Định nghĩa 4.7. Hệ k phương trỡnh với n ẩn (k<n) dạng:
a x111 +a x +122 ... a1k xk a1k 1xk 1 ... a x1n n = b1
a x +222 ... a 2kxk a 2k 1xk 1 ...a 2n xn = b 2
(4.3)
...
a kk xk a kk 1xk 1 ...a kn xn = b k
với aii 0, i1 ,k được gọi là hệ phương trỡnh dạng bậc thang
Nhận xột 4.4.
i) Hệ phương trỡnh tuyến tớnh dạng tam giỏc là trường hợp đặc biệt của hệ dạng bậc thang.
ii) Hệ phương trỡnh dạng bậc thang cú số phương trỡnh nhỏ hơn số ẩn và ma trận hệ số cú dạng bậc thang. Hệ bậc thang luụn cú nghiệm.
Thật vậy trong hệ (4.3) ta chuyển n-k ẩn cuối sang vế phải và coi là cỏc ẩn tự do, k ẩn đầu được gọi là cỏc ẩn chớnh, khi đú hệ:
a x111 +a x +122 ... a1k x = bk1 a1k 1xk 1 ...a x1nn
(4.3) 2 ... a 2k x = bk 2 a 2k 1xk 1 ... a 2n xn
a x +22
...
Đõy là hệ dạng tam giỏc đối với k ẩn đầu, theo nhận xột 4.3 giỏ trị của k ẩn đầu được xỏc định duy nhất theo n-k ẩn cuối được chọn tự do. Với mỗi cỏch cho xk 1 ck 1, xk 2 ck 2 ,..., xn
cn tự do và x x1, 2,..., xk nhận được từ hệ trờn cho ta một nghiệm riờng của hệ (4.3), hệ dạng bậc thang (4.3) cú vụ số nghiệm. Cũng lần lượt rỳt cỏc ẩn từ phương trỡnh cuối lờn ta sẽ nhận được nghiệm tổng quỏt của hệ bậc thang đó cho.
Vớ dụ 4.5. Giải hệ phương trỡnh:
2x1+x +3x2 3 x4 +x = 5 2
3x -2x +x -2x = -12 3 4 5
x - x + 2x = 43 4 5
Giải: Trong hệ trờn ta coi cỏc ẩn: x1, x2, x3 là 3 ẩn chớnh, khi đú hệ tương đương với hệ:
x1 6 25 76 x4 176 x5 2x1+x +3x = 2 3 2+x4 -x5 3x -2x = -1-x +2x x2 5 1 x4 2 x5 2 3 4 5 x = 4+ x - 2x3 4 5 x = 4+ x - 2x3 3 34 5 3
Cho ẩn tự do x4 c x1, 5 c2; c c1, 2 R, khi đú hệ đó cho cú vụ số nghiệm và tập nghiệm tổng quỏt của hệ: 625 76 c1 176 c ,2 35 13c1 23 c ,2 4+ c - 2c1 2 ,c ,c1 2 : c ,c1 2 R