Như ta đó biết một dạng toàn phương cú thể đưa về dạng chớnh tắc bằng nhiều phương phỏp và cỏc dạng chớnh tắc cũng khỏc nhau. Tuy nhiờn, người ta chứng minh được định lý sau, được gọi là luật quỏn tớnh của dạng toàn phương.
Định lý 5.10. Nếu một dạng toàn phương được đưa về dạng chớnh tắc bằng nhiều cỏch khỏc nhau thỡ số cỏc hệ số dương và số cỏc hệ số õm trong cỏc dạng chớnh tắc đú là như nhau (chỉ sai khỏc nhau cỏch sắp xếp).
Vớ dụ 5.17. Xem vớ dụ 5.14 và chỳ ý 5.9 ta cú thể đưa dạng toàn phương f về hai dạng chớnh tắc cú số hệ số dương bằng nhau và bằng 2, số hệ số õm cũng bằng nhau và bằng 1.
Chỳ ý 5.10. Hiệu giữa số cỏc hệ số dương và số cỏc hệ số õm trong một dạng chớnh tắc của dạng toàn phương f được gọi là kớ số của f.
Đối với cỏc dạng toàn phương xỏc định dấu, ta cú cỏc kết quả sau: n n
Định lý 5.11. Dạng toàn phương thực f(x ,x ,...,x )1 2n a x xij i j là xỏc định dương
i 1j 1
n khi và chỉ khi cú phộp biến đổi tuyến tớnh đưa nú về dạng chuẩn f yi2 hoặc dạng chớnh
i 1 n
tắc f i y (i2 i 0;i 1,2,3,..,n i 1
Định lý 5.12. (Tiờu chuẩn Sylvester) Dạng toàn phương thực
n n f(x ,x ,...,x )1 2 n a x xij i j = XTAX là xỏc định
dương khi và chỉ khi cỏc định thức con i 1 j 1
6 6
5 5
a11
a chớnh của A đều dương, tức là i21 ... a i1 a12 a 22 ... a i2 ... ... ... ... a1i a 2i 0; i 1,2,..,n ... a ii
Vớ dụ 5.18. Khảo sỏt tớnh xỏc định của dạng toàn phương
f(x ,x ,x )1 2 3 5x12 x 2 2 5x32 4x x13 8x x13 4x x2 3 Giải: 5 2 4 Ma trận của f là A 2 1 2 . Ta cú a11 = 5 > 0 ; 52 12 10 ; 4 2 5 5 2 4
2 1 2 10 nờn theo tiờu chuẩn Sylvester dạng toàn phương f là xỏc định dương
4 2 5
Chỳ ý 5. 11. Dạng toàn phương f là xỏc định õm khi và chỉ khi – f là xỏc định dương. Nếu ma trận của f là A thỡ ma trận của – f là – A. Do đú theo tiờu chuẩn Sylvester f xỏc định
a11 a õm khi và chỉ khi ( 1) i i( 1)i21 ... a i1 a12 a 22 ... a i2 ... ... ... ... a1i a 2i 0; i 1,2,..,n ... a ii
Vớ dụ 5.19. Khảo sỏt tớnh xỏc định của dạng toàn phương
f(x ,x ,x )1 2 3 3x12 x 2 2 5x32 4x x13 8x x13 4x x2 3 Giải: 3 2 4 Ma trận của f là A 2 1 2 . Ta cú a11 = 3 > 0 ; 3 2 12 1 0 do đú theo tiờu 4 2 5
chuẩn Sylvester kết hợp với chỳ ý 5.11 thỡ f khụng xỏc định dương cũng khụng xỏc định õm.
Vớ dụ 5.20. Cho dạng toàn phương f(x ,x ,x )1 2 3 5x12 x 22 mx 32 4x x1 3 2x x1 3 2x x2 3
Với giỏ trị nào của m thỡ dạng toàn phương f là xỏc định õm Giải:
Ma trận của f là A 2 1 1 . Ta cú a11 = -(- 5) > 0 ; ( 1) 2 5
2 12 10 ;
1 1 m
( 1) 3.det(A) m 2.
Vậy để f xỏc định õm khi m – 2 > 0 hay m > 2.
Chỳ 5.12. Việc khảo sỏt dạng toàn phương, đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc được ứng dụng trực tiếp vào giải quyết bài toỏn khảo sỏt, nhận dạng và phõn loại đường và mặt bậc hai trong hỡnh học giải tớch mà trong khuụn khổ giỏo trỡnh này khụng đề cập đến. Độc giả nào quan tõm đến vấn đề này cú thể tham khảo ở hầu hết cỏc giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh và Hỡnh học giải tớch ở cỏc trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà nội, ĐHSP Hà nội.
Bài tập chương 5 Bài 5.1. Trong cỏc ỏnh xạ sau, ỏnh xạ nào là tuyến tớnh
a) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x2 – x3; x1 + x3; 3x1 – x2 + 2x3) b) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; x2 + 2; x3 + 3)
c) f : R 2 R , f(x ,x )1 2 x1 x 2
d) f : R 3 R 3 , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; 2x2; x3 + m) (m là tham số)
1 3 2 2
Bài 5.2. Cho ma trận A 2 1 2 1 . Xột ỏnh xạ tuyến tớnh f : R 4 R 3 xỏc định
1 2 0 1
bởi f(X) = A.X. Tỡm Im(f) và Ker(f).
