5.1.2.1. Khỏi niệm
Cho ma trận A cấp m x n : A = [aij]m xn. Xột ỏnh xạ f : R n R m xỏc định bởi f(u) = A.u (u là vộc tơ thuộc Rn viết dưới dạng cột).
Bằng phộp tớnh ma trận, dễ dàng kiểm tra được f là ỏnh xạ tuyến tớnh.
Gọi (x1, x2, ... , xn) là toạ độ của của vộc tơ u trong Rn; (y1, y2, … , ym) là toạ độ của vộc tơ f(u) trong Rm theo cỏc cơ sở đó chọn trước trong cỏc khụng gian đú. Khi đú cú thể biểu diễn biểu thức f(u) = A.u dưới dạng ma trận:
m m1 m2 mn
n
Như vậy, cho một ma trận A cấp m x n cú thể xỏc định
được một ỏnh xạ tuyến tớnh f từ Rn đến Rm được xỏc định bởi
f(u) = A.u.
Ngược lại, cho một ỏnh xạ tuyến tớnh f : R n R m ta cú thể tỡm được ma trận của ỏnh xạ đú trong cỏc cơ sở đó chọn của Rn, Rm.
Giả sử {e1, e2, … , en } là một cơ sở của Rn, {f1, f2, ... , fm } là một cơ sở của Rm. Với v R n ta cú v = x1e1 + x2e2 + .... + xnen. Do f là ỏnh xạ tuyến tớnh nờn f(v) = x1f(e1) + x2f(e2) + … + xnf(en) (5.4)
Vỡ f(e1), f(e2), ... , f(en) là cỏc vộc tơ thuộc Rm nờn cú thể biểu diễn thụng qua cơ sở {f1, f2, ... , fm }: f(e1) = a11f1 + a21f2 + ... + am1fm f(e2) = a12f1 + a22f2 + ... + am2fm y1 a11 y2 a 21 ... ... y a a12 a 22 ... a ... ... ... ... a1n x1 a 2n . x 2 ... ... a x
....
f(en) = a1nf1 + a2nf2 + ... + amnfm
Thay cỏc giỏ trị vừa nhận được vào (5.4) ta cú f(v) = (a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn)f1 + (a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn)f2 + ...
….+ (am1x1 + am2x2 + ... +amnxn)fm (5.5)
Mặt khỏc vỡ f(v) Rm nờn f(v) = y1f1 + y2f2 + ... + ymfm (5.6)
Do f(v) chỉ cú cỏch biểu diễn duy nhất qua cơ sở {f1, f2, ... , fm} nờn từ (5.5) và (5.6) suy ra y1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ym = am1x1 + am2x2 + ... + amnxn
Cú thể viết kết quả này dưới dạng ma trận
y 1 a 11 y2 a 21 ... ... y a a12 ... a1n x1 a 22 ... a 2n . x 2 Y A.X ... ... ... ... a ... a x m m1 m2 mn n
Định nghĩa 5.4. Chof là ỏnh xạ tuyến tớnh từ Rn vào Rm và {e1, e2, ... , en};
{f1, f2, ... , fm } lần lượt là cỏc cơ sở của Rn, Rm ; ma trận cấp m x n cú cỏc phần tử ở cột thứ j là toạ độ của vộc tơ f(ej) theo cơ sở {f1, f2, ... , fm } được gọi là ma trận của ỏnh xạ tuyến tớnh f với cỏc cơ sở đó cho.
Chỳ ý 5.4. Tương tự, kết quả này cú thể mở rộng cho cỏc khụng gian vộc tơ E, F bất kỳ cú dimE = n, dim F = m, cỏc cơ sở tương ứng là U = {e1, e2, ... , en};V = {f1, f2, ... , fm }. Giả sử f là ỏnh xạ tuyến tớnh từ E vào F. Khi đú ỏnh xạ f hoàn toàn xỏc định bởi cỏc vộc
n tơ f(e1), f(e2), ... , f(en) và nếu f(e )i a f (iki k
1,2,3,...,n) . Khi đú ma trận A = [aij]m x n k 1
được gọi là ma trận của ỏnh xạ tuyến tớnh f đối với cặp cơ sở (U, V).
Vớ dụ 5.2. Tỡm ma trận của ỏnh xạ tuyến tớnh f : R 2 R 2 xỏc định bởi
x1 thỡ f(x) xx11 2xx2 2 đối với cặp cơ sở (U, U) Với mọi x x 2
với U ={e1 =(1; 0); e2 =(0; 1)} Giải:
1 2 1 2
Ta cú f(e )1 1 ;f(e )2 1 nờn ma trận của f đối với cặp cơ sở (U, U) là A
1 1