnh khụng suy biến để đưa dạng toàn phương trờn về dạng chớnh tắc.
Ở đõy ta giả thiết ớt nhất một hệ số aii trong (5.17) là khỏc khụng. Cũn nếu mọi hệ số đú bằng khụng thỡ luụn thực hiện được phộp biến đổi tuyến tớnh để đưa về trường hợp cú ớt nhất một hệ số aii khỏc 0.
Định lý 5.8. Tồn tại phộp biến đổi tuyến tớnh khụng suy biến để đưa f về dạng chớnh tắc
Chứng minh:
Với n = 1, định lớ hiển nhiờn đỳng
Giả thiết định lý đỳng với dạng toàn phương với số biến số nhỏ hơn n, ta chứng minh định lý đỳng với n biến. Viết (5.17) dưới dạng
f 1 (a x11 1 a x122 ... a1n x )n 2 g(x ,x ,...,x )2
3 n (5.18) a11
Trong đú g(x2, x3, ... , xn) là dạng toàn phương đối với n – 1 biến x2, x3, ... , xn.
y1 a x111 a x122 ... a1n x n . Mà ma trận của nú là Thực hiện phộp đổi biến số y x ;ii 2,3,...,n
i
a11 a12 ... a1n
P1= 0 1 ... 0 cú định thức bằng a11 0, nờn khụng suy biến. Do vậy
... ... ... ...
0 0 ... 1
f a111y12 g(y ;y ;... y )2 3 n và P1X = Y với X = (x1 x2 …
xn)T ; Y = (y1 y2 … yn)T.
Theo giả thiết quy nạp bằng phộp biến đổi tuyến tớnh khụng suy biến Y1 = P2Z1 (với Y1=(y2
y3 … yn)T ; Z1 = (z1 z2 … zn)T và P2 là ma trận vuụng cấp n – 1 khụng suy biến) ta đưa g về dạng chớnh tắc c2z22 + c3z32+ … + cnzn2.
1
(z1 z2 …. zn) ) ta đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc f = a11 1z12 + c2z22 + c3z32+ … + cnzn2. Đpcm
Vớ dụ 5.14. Đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc f(x1, x2, x3) = 2x1x2 – 6x2x3 + 2x3x1Giải:
Vỡ aii = 0; i = 1, 2, 3 nờn ta thực hiện phộp đổi biến số
x1 y1 y2 1 1 0
x y1 y2 với ma trận P1 1 1 0 . Khi đú f đưa về dạng 2
x3 y3 0 0 1
f = 2y12 – 2y22 – 4y1y3 – 8y2y3
Hệ số của y12 0 nờn thực hiện phộp đổi biến số
z1 2y1 2y3 2 0 2
z2 y2 với ma trận Q1 = 0 1 0 . Đặt P2 = Q1-1
z3 y3 0 0 1
Với phộp biến đổi tuyến tớnh Y = P2Z ta đưa được f về dạng
f 1 z12 2z22 z33 8z z2 3
2
Hệ số z22 0 nờn lại thực hiện phộp biến đổi tuyến tớnh
t1 z1 1 0 0
t 2 2z2 4z3 với ma trận Q2 0 2 4 . Đặt P3 = Q2-1
t3 z3 0 0 1
Với phộp biến đổi tuyến tớnh Z = P3T ta đưa được f về dạng
f 1 t12 1 t 22 6t 32 2 2 1/2 1/ 2 3 Đặt P = P1P2P3 = 1/2 1/ 2 1 . 0 0 1
chớnh tắc f 1 t12 1 t 2
2 6t 32
2 2
Chỳ ý 5.9. Dạng chớnh tắc của dạng toàn phương là khụng duy nhất.
