Cho V là khụng gian vectơ trờn trường K, cỏc vectơ trong V cú cỏc tớnh chất sau:
Tớnh chất 3.1. Phần tử trong tiờn đề 3 của phộp cộng là duy nhất
Chứng minh: Trong khụng gian vectơ V sự tồn tại phần tử đó được khảng định trong tiờn đề 3. Giả sử trong V cũng tồn tại phần tử ' cú tớnh chất: , ; V , ta chứng minh cho ' . Theo tớnh chất của ' ta cú: ' , mặt khỏc theo tớnh chất của ta cũng cú:
, , mà , ' là hai phần tử trong V nờn thỏa món tớnh chất giao hoỏn , ' do đú ' .
Phần tử tồn tại duy nhất thỏa món tiờn đề 3 của phộp cộng được gọi là phần tử trung hũa của phộp cộng.
Tớnh chất 3.2. Với mỗi vectơ V tồn tại duy nhất vectơ , cũng thuộc V thỏa món: ,
Chứng minh: Trong khụng gian vectơ V, với mỗi vectơ V, sự tồn tại phần tử , đó được khảng định trong tiờn đề 4. Giả sử ,, Vcũng cú tớnh chất ,, .
Ta sẽ chứng minh cho , ,, .
Thật vậy: Ta xột , ,, (, ) ,, ,
(,, ) ,, , .
Với mỗi V, phần tử , tồn tại duy nhất trong V thỏa món: , (tiờn đề 4 của phộp cộng) được gọi là phần tử đối của ký hiệu
Tớnh chất 3.3. Với hai vectơ bất kỳ , trong V luụn tồn tại duy nhất vectơ x V để x .
Chứng minh: Trước tiờn ta chỉ ra sự tồn tại của vectơ x; vỡ V V, đặt x ( )
V ta cú: x ( ) ( ) . Do đú tồn tại vectơ x để
x . Vectơ x là duy nhất vỡ giả sử x' Vcũng thỏa món: x' ta sẽ chứng minh cho x x ' . Thật vậy từ x và x,
x x' ( ) x ( ) x'
x x' x x' .
Phần tử x duy nhất thỏa món x được gọi là hiệu của vectơ và , ký hiệu: x
.
Tớnh chất 3.4. Phộp nhõn một số trong trường K cú tớnh chất phõn phối với hiệu của hai vectơ.
Chứng minh: Giả sử k K; , V, ta phải chứng minh cho k( ) k k . Thật vậy: Xột k( ) k k[ ( ) ] k do đó k( ) k ( k )
Tớnh chất 3.5. Phộp nhõn hiệu hai phần tử trong K cú tớnh chất phõn phối với một vectơ trong V.
Chứng minh: k l, K; V ta chứng minh cho (k l) k l . Thật vậy xột (k l) l
(k l l) k (k l) k l ta cú điều phải chứng minh.
Tớnh chất 3.6. Với mọi phần tử k K và với mọi vectơ V; nếu k thỡ cần và đủ là: k=0 hoặc .
Chứng minh:
Điều kiện cần: Với k K và V cú k ta phải chứng minh cho k=0 hoặc . Thật vậy, giả sử k 0 thì 1 K, ta cú 1. .k 1. k
k
Điều kiện đủ: Nếu k=0 hoặc 0 ta phải chứng minh cho k Thật vậy
nếu k=0 k 0 (l l) l l
; l K.
Nếu ; k K k k k ( ) k k k ; V . Ta cú điều phải chứng minh.
Tớnh chất 3.7. Vectơ đối của một vectơ bất kỳ trong V bằng chớnh vectơ đú nhõn với -1.
Chứng minh: Với là một vectơ bất kỳ trong V, ta xột:
( 1). 1( 1) 1 1 0. ( 1). ta cú
điều phải chứng minh.