Trong khụng gian vectơ V, ta trang bị cho hai vectơ bất kỳ trong V thờm một phộp toỏn tớch vụ hướng, khi đú ta gọi khụng gian V là khụng gian vectơ cú tớch vụ hướng. Trong phạm vi giỏo trỡnh, chỳng tụi chỉ giới thiệu về khụng gian vectơ Rn với việc bổ sung thờm phộp toỏn tớch vụ hướng của 2 vectơ.
Định nghĩa 3.23. Cho vectơ x (x x1, 2,..., xn ) và vectơ y (y y1, 2,..., yn ) trong khụng gian vectơ Rn . Tớch vụ hướng của x và y là một số thực ký hiệu <x,y>, được xỏc định bởi: x y,
n x yi i .
i 1
Vớ dụ 3.14.Trong R4 cho x ( 1,3, 2,5); y (2, ,1,4), tỡm tớch vụ hướng của x và y.
Giải: Ta cú x y, 1.2 3. 13 ( 2).1 5.4 15
Tớnh chất của tớch vụ hướng
Từ định nghĩa tớch vụ hướng ta dễ dàng thấy cỏc tớnh chất sau được thỏa món: t1.
x y, Rn : x y, y x,
105 2
t3. x y, Rn; k R: kx y, k x y,
t4. x Rn : x x, 0; x x, 0 x
Định nghĩa 3.24. Khụng gian vectơ Rn được bổ sung thờm phộp toỏn tớch vụ hướng ở trờn được gọi là khụng gian Euclid, ký hiệu En
Định nghĩa 3.25.Hai vectơ x,y trong khụng gian Euclid En được gọi là trực giao với nhau nếu tớch vụ hướng của chỳng bằng khụng. Hệ vectơ U u u1, 2,...,um En;U là hệ trực giao nếu hai vectơ bất kỳ trong U trực giao nhau.
Định nghĩa 3.26. Chuẩn của vectơ x En là một số thực khụng õm ký hiệu x , được xỏc định bởi: x x x,
Vớ dụ 3.15. Vớ dụ 3.22. Chox 1,4, 3, 1/ 2 E4 , tỡm chuẩn của x
Giải: Chuẩn của x, ký hiệu: x ( 1) 2 42 ( 3)2 ( 1/ 2)2
Tớnh chất về chuẩn của vectơ
Từ định nghĩa chuẩn của vectơ trong khụng gian Euclid En ta dễ dàng thấy cỏc tớnh chất sau được thỏa món:
t1. x En : x 0; x 0 x t2. x En; k R: kx k xt3. x y,
En : x y x y
Nhận xột 3.13. x ;x En x x
1; khi đú ta núi vectơ x đó được chuẩn húa.
x x
Định lý 3.8. Trong khụng gian Euclid En , hệ vectơ u u1, 2,...,um U En;U là họ trực giao và cỏc vectơ của U đều khỏc vectơ khụng thỡ U là hệ đltt.
m
Chứng minh: Giả sử cú hệ thức kui i (1) (ki R, i 1,m) ta phải chứng minh cho
i 1
ki 0, i1 ,m.
Thật vậy với chỉ số j xỏc định (1 j m), ta cú tớch vụ hương sau:
m m2
k u ui i , j 0 ki u ui , j 0 k j u uj , j k uj j 0 k j 0 ( vỡ U hệ trực giao
i 1 i 1 cỏc vectơ khỏc khụng), do đú k j 0, j 1 ,m ta cú đpcm.
Định nghĩa 3.27. Trong khụng gian Euclid En một hệ vectơ gồm n vectơ khỏc khụng trực giao là một cơ sở trực giao của En. Nếu mọi vectơ của cơ sở trực giao đều cú chuẩn bằng 1 thỡ cơ sở trực giao đú được gọi là cơ sở trực chuẩn.
Vớ dụ 3.16. Trong khụng gian Euclid En, hóy chỉ ra một cơ sở trực chuẩn của En
i 1n i
Giải: Cơ sở chớnh tắc e e1, 2,...,en ; ei (0,0,...,0,1,0,...0); i 1,nlà cơ sở trực chuẩn của En vỡ: e ei ,j ) 0, i j i j; , 1,n và ei 1; i 1,n.
Định lý 3.9. Trong khụng gian Euclid En, một hệ U bất kỳ gồm m vectơ độc lập tuyến tớnh của En , khi đú U luụn cú thể được thay thế bằng một hệ S gồm m vectơ trực chuẩn trong En và
L U L S .
