Cho tập hợp V khỏc rỗng, K là trường số thực hoặc phức.
Định nghĩa 3.1. (phộp cộng hai phần tử trong V , ký hiệu là +)
Với hai phần tử bất kỳ , V ta đặt tương ứng với một phần tử xỏc định trong V , gọi là tổng của với và ký hiệu là V .
Định nghĩa 3.2. (phộp nhõn một phần tử của K với một phần tử của V, ký hiệu là .)
Với một phần tử bất kỳ k K và một phần tử bất kỳ V , ta đặt tương ứng với một phần tử xỏc định trong V ; gọi là tớch của k với và ký kiệu k. = .
Định nghĩa 3.3. Tập hợp V cựng với hai phộp toỏn trờn nếu thỏa món 8 tớnh chất sau:
t1. Tớnh chất giao hoỏn: , V thỡ t2. Tớnh chất kết hợp: , , V
thỡ ( ) t3. Trong V tồn tại phần tử sao cho V thỏa món:
t4. Trong V mỗi phần tử tồn tại , V thỏa món: , t5. Tớnh chất phõn phối của phộpcộng tổng hai phần tử trong K với một phần tử trong V
:
k l, K , V thỡ (k+l). =k. l.
t6. Tớnh chất kết hợp giữa phộp nhõn hai phần tử trong K với một phần tử trong V:
k l, K , V thỡ (kl). =k.(l. ) l k.( . )
t7. Tớnh chất phõn phối của phộp nhõn một phần tử trong K với tổng hai phần tử trong V:
k K , , V thỡ k.( ) k. k.
t8. Tớnh chất bảo toàn của phộp nhõn phần tử đơn vị trong K với một phần tử trong V:
được gọi là khụng gian vectơ trờn trường K, ký hiệu (V ,+,.). Mỗi phần tử trong V gọi là một vectơ; mỗi phần tử trong trường K gọi là một vụ hướng; mỗi tớnh chất trờn được gọi là một tiờn đề (từ t1 đến t4 là bốn tiờn đề của phộp cộng, từ t5 đến t8 là bốn tiờn đề của phộp nhõn).
Chỳ ý 3.1.Để đơn giản sau đõy khi núi đến khụng gian vectơ (V ,+,.) ta chỉ cần kớ hiệu là V và luụn hiểu trong V cú hai phộp toỏn thỏa món tỏm tớnh chất trờn.
Vớ dụ 3.1. Chứng minh rằng tập hợp cỏc ma trận vuụng cấp 2x2 ký hiệu là:
Mat2 2 (K) A aij2 2 ;aij K i, 1,2; j 1,2
với phộp cụng hai ma trận cựng cấp và phộp nhõn một phần tử trong K với một ma trận thụng thường tạo thành một khụng gian vectơ.
Giải:
Thật vậy, với hai ma trận vuụng cấp 2x2:
A aij2 2 Mat2 2 (K);B bij2 2 Mat2 2 (K):A B aij bij 2 2 dễ thấy phộp cộng 2 ma trận thỏa món 4 tiờn đề của phộp cộng.
0 0
Phần tử 0 0 2 2 thỏa món tiờn đề 3 của phộp cộng
a11a12 A, aa1121 aa1222 : A A, 00 00
Với mỗi ma trận A a21 a22
Phộp nhõn một số trong trường K với một ma trận vuụng cấp 2x2 được xỏc định:
k K A; aij2 2 Mat2 2 (K):kA kaij 2 2
dễ thấy phộp nhõn một ma trận cấp 2x2 với một phần tử trong K cũng thỏa món 4 tiờn đề của phộp nhõn.
Do đú Mat2 2 (K) tạo thành một khụng gian vectơ và mỗi vectơ trong khụng gian này là một ma trận cấp 2x2 dạng A aij K 2 2 .
Tổng quỏt, tập hợp cỏc ma trận cấp mxn, ký hiệu là Matm n (K) A aij m n ;aij
K . Dễ thấy hai phộp toỏn: cộng hai ma trận cựng cấp mxn trong Matm n (K) và phộp nhõn một số trong K với một ma trận cấp mxn thụng thường thỏa món tỏm tiờn đề trong định nghĩa
3.3, do đú Matm n (K) tạo thành một khụng gian vectơ và mỗi vectơ trong khụng gian này là một ma trận cấp mxn dạng A aij K m n .
Phần tử 0 m n thỏa món tiờn đề 3 của phộp cộng.
Với mỗi ma trận A aijm n Matm n (K), A, aij m n Matm n (K): A A , 0 m n .
Vớ dụ 3.2. Cho K là trường số thực R, Pn(x) là tập hợp cỏc đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n n(
N)của x với hệ số thực:
Pn(x) p xn ( ) a0 a x1 a x22 ...an 1xn 1 a xnn; ai R, i0,1,...,n .
Chứng minh Pn(x) với phộp cộng hai đa thức và phộp nhõn một số thực với một đa thức thụng thường tạo thành một khụng gian vectơ.
Giải: Phộp cộng 2 đa thức trong Pn(x) được xỏc định như sau:
pn ( )x ; qn ( )x Pn(x):p xn ( ) a0a x1 a x22 ... an 1xn 1 a xn n; ai R, i 0,1,...,n. và q xn ( ) b0 b x1 b x22 ... bn 1xn 1 b xnn;bi R, i1,n:
p xn ( ) q xn ( ) (a0 b0 ) (a1 b x1) (a2 b x2 ) 2 ...(an 1 bn 1)xn 1 (an b xn ) n;dễ thấy
pn ( )x qn( )x Pn(x) và phộp cộng thỏa món 4 tiờn đề trong định nghĩa 3.3.
Phần tử 0 0x 0x2 ... 0xn 1 0xn 0 Pn(x) thỏa món tiờn đề 3 của phộp cộng. Mỗi đa thức: p xn( ) a0 ax a x1 22 ... a xn 1 n 1 a xn n Pn(x)
p xn, ( ) a0a x1 a x22 ... an 1xn 1 a xnn Pn(x): p xn ( ) p xn, ( )
Phộp nhõn số thực k với đa thức p xn ( ) a0 a x1 a x2 2 ... an 1xn 1 a xn n Pn(x) được xỏc định như sau:kp xn ( ) ka0 ka x1 ka x2 2 ... kan 1xn 1 ka xn n dễ thấy kpn ( )x Pn(x) và phộp nhõn 1 số thực với một đa thức trong Pn(x) cũng thỏa món 4 tiờn đề của phộp nhõn, do đú
Pn(x) tạo thành một khụng gian vectơ trờn trường số thực; mỗi vectơ là một đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n cú dạng: pn(x)=a0+a1x+a2x2 +...+anxn .