1 3 2
Thật vậy, với phộp biến đổi tuyến tớnh X = QU trong đú Q 1 1 2 ta đưa được
0 1 0
dạng toàn phương f về dạng chớnh tắc f = 2u12 6u 22 8u32
5.3.2.2. Phương phỏp Jacobi
Phương phỏp này ỏp dụng cho dạng toàn phương f(X) = XTAX mà ma trận A =[aij]n x n
a11 a thoả món tớnh chất : i21 ... a i1 a12 a 22 ... a i2 ... ... ... ... a1i a 2i 0;i 1,2,..,n (5.19) ... a ii Ta thừa nhận định lý sau
Định lý 5.9. Xột dạng toàn phương (5.15) thoả món điều kiện (5.19), cú thể thực phộp đổi biến số PX = Y với X = (x1 x2 … xn)T ; Y = (y1 y2 … yn)T đưa dạng toàn phương về dạng
2 y 22 ... n y 2n với i ;i 1,2,...,nđược xỏc định bởi 2
(5.19). chớnh tắc f 1y1
1 n 1
Phương phỏp giải
Để đưa được dạng toàn phương f về dạng chớnh tắc người ta thường dựng phộp biến đổi tuyến tớnh khụng suy biến
x1 y1 21y2 31y3 ... n1yn
x 2 y2 32 y3 ... n2 yn (5.20)
....
x n yn
i j.D j 1,i (5.21), trong đú j 1,i là định thức con của det(A) tạo bởi cỏc
Với ji( 1)
j 1
Vớ dụ 5.15. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phương phỏp Jacobi f(x ,x ,x )1 2 3 2x12 3x x1 2 4x x1 3 x 22 x33
Giải:
2 3/2 2
Ma trận của dạng toàn phương A 3/2 1 0 và
2 0 1
2 2 3/2 1; 3 det(A) 17 .
1 2;
3/2 14 4
Phộp biến đổi tuyến tớnh (5.20) cú dạng
x1 y1 21y2 31y3
x y2 32 y3
2
x3 y3
Tớnh cỏc hệ số của phộp biến đổi theo cụng thức (5.21)
21 ( 1)2 1 D11 3 ; 31 ( 1)3 1 8 ; 1 1/4 32 ( 1)2 3 12 1/4 1 x1 y1 34 y2 8y3
Vậy phộp biến đổi tuyến tớnh là x 2 y2 12y3 . Khi đú f cú dạng chớnh tắc
x3 y3
f(y ;y ;y )1 2 3 2y12 1 y22 17y32
8
5.3.2.3. Phương phỏp biến đổi trực giao
Xột dạng toàn phương (5.15) : f(X) = XTAX với A là ma trận đối xứng thực
0 1 3/2 2 D21 4 2 2 3 1 0 3/2 2 2 D22
Do A là ma trận đối xứng thực nờn theo mục 5.2.2.3 thỡ A sẽ đồng dạng trực giao với ma trận chộo, nghĩa là tồn tại ma trận trực giao P (mà cỏc cột của nú chớnh là cỏc vộc tơ riờng trực chuẩn của ma trận A ứng với cỏc giỏ trị riờng tương ứng) sao cho P-1AP = PTAP = diag( 1, 2
,..., n )( i ,i 1,2,..,nlà cỏc giỏ trị riờng của A).
Từ đú với phộp biến đổi X = PY ta đưa được dạng toàn phương f về dạng chớnh tắc. Thật vậy f = XTAX = (PY)TA(PY) = YT(PTAP)Y = YTdig( 1, 2 ,..., n )Y = 1y12 2 y22
... n yn2
Phương phỏp trờn được gọi là phương phỏp đưa dạng toàn phương thực về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi trực giao.