Chứng minh: Giả sử U u u1, 2,...,um En;U là hệ gồm m vectơ đltt trong khụng gian Euclid En, ta chứng minh cho luụn tồn tại S s s1, 2,...,sm En; S là hệ gồm m vectơ trực chuẩn của En và L U L S .
Ta ký hiệu: Uk u u1, 2,...,uk ; Sk s s1, 2,...,sk ;1 k m 1
Thật vậy: Trước tiờn ta đặt s1 u1
s1 1, ta gọi S1 s1 L U 1 L S 1
u1
Tiếp theo ta tỡm s2, sao cho s s1, 2, 0; đặt s2, u2 ts1 (1) ta tỡm t để s s1, 2, 0.
Mà: s s2, , 1 u s2 , 1 t s s1, 1 0(1) t u s2 , 1 2 u s2 , 1 s s1, 1 s1 1 Nờn s2, u2 u s2 , 1 .s1 2 u2 u s2, 1 s1 (1) Đặt s2 s s2, 1 0 , u2 u s2, 1 s1 Ta cú s2 vỡ nếu s2 u2 u s2, 1 .s1 u2 u s2, 1 .s1 u s2, 1 .u1 u u1, 2 phụ thuộc tuyến tớnh u1
mõu thuẫn với giả thiết, do đúS2 s s1, 2 là hệ trực chuẩn và L U 2 L S 2 . ,
2
s s
Tiếp tục quỏ trỡnh trờn, sau m-1 lần, giả sử ta đó xõy dựng được Sm 1 s s1, 2,...,sm 1 là hệ gồm m-1 vectơ trực chuẩn và L U k L S k ; k 1,m 1
Ta xõy dựng vectơ sm để hệ Sm s s1, 2,...,sm là hệ trực chuẩn và L U
m L S m . Ta đặt: sm, um t s1 1 t s2 2 ... tm 1sm 1 (2) ta tỡm t j R ( j 1,m 1) sao cho sm, , sj 0; j 1,m 1. (2) Mà: sm, ,sj 0 um,sj t j s sj , j 0 t j um,sj (3); j 1,m 1. sm, um um,s1 .s1 um,s2 .s2 ... um,sm 1 .sm 1 Đặt sm sm, , (2),(3) sm,sj 0; j 1,m 1, hơn nữa ta cú sm vỡ nếu sm sm s2, um um,s1 .s1 um,s2 .s2 ... um,sm 1 .sm 1 mà sj L U j ; j1,m 1 do đú um L U m 1 U u u1, 2,...,um phụ thuộc tuyến tớnh
mõu thuẫn giả thiết, do vậy S là hệ gồm m vectơ trực chuẩn.
Từ cỏch xõy dựng hệ vectơ S dễ thấy L U L S ; do đú ta cú đpcm.
Định nghĩa 3.28. Hệ S nhận được bằng cỏch xõy dựng theo định lý 3.9 ở trờn thỡ ta núi S cú được từ U bằng trực chuẩn húa Gram-Smidt.
Vớ dụ 3.17. Trong E3 cho U u1 (1, 1,2); u2 (1,1,2) . Hóy trực chuẩn húa GramSmidt hệ vectơ U.
Giải: Dễ thấy U gồm 2 vectơ đltt trong E3
Đặt: uu11 (1, 1, 6 2) 16 , 61 , 26
s1
s2 uu22 uu22,,ss11 ..ss11 ;u2 u2,s1 .s1 (1,1,2) 46 16 , 61 , 26 1 5 23
1 5 23 3 3, , 330 s2 130 , 530 , 230 S s1 16 , 61 , 26
,s2 130 , 530 , 230 là hệ trực chuẩn trong E3 và L U L S
Hệ quả 3.11. Trong khụng gian Euclid En, một cơ sở U bất kỳ của En đều cú thể được thay thế bằng một cơ sở trực chuẩn S trong En .
