Định nghĩa 5.1. Cho E và F là hai khụng gian vộc tơ trờn cựng trường K (R hoặc C, trong giỏo trỡnh này chỉ xột trường số thực R). Một ỏnh xạ f từ E vào F được gọi là tuyến tớnh nếu nú thoả món:
i) f(u + v) = f(u) + f(v); u, v E ; ii) f(ku) = kf(u); uE k; R
Hai điều kiện trờn tương đương với điều kiện: Ánh xạ f: E Flà tuyến tớnh khi và chỉ khi v v1, 2 E; , R f: v1 v2 f v( 1) f v( 2 ).
Một cỏch tổng quỏt hơn ta cú:
n n
vi E; i R i( 1,2,...,n): f ivi i f v( i ).
i 1 i 1
Điều kiện này núi lờn rằng ỏnh xạ tuyến tớnh bảo toàn tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vộc tơ.
Nếu E = F thỡ người ta gọi f là biến đổi tuyến tớnh trờn E. Nếu F = K thỡ người ta gọi f là dạng tuyến tớnh trờn E.
Dễ dàng thấy rằng f(0E) = 0F; f(- u) = - f(u) trong đú 0E là phần tử khụng của E, 0F là phần tử khụng của F.
Vớ dụ 5.1. Cho ỏnh xạ f: R 2 R xỏc định bởi f(x; y) = 3x- 2y với (x; y) R2. Chứng minh rằng f là một ỏnh xạ tuyến tớnh.
Giải:
Lấy u, v R2 ; u =(a ; b) ; v = (c ; d) và k R, f(u + v) = f(a + c; b + d) = 3(a + c) – 2(b + d) = (3a – 2b) + (3c – 2d) = f(u) + f(v) f(ku) = f(ka, kb) = 3ka – 2kb = k(3a – 2b) = k.f(u)
Cả hai điều kiện i) và ii) đều thoả món. Vậy f là ỏnh xạ tuyến tớnh.
Nhõn và ảnh của ỏnh xạ tuyến tớnh
Cho E, F là hai khụng gian vộc tơ, f là một ỏnh xạ tuyến tớnh từ E vào F.
Định nghĩa 5.2. Ta gọi nhõn của ỏnh xạ f là tập hợp cỏc vộc tơ v của E sao cho f(v) = 0F, ký hiệu Kerf: Kerf v E : f(v) 0F
Chỳ ý 5.1. Kerf là một khụng gian con của E vỡ: f(0E)= 0F 0E Kerf Kerf và nếu u, v Kerf thỡ f(u) = f(v) = 0F nờn f(u + v) = 0F, f(ku) = 0F u v ku; KerfVớ dụ 5.2.
Cho trước a là một vộc tơ n chiều khỏc 0 trong khụng gian Rn. Xột ỏnh xạ f : R n R xỏc định bởi f(u) = <a, u>, u R n (tớch vụ huớng của hai vộc tơ a và u) Chứng tỏ f là ỏnh xạ tuyến tớnh và tỡm kerf.
Giải: Thật vậy, ta cú f(u + v) = <a, u + v> = <a, u> + <a, v> = f(u) + f(v) ; f(ku) = <a, ku> = k<a, u> = k.f(u)
Vậy f là ỏnh xạ tuyến tớnh và Kerf
u E : a u, 0 chớnh là tập hợp cỏc vộc tơ vuụng gúc với a.
Chỳ ý 5.2. Từ cỏc khỏi niệm trờn ta suy ra một số tớnh chất đơn giản sau: t1. Ánh xạ f là đơn ỏnh khi và chỉ khi Kerf = {0E} t2. Giả sử f là ỏnh xạ tuyến tớnh từ E vào F và Kerf = {0E}. Nếu {v1, v2, … , vn } là hệ vộc tơ độc lập tuyến tớnh của E thỡ {f(v1), f(v2), … , f(vn) } là hệ vộc tơ độc lập tuyến tớnh của F.
Định nghĩa 5.3. Tập ảnh của ỏnh xạ tuyến tớnh f từ E vào F, ký hiệu là Imf, xỏc định bởi: Imf
w F: v E,f(v) w .
Dễ dàng kiểm tra được Imf cũng là khụng gian con của F.
Khi đú, người ta gọi hạng của f, ký hiệu là rank(f) và được xỏc định bởi rank(f) = dim(Im(f)).
Chỳ ý 5.3. Từ cỏc khỏi niệm trờn ta suy ra một số tớnh chất đơn giản sau:
t1. Nếu dim(F) hữu hạn thỡ suy ra f là toàn ỏnh khi và chỉ khi rank(f) = dim(F). t2. Ảnh của một tập phụ thuộc tuyến tớnh là phụ thuộc tuyến tớnh.
t3. f là toàn ỏnh khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E là một hệ sinh của F t4. f song ỏnh khi và chỉ khi ảnh của cỏc vectơ của một cơ sở của E là một cơ sở của F.
Định lý 5.1. (Định lý nhõn - ảnh) Giả sử f là ỏnh xạ tuyến tớnh từ khụng gian vộc tơ E vào khụng gian vộc tơ F. Nếu dimE = n, dim(Kerf) = q và dim(Imf) = s thỡ n = q + s.
Chứng minh:
Giả sử w1, w2, … , ws là một cơ sở của Imf. Khi đú, tồn tại cỏc vộc tơ v1, v2, … , vs E sao cho f(vi) = wi; i = 1, 2, …, s. Gọi u1, u2, … , uq là một cơ sở của Kerf. Ta sẽ chứng minh hệ vộc tơ {v1, v2, …, vs, u1, u2, … , uq } lập thành cơ cở của E.
Với v E thỡ f(v) Imf, ta biểu diễn f(v) theo cơ sở w1, w2, …, ws của Imf: f(v) = x1w1 + x2w2+ … + xsws = x1f(v1) + x2f(v2) + … + xsf(vs)
= f(x1v1+ x2v2 + … + xsvs)
Từ f(v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs) = 0F nờn v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs Kerf. Từ đú suy ra v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs = y1u1 + y2u2 + … + yquq
Hay v = x1v1+ x2v2 + … + xsvs + y1u1 + y2u2 + … + yquq
Suy hệ U = {v1, v2, … , vs, u1, u2, ... , uq } lập thành hệ sinh của của E. Bõy giờ chỉ cần chứng minh hệ U đú độc lập tuyến tớnh.
Xột 1 1v 2v2 ... svs 1u1 2u2 ... quq 0E (5.1)
1 f v( 1) 2 f v( 2 ) ... s f v( s ) 1 f u( 1) 2 f u( 2 ) ... q f u( q ) 0F Mà f(u1) = f(u2) = …. = f(uq) = 0F nờn 1 f v( 1) 2 f v( 2 ) ... s f v( s ) 0F
1 1w 2 2w ... sws 0 1 2 ... s 0 (5.2) (vỡ hệ {w1, w2, …, ws } độc lập tuyến tớnh. Thay vào (5.1) ta lại cú 1u1 2u2 ... quq 0F 1 2 ... q 0 (5.3) (vỡ hệ {u1, u2, …, uq } độc lập tuyến tớnh). Từ (5.1), (5.2), (5.3) suy ra hệ vộc tơ U là độc lập tuyến tớnh và là cơ sở của E. Suy ra đpcm.