Vớ dụ 5.16. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc bằng phộp biến đổi trực giao
f(x ,x ,x )1 2 3 4x x1 2 4x x13 3x 22 2x x2 3 3x32
Giải:
0 2 2
Ma trận của f cú dạng A 2 3 1
2 1 3
Đa thức đặc trưng của A cú cỏc nghiệm 2 (bội 1) và 4 (bội 2)
2
Với 2 thu được vộc tơ riờng u1 1
1
1 2
Với 4 thu được 2 vộc tơ riờng u 2 2 ;u3 1
0 5
Bõy giờ ta trực giao hoỏ Gram – Schmidt hệ vộc tơ U = {u1, u2, u3} Đặt y1 = u1 y2 = u2 vỡ u1 trực giao với u2 2 2 1 28/15 u ;y3 1 u ;y3 2 1 4 y3 = u 3 y1 y2 1 . 1 . 2 14/15 y ;y1 1 y ;y2 2 5 3 1 5 0 14/3
2/ 1/ 2/ 30
với P1 1/ 6 ; P2 2/ ; P3 1/ 30
1/ 0 5/ 30
2/ 6 1/ 5 2/ 30
Do đú, ta cú ma trận trực giao P 1/ 6 2/ 5 1/ 30 và với phộp biến đổi tuyến
1/ 6 0 5/ 30
tớnh X = PY ta đưa f về dạng chớnh tắc : f 2y12 4y22 4y32
5.3.2.4. Luật quỏn tớnh của dạng toàn phương
Như ta đó biết một dạng toàn phương cú thể đưa về dạng chớnh tắc bằng nhiều phương phỏp và cỏc dạng chớnh tắc cũng khỏc nhau. Tuy nhiờn, người ta chứng minh được định lý sau, được gọi là luật quỏn tớnh của dạng toàn phương.
Định lý 5.10. Nếu một dạng toàn phương được đưa về dạng chớnh tắc bằng nhiều cỏch khỏc nhau thỡ số cỏc hệ số dương và số cỏc hệ số õm trong cỏc dạng chớnh tắc đú là như nhau (chỉ sai khỏc nhau cỏch sắp xếp).
Vớ dụ 5.17. Xem vớ dụ 5.14 và chỳ ý 5.9 ta cú thể đưa dạng toàn phương f về hai dạng chớnh tắc cú số hệ số dương bằng nhau và bằng 2, số hệ số õm cũng bằng nhau và bằng 1.
Chỳ ý 5.10. Hiệu giữa số cỏc hệ số dương và số cỏc hệ số õm trong một dạng chớnh tắc của dạng toàn phương f được gọi là kớ số của f.
Đối với cỏc dạng toàn phương xỏc định dấu, ta cú cỏc kết quả sau: n n
Định lý 5.11. Dạng toàn phương thực f(x ,x ,...,x )1 2n a x xij i j là xỏc định dương
i 1j 1
n khi và chỉ khi cú phộp biến đổi tuyến tớnh đưa nú về dạng chuẩn f yi2 hoặc dạng chớnh
i 1 n
tắc f i y (i2 i 0;i 1,2,3,..,n i 1
Định lý 5.12. (Tiờu chuẩn Sylvester) Dạng toàn phương thực
n n f(x ,x ,...,x )1 2 n a x xij i j = XTAX là xỏc định
dương khi và chỉ khi cỏc định thức con i 1 j 1
6 6
5 5
a11
a chớnh của A đều dương, tức là i21 ... a i1 a12 a 22 ... a i2 ... ... ... ... a1i a 2i 0; i 1,2,..,n ... a ii
Vớ dụ 5.18. Khảo sỏt tớnh xỏc định của dạng toàn phương
f(x ,x ,x )1 2 3 5x12 x 2 2 5x32 4x x13 8x x13 4x x2 3 Giải: 5 2 4 Ma trận của f là A 2 1 2 . Ta cú a11 = 5 > 0 ; 52 12 10 ; 4 2 5 5 2 4
2 1 2 10 nờn theo tiờu chuẩn Sylvester dạng toàn phương f là xỏc định dương
4 2 5
Chỳ ý 5. 11. Dạng toàn phương f là xỏc định õm khi và chỉ khi – f là xỏc định dương. Nếu ma trận của f là A thỡ ma trận của – f là – A. Do đú theo tiờu chuẩn Sylvester f xỏc định
a11 a õm khi và chỉ khi ( 1) i i( 1)i21 ... a i1 a12 a 22 ... a i2 ... ... ... ... a1i a 2i 0; i 1,2,..,n ... a ii
Vớ dụ 5.19. Khảo sỏt tớnh xỏc định của dạng toàn phương
f(x ,x ,x )1 2 3 3x12 x 2 2 5x32 4x x13 8x x13 4x x2 3 Giải: 3 2 4 Ma trận của f là A 2 1 2 . Ta cú a11 = 3 > 0 ; 3 2 12 1 0 do đú theo tiờu 4 2 5
chuẩn Sylvester kết hợp với chỳ ý 5.11 thỡ f khụng xỏc định dương cũng khụng xỏc định õm.