Bài tập chương 3 Bài 3.1. Tỡm vectơ x thỏa món: a) x a b 2c với a ( 2,1, 1);b (2,3,1);c (3, 1,2) b) 2x 3a b 5c với a ( 1, 2,4);b (0,3,6);c (2,1,2) c) 3x a 2b 4c với a (1, 2, 1,3);b (2,1, 3, 1);c ( 2,1, 4,5) d) 2a b c 3d 4x với a (2,0, 1,1);b ( 2,1, 4, 1);c ( 2,1, 3,1);d (2,5,3, 4)
Bài 3.2. Biểu diễn x qua cỏc vectơ: a,b,c,d trong cỏc trương hợp sau: a) x (1,4, 2); a (
2,3, 1); b (2, 3, 2);c (3,1,2)
b) x (1, 1, 2);a ( 2,1,1);b (2, 3, 1);c (1,1, 2)
c) x (1,4, 3,2);a ( 1, 1, 2,1);b (3,1,2,2);c (1, 2, 1,1)
d) x (1, 4, 2, 2);a (1,1, 2, 1);b ( 2,1, 3,1);c (2, 4, 1, 2);d
(1, 2,3,1)
Bài 3.3. Xột sự độc lập tyến tớnh của cỏc hệ vectơ sau: a)
a ( 2, m b); (3, 1) b) a (2, 4,2);b (1, 3,2);c ( 1,5, 4) c) a (3,1,4);b (2, 5,1);c (1, 1, 2) d) a (1, 1,3, 2);b ( 2,1, 2,1);c ( 3,1, 2,1) e) a (1, 1, 2, 1);b ( 2,1,3,1);c ( 1,1,2, 3);d (1, 2, 3, 2) f) a (2, 1, 3, 1,1);b ( 1, 1,2,1, 1);c (4,1, 2,3,2);d (1, 2, 3, 2, 2)
Bài 3.4. Tỡm điều kiện của m để cỏc hệ vectơ sau là cơ sở của khụng gian vectơ tương ứng:
a) a (1,m 1);b (2, 5)
b) a (2, 1,m b); (1, 1, m c); (1,m, 1)
c) a ( 1,1,m b); (2,2m 1, 1);c ( 1,1,m)
d) a (m,3,1, 1);b ( m, 2, 1,1);c (m,3, 1,2);d ( 2,1, m, 1).
Bài 3.5. Tỡm hạng của cỏc hệ vectơ sau:
b) a ( 2,1,4);b (2, 3, 1);c ( 2,5, 1)
c) a (2, 1,3, 1);b ( 1,1, 2,1);c (3,4, 1,2);d (3,5, 2, 1)
d) a (4, 1,3, 2);b ( 1,1, 2,2);c (2,1, 2,1);d ( 1,2, 1,3)
e) a ( 1, 1,2,2, 3);b ( 2,1,1, 2, 2);c (2,1, 3, 2,5);d (3, 2, 1, 4, 1)Bài 3.6.
Tỡm m để hạng của cỏc hệ vectơ sau bằng 3: a) a (5,m,3);b (1, 2,1);c ( 2,4, 2) b) a (3, 1,m b); (1, 1,m 1);c (2,m, 1)
c) a ( 1,1, m b); (2,m, 1);c ( 1,2, m)
d) a (m,1,1, 1);b (2m, 2, 1,1);c (1, 2,m,2);d ( 2,1, m, 1) .
Bài 3.7. Cho hệ vectơ U a ( m, 1,1);b (1,1, 1); c (1,2,2 )m ; tỡm m để vectơ x ( 2,m,1)
a)Biểu diễn duy nhất qua cỏc vectơ của U b)Cú vụ số cỏch biểu diễn qua cỏc vectơ của U c)Khụng cú biểu diễn qua cỏc vectơ của U
Bài 3.8. Trong khụng gian vectơ Mat2 2 (K) (khụng gian ma trận vuụng cấp 2 trờn trường K) cho hệ vectơ:
x 1 1 x 1 1 1 1
M M1 11 ;M 2 11 ;M 3 x1 ;M 4 1 x a)Với giỏ trị nào của x thỡ M là một cơ sở của Mat2 2 (K) .
3 3
b)Với x = -1 biểu diễn ma trận X 31 qua cơ sở đú.
Bài 3.9. Trong khụng gian vectơ Mat2 2 (K) (khụng gian ma trận vuụng cấp 2 trờn trường
1 1 1 1 1 1 1 0
K) cho cỏc ma trận: M1 1 1 ;M 2 10 ;M 3 00 ;M 4 0 0
cỏc ma trận A,B,C,D được xỏc định như sau:A=M1+M2; B= M2+M3; C=M3+M4;D= M1+M4
a)Xột sự đltt của họ ma trận A,B,C,D.
4 2
b)Biểu diễn ma trận X 2 2 qua cỏc ma trận A,B,C,D.
B b b b1, 2, 3 cú b1=-a1+a2+a3; b2=a1- a2+a3; b3=a1+a2-a3.
a) Chứng minh rằng: A đltt khi và chỉ khi B đltt. b) Biểu diễn vectơ x= 2a1-a2-a3 qua hệ vectơ B?
