Cho biến đổi tuyến tớnh f: E E , A là ma trận của f đối với cặp cơ sở (U, U) của E và được gọi tắt là đối với cơ sở U của E
P là ma trận chuyển từ cơ sở U = {e1, e2, … , en} sang U’ = {e1’, e2’, … , en’}. Khi đú ma trận của f đối với cơ sở U’ là A’. Ta đi tỡm mối liờn hệ giữa A và A’
Dạng ma trận của f đối với cơ sở U: Y = AX Dạng ma trận của f đối với cơ sở U’: Y’ = A’ X’
Vỡ P là ma trận chuyển cơ sở từ U sang U’ nờn : X =PX’ ; Y = PY’ Từ đú, ta cú PY’ = Y = AX = APX’ nờn Y’ = P-1PY’ = P-1APX’ Mà Y’ = A’X’ nờn A’X’ = P-1APX’ với mọi X’ suy ra A’ = P-1AP. Như vậy, ta cú định lý sau :
Định lý 5.2. Nếu A và A’ là hai ma trận của cựng một ỏnh xạ tuyến tớnh f từ khụng gian vộc tơ E vào chớnh nú đối với hai cơ sở U và U’ và P là ma trận chuyển cơ sở U sang U’ thỡ
Định nghĩa 5.6. Hai ma trận A và A’ vuụng cấp n sao cho tồn tại ma trận P vuụng cấp n khả nghịch thoả món A’ = P-1AP được gọi là hai ma trận đồng dạng.
Như vậy cỏc ma trận của cựng một ỏnh xạ tuyến tớnh f từ E vào chớnh nú trong cỏc cơ sở khỏc nhau thỡ đồng dạng với nhau.
1 1 0
Vớ dụ 5.4. Xột ỏnh xạ tuyến tớnh f từ R3 vào chớnh nú cho bởi ma trận A 1 0 1 đối
0 1
1 với cơ sở chớnh tắc U = {e1 = (1 ; 0 ;0) ; e2= (0 ; 1 ;0) ; e3= (0 ; 0 ; 1)} của R3. Xột cơ sở U’ = {e1’ =(1 ; 2 ; 1) ; e2’ =(2 ; 1 ; 3) ; e3’=(1 ; 1 ; 1)} của R3. Tỡm ma trận A’ của f đối với cơ sở U’ và viết biểu thức toạ độ của f đối với cơ sở đú.
Giải: Ta cú ma trận chuyển cơ sở P là 1 2 1 2 1 1 P 2 1 1 . Suy ra P 1 1 0 1 1 3 1 5 1 3 1 3 0 Từ đú A' P AP 1 0 1 0 4 2 2
Khi đú biểu thức toạ độ của f đối với cơ sở U’ là
y1' x1' 3x '2
Y' A'X' y' x '2
2
y'3 4x1' 2x '2 2x3'