Vớ dụ 5.20. Cho dạng toàn phương f(x ,x ,x )1 2 3 5x12 x 22 mx 32 4x x1 3 2x x1 3 2x x2 3
Với giỏ trị nào của m thỡ dạng toàn phương f là xỏc định õm Giải:
Ma trận của f là A 2 1 1 . Ta cú a11 = -(- 5) > 0 ; ( 1) 2 5
2 12 10 ;
1 1 m
( 1) 3.det(A) m 2.
Vậy để f xỏc định õm khi m – 2 > 0 hay m > 2.
Chỳ 5.12. Việc khảo sỏt dạng toàn phương, đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc được ứng dụng trực tiếp vào giải quyết bài toỏn khảo sỏt, nhận dạng và phõn loại đường và mặt bậc hai trong hỡnh học giải tớch mà trong khuụn khổ giỏo trỡnh này khụng đề cập đến. Độc giả nào quan tõm đến vấn đề này cú thể tham khảo ở hầu hết cỏc giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh và Hỡnh học giải tớch ở cỏc trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà nội, ĐHSP Hà nội.
Bài tập chương 5 Bài 5.1. Trong cỏc ỏnh xạ sau, ỏnh xạ nào là tuyến tớnh
a) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x2 – x3; x1 + x3; 3x1 – x2 + 2x3) b) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; x2 + 2; x3 + 3)
c) f : R 2 R , f(x ,x )1 2 x1 x 2
d) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; 2x2; x3 + m) (m là tham số)
1 3 2 2
Bài 5.2. Cho ma trận A 2 1 2 1 . Xột ỏnh xạ tuyến tớnh f : R 4 R 3 xỏc định
1 2 0 1
bởi f(X) = A.X. Tỡm Im(f) và Ker(f).
Bài 5.3. Cho biến đổi tuyến tớnh f : R 2 R 2 cú biểu thức toạ độ xỏc định trong cơ sở chớnh tắc. Tỡm ma trận của f trong cơ sở U = {(2 ; 5) ; (1 ; 3) }
a)f(x, y) = (2y ; 3x – y) b)f(x ; y) = (3x – 4y ; x + 5y)
Bài 5.4. Tỡm giỏ trị riờng và vộc tơ riờng của cỏc ma trận sau
1 1 ... 1
1 1 1 1 1 ... 1
1 4
a) 23 b) 11 01 01 c) ...1 ...1 ... ...1
Bài 5.5. Tỡm ma trận khả nghịch P chộo hoỏ cỏc ma trận sau
3 1 1 1 a a 2
a) 5 13 2 4 2 c) 0 0 a (a là số thực)
1 b) 1 1 3 0 0 a
Bài 5.6. Chộo hoỏ trực giao cỏc ma trận sau
1 2 2 1 3 1
a) 12 22 b) 2 1 2 c) 3 1 1
2 2 1 1 1 5
n 3 1 1 20
1 2 2 4 2
a) 23 (n N;n 2) b) 11 3
Bài 5.8. Cho ỏnh xạ f : R 3 R 3 xỏc định bởi f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; x1+x2; x1 + x3) Tỡm dim(Im(f)) và dim(Ker(f))
Bài 5.9. Cho ỏnh xạ f : R 3 R 3 xỏc định bởi f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; 2x1+3x2; x1 +2x2+mx3) (m là tham số) Tỡm m để Im(f) cú chiều lớn nhất.