Bài 5.3. Cho biến đổi tuyến tớnh f : R 2 R 2 cú biểu thức toạ độ xỏc định trong cơ sở chớnh tắc. Tỡm ma trận của f trong cơ sở U = {(2 ; 5) ; (1 ; 3) }
a)f(x, y) = (2y ; 3x – y) b)f(x ; y) = (3x – 4y ; x + 5y)
Bài 5.4. Tỡm giỏ trị riờng và vộc tơ riờng của cỏc ma trận sau
1 1 ... 1
1 1 1 1 1 ... 1
1 4
a) 23 b) 11 01 01 c) ...1 ...1 ... ...1
Bài 5.5. Tỡm ma trận khả nghịch P chộo hoỏ cỏc ma trận sau
3 1 1 1 a a 2
a) 5 13 2 4 2 c) 0 0 a (a là số thực)
1 b) 1 1 3 0 0 a
Bài 5.6. Chộo hoỏ trực giao cỏc ma trận sau
1 2 2 1 3 1
a) 12 22 b) 2 1 2 c) 3 1 1
2 2 1 1 1 5
n 3 1 1 20
1 2 2 4 2
a) 23 (n N;n 2) b) 11 3
Bài 5.8. Cho ỏnh xạ f : R 3 R 3 xỏc định bởi f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; x1+x2; x1 + x3) Tỡm dim(Im(f)) và dim(Ker(f))
Bài 5.9. Cho ỏnh xạ f : R 3 R 3 xỏc định bởi f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; 2x1+3x2; x1 +2x2+mx3) (m là tham số) Tỡm m để Im(f) cú chiều lớn nhất.
Bài 5.10. Viết ma trận và tỡm hạng của cỏc dạng toàn phương sau a)f = 3x12 – 4x1x2 – x22
b)f = x12 – 2x1x2 – x1x3
c)f = 2x12 – 2x22 + 5x32 – 8x1x2 – 16x1x3 + 14x2x3Bài 5.11. Đưa cỏc dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc a) f = 2x12 + 3x22 + 4x32 – 2x1x2 + 4x1x3
b) f = x12 + 5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 c) f = 2x1x2 + 2x3x4
Bài 5.12. Cho dạng toàn phương f = 2x12 + 2x22 + x32 + 2x1x2 + mx1x3 ( m là tham số) a) Đưa dạng toàn phương trờn về dạng chớnh tắc bằng phương phỏp Lagrange.
b) Tỡm m để f xỏc định dương; nửa xỏc định dương.
Bài 5.13. Chứng minh rằng nếu tất cả cỏc nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận đối xứng thực A thuộc đoạn [a; b] thỡ dạng toàn phương với ma trận A – tE sẽ xỏc định õm nếu t > b và xỏc định dương nếu t < a.
Bài 5.14. Dựng phộp biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau về dạng chớnh tắc f = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn
a b
Bài 5.15. Cho ma trận A c d . Chứng minh
a)A chộo hoỏ được khi (a –d)2 + 4bc > 0 b)A khụng chộo hoỏ được khi (a –d)2 + 4bc < 0
a b
Bài 5.16. Tỡm ma trận làm chộo hoỏ trực giao A b a (b 0)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Nguyễn Doón Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tớnh và hỡnh học giải tớch, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007
2. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc.Graw-Hill Book Copany, 1984.
3. P.Gabriel, Martizen, Geometrie, Linerae Algebra, Birkhauser – Verlag, Basel – Boston – Berlin 1996
4. Lờ Tuấn Hoa, Đại số tuyến tớnh: Cỏc vớ dụ và bài tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007
5. Nguyễn Huy Hoàng, Toỏn cao cấp- Tập 1 (Đại số tuyến tớnh), Nhà xuất bản giỏo dục Việt Nam, 2009
6. Nguyễn Huy Hoàng (chủ biờn), Bài tập Toỏn cao cấp cho cỏc nhà kinh tế - Phần 1 (Đại số tuyến tớnh), NXB Thống kờ, 2008
7. Ngụ Thỳc Lanh, Đại số tuyến tớnh, NXB ĐH THCN, Hà nội, 1970
8. Jean – Marie Monier, Giỏo trỡnh Toỏn - Tập 5 + 6 : Đại số I + II, NXB Giỏo dục
2006
9. Nguyễn Văn Mậu (chủ biờn), Toỏn Olympic Sinh viờn Đại học, NXB ĐHQG Hà Nội,
2006
10. Đoàn Quỳnh (Chủ biờn), Giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh và hỡnh học giải tớch, NXB
ĐHQG Hà Nội, 2007
11. Hoàng Xuõn Sớnh, Đại số, Giỏo trỡnh đại học đại cương, NXB Giỏo dục, 1990 12. Phan Doón Thoại, Nguyễn Hữu Hoan, Đại số và số học, NXB ĐHSP Hà Nội, 2008
13. Lờ Đỡnh Thuý (chủ biờn), Toỏn cao cấp cho cỏc nhà kinh tế - Phần 1, NXB ĐH KTQD Hà Nội, 2008.
14. Đoàn Trọng Tuyển, Bài giảng Đại số, NXB Đại học Kinh tế Quốc dõn, 2008 15. Nguyễn Đỡnh Trớ (chủ biờn), Toỏn cao cấp - Tập 1, NXB Giỏo dục 2007 16. Nguyễn Đỡnh Trớ (chủ biờn), Bài tập Toỏn cao cấp - Tập 1, NXB Giỏo dục 2007 17. Ngụ Việt Trung, Giỏo trỡnh Đại số tuyến tớnh, Bộ sỏch Cao học - Viện Toỏn học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002.