5.2.1.Cỏc khỏi niệm
Giả sử f là biến đổi tuyến tớnh trờn khụng gian vộc tơ E. Bõy giờ ta xột bài toỏn: tỡm cỏc vộc tơ u thuộc E sao cho f(u) tỷ lệ với u, tức là tỡm vộc tơ u sao cho f (u) u . Do f(0) = 0 nờn vộc tơ 0 luụn cú tớnh chất đú, vỡ vậy ở đõy ta cần đi tỡm cỏc vộc tơ khỏc khụng.
Định nghĩa 5.7. Một vộc tơ u thuộc E khỏc khụng được gọi là vộc tơ riờng của phộp biến đổi tuyến tớnh f nến tồn tại số (thực hoặc phức) sao cho f (u) u .
Số được gọi là giỏ trị riờng ứng với vộc tơ riờng u.
Ta cú f(1 ; 1) = 1. (1 ; 1) nờn 1 là giỏ trị riờng ứng với vộc tơ riờng u1 = (1 ; 1)
Mặt khỏc ta cũng cú f(1 ; -1) = (-1 ; 1) = (-1). (1 ; - 1) nờn – 1 là giỏ trị riờng ứng với vộc tơ riờng u2 =(1 ; -1).
Chỳ ý 5.5. Từ định nghĩa, suy ra một số tớnh chất đơn giản sau i) Giỏ trị riờng ứng với vộc tơ riờng u là duy nhất ii) Nếu u là vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng thỡ ku (k là số khỏc khụng) cũng là vộc tơ
riờng ứng với giỏ trị riờng đú.
iii) tập E X E :f(X) X lập thành một khụng gian con của E được gọi là khụng gian riờng ứng với giỏ trị riờng . Khi đú tập E \ 0 chớnh là tập cỏc vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng .
Đa thức đặc trưng
Cho biến đổi tuyến tớnh f trờn E. Giả sử A là ma trận của f đối với cơ sở {e1, e2, ... , en}. Ta ký hiệu vộc tơ riờng u dưới dạng ma trận cột X thỡ dạng ma trận của f (u) u là
A.X X (A E).X 0 (5.11)
Trong đú E là ma trận đơn vị cựng cấp với A.
Biểu thức (5.11) là một hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất. Theo quy tắc Cramer, nếu
det(A E) 0 thỡ hệ chỉ nghiệm tầm thường duy nhất X = 0. Do đú, để hệ cú nghiệm khỏc 0
thỡ cần và đủ là det(A E) 0 (5.12)
Như vậy, cỏc giỏ trị riờng của f là cỏc nghiệm của phương trỡnh (5.12).
Khi đú người ta cũn gọi là giỏ trị riờng của ma trận A và vộc tơ X khỏc 0 thỏa món (5.11) cũng được gọi là vộc tơ riờng của ma trận A ứng với giỏ trị riờng .
Định nghĩa 5.8. Định thức det(A E) là một đa thức bậc n đối với ; được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A và phương trỡnh (5.12) được gọi là phương trỡnh đặc trưng của ma trận A (hay của ỏnh xạ f).
2 2 6 2
Vớ dụ 5.6. Cho ỏnh xạ f : R R xỏc định bởi A 2 3 . Tỡm cỏc giỏ trị riờng và vộc
tơ riờng của nú.
Giải:
Ta cú phương trỡnh đặc trưng:
6 22 2
det(A E) 2 3 9 14 0 7
Để tỡm vộc tơ riờng ta giải hệ (A E).X 0
Với 2, hệ trở thành 2x1 x 2 0 x 2 2x1 . Chọn x1 = 1 thỡ x2 = - 2 Vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng 2 là u1 =(1; -2)
x1 2x 2 0
Với 7, hệ trở thành 2x1 4x 2 0 x1 2x 2 .Chọn x2 = 1 thỡ x1 = 2 Vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng 7là u2 = (2 ; 1)
Vớ dụ 5.7. Tỡm cỏc giỏ trị riờng và cỏc vộc tơ riờng của ma trận
2 1 1 A 1 2 1 0 0 1 Giải: 2 1 1 2 1
Phương trỡnh đặc trưng: det(A E) 1 2 1 (1) (3 ) 0
3
0 0 1
Đa thức đặc trưng cú nghiệm đơn 3 và nghiệm bội 1
Bõy giờ ta đi tỡm cỏc vộc tơ riờng ứng với cỏc giỏ trị riờng đú. Xột hệ (A E).X 0
x1 x 2 x3 0
Với 1, ta cú x1 x 2 x3 0 xx13 x02 . Chọn x1 = x2 = 1
x3 0
Vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng 1 là u1 = (1 ; 1 ; 0)
x1 x 2 x 3 0
Với 3, ta cú x1 x 2 x3 0 xx13 0x 2 . Chọn x1 = -x2 = 1
x3 0
Vộc tơ riờng ứng với giỏ trị riờng 3 là u2 = (1 ; - 1 ; 0)