Bài 5.10. Viết ma trận và tỡm hạng của cỏc dạng toàn phương sau a)f = 3x12 – 4x1x2 – x22
b)f = x12 – 2x1x2 – x1x3
c)f = 2x12 – 2x22 + 5x32 – 8x1x2 – 16x1x3 + 14x2x3Bài 5.11. Đưa cỏc dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc a) f = 2x12 + 3x22 + 4x32 – 2x1x2 + 4x1x3
b) f = x12 + 5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 c) f = 2x1x2 + 2x3x4
Bài 5.12. Cho dạng toàn phương f = 2x12 + 2x22 + x32 + 2x1x2 + mx1x3 ( m là tham số) a) Đưa dạng toàn phương trờn về dạng chớnh tắc bằng phương phỏp Lagrange.
b) Tỡm m để f xỏc định dương; nửa xỏc định dương.
Bài 5.13. Chứng minh rằng nếu tất cả cỏc nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận đối xứng thực A thuộc đoạn [a; b] thỡ dạng toàn phương với ma trận A – tE sẽ xỏc định õm nếu t > b và xỏc định dương nếu t < a.
Bài 5.14. Dựng phộp biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc f = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn
a b
Bài 5.15. Cho ma trận A c d . Chứng minh
a)A chộo hoỏ được khi (a –d)2 + 4bc > 0 b)A khụng chộo hoỏ được khi (a –d)2 + 4bc < 0
a b
Bài 5.16. Tỡm ma trận làm chộo hoỏ trực giao A b a (b 0)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Nguyễn Doón Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tớnh và hỡnh học giải tớch, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007
2. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc.Graw-Hill Book Copany, 1984.
3. P.Gabriel, Martizen, Geometrie, Linerae Algebra, Birkhauser – Verlag, Basel – Boston – Berlin 1996
4. Lờ Tuấn Hoa, Đại số tuyến tớnh: Cỏc vớ dụ và bài tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007
5. Nguyễn Huy Hoàng, Toỏn cao cấp- Tập 1 (Đại số tuyến tớnh), Nhà xuất bản giỏo dục Việt Nam, 2009
6. Nguyễn Huy Hoàng (chủ biờn), Bài tập Toỏn cao cấp cho cỏc nhà kinh tế - Phần 1 (Đại số tuyến tớnh), NXB Thống kờ, 2008
7. Ngụ Thỳc Lanh, Đại số tuyến tớnh, NXB ĐH THCN, Hà nội, 1970
8. Jean – Marie Monier, Giỏo trỡnh Toỏn - Tập 5 + 6 : Đại số I + II, NXB Giỏo dục
2006
9. Nguyễn Văn Mậu (chủ biờn), Toỏn Olympic Sinh viờn Đại học, NXB ĐHQG Hà Nội,
2006
10. Đoàn Quỳnh (Chủ biờn), Giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh và hỡnh học giải tớch, NXB
ĐHQG Hà Nội, 2007
11. Hoàng Xuõn Sớnh, Đại số, Giỏo trỡnh đại học đại cương, NXB Giỏo dục, 1990 12. Phan Doón Thoại, Nguyễn Hữu Hoan, Đại số và số học, NXB ĐHSP Hà Nội, 2008
13. Lờ Đỡnh Thuý (chủ biờn), Toỏn cao cấp cho cỏc nhà kinh tế - Phần 1, NXB ĐH KTQD Hà Nội, 2008.
14. Đoàn Trọng Tuyển, Bài giảng Đại số, NXB Đại học Kinh tế Quốc dõn, 2008 15. Nguyễn Đỡnh Trớ (chủ biờn), Toỏn cao cấp - Tập 1, NXB Giỏo dục 2007 16. Nguyễn Đỡnh Trớ (chủ biờn), Bài tập Toỏn cao cấp - Tập 1, NXB Giỏo dục 2007 17. Ngụ Việt Trung, Giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh, Bộ sỏch Cao học - Viện Toỏn học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002.