Bài 3.11. Cho tập hợp X với hai phộp toỏn được xỏc định trong cỏc trường hợp dưới đõy cú tạo thành khụng gian vec tơ trờn trường số thực khụng? Nếu cú hóy tỡm số chiều của nú.
a) X x x: R với hai phộp toỏn ; như sau:
x y, X x: y xy
k R; x X k: x xk
b) X f x( ): f C[0,1] với phộp cộng hai hàm số và phộp nhõn một số thực với một
hàm số thụng thường.
c) X f x( ): f C[0,1] với phộp toỏn ; như sau:
+) f x g x( ); ( ) X : f x( ) g x( ) f g x( ( )) (hợp của hàm g và hàm f)
+) k R; f x( ) X k: f x( ) f k ( )x ( phộp tớnh lũy thừa thụng thường)
d) X là tập hợp cỏc số hữu tỷ với phộp toỏn cộng hai số hữu tỷ và phộp nhõn một số thực
với một số hữu tỷ thụng thường.
Bài 3.12. Cho S S, , là cỏc hệ vectơ khỏc rỗng trong khụng gian vectơ V hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:
a) Nếu S S, r S( ) r S( , )
b) r S( S , ) r S( ) r S( , )
c) r S( S, ) min( ( ); (r S r S, ))
Bài 3.13. Cỏc tập X sau đõy cú phải là khụng gian vectơ con của cỏc khụng gian vectơ tương ứng hay khụng? Nếu cú hóy tỡm một cơ sở của cỏc khụng gian con đú.
a) X x (x x1, 2 ): x1 x2 1 R2 b) X x (x x1, 2 ):ax1 bx2 0; ,a b R R2 c) X x (x x x1, 2, 3): x1 x2 x3 k k; R R3 d) X x (x x1, 2,...,xn 1,x1 x2 )
e) X x (x x1, 2,...,xn 1,xn x1 1)
Rn
Bài 3.14. Cỏc tập X sau đõy cú phải là khụng gian vectơ con của cỏc khụng gian vectơ tương ứng hay khụng? Nếu cú hóy tỡm số chiều của cỏc khụng gian con đú.
x1 1 1 a) X x (x x1, 2,x3) R3 : 1 x2 1 0 1 1 x3 a 1 2 3 b) X M b Mat31 (K): 2 1 4 M (0)3 1 c 3 1 1 1 1 a11 a12 a13 c) X A a21 a22 0 Mat3 3 (K) a31 0 0 d) X pn ( ):x pn ( )x a0 a x1 a x2 2 ... a xn n;ai R;0 n N; i 0, ;n an 0 Pn(x).
Bài 3.15. Cho hệ vectơ U u u1, 2 ,...,um đltt trong khụng gian vectơ Vvà x là một vectơ bất kỳ trong V. Chứng minh rằng: Hệ vectơ U, u u1, 2 ,...,um,x pttt khi và chỉ khi vectơ x được biều thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U.
Chứng minh rằng: Vectơ x được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U.
Bài 3.16. Cho U U1, 2,...,Uk là cỏc khụng gian vectơ con của khụng gian vectơ V, 1 k n
k
a) Chứng minh rằng: X Ui cũng là khụng gian vectơ con của V.
i 1
k
b) Y Ui cú phải là khụng gian vectơ con của V khụng?
i 1
Bài 3.17. Cho A x (x x x x1, 2, 3, 4 ) R4 : kxx1 kxx22 xx33 kx24x4 00 (k R) 1
và B x (x x x x1, 2, 3, 4 ) R4 : kxkx11 xx22 xx33 40x4 0 (k R) a)Chứng minh rằng: A, B là cỏc khụng gian vectơ con của khụng gian R4. b)Tỡm số chiều của khụng gian vectơ con AB.
Bài 3.18. Tỡm một cơ sở và số chiều của khụng gian vectơ sinh bởi hệ vectơ sau: a) x
( 2,1, 1); y (1,3, 1); z ( 1,4, 2) b) x (2, 1, k); y ( 1,1, k); z (1,k, 1); k R c) x (1, 1, 2, 1); y ( 2,1,3,1); z ( 1,1, 2, 3);t (1, 2, 3, 2) c) x (1, 1, k,1); y (1,k,1,1); z (k k, ,1, 1);t (1,1, 1,1); k R Bài 3.19. Cho S p x1( ) 1; p x2 ( ) x 1; p x3 ( ) (x 1)2 1; p x4 ( ) (x 1)3 5 P3(x) a) Xột sự đltt của hệ vectơ S.
b) Biểu diễn p x( ) 3x2 2x 5 qua hệ vectơ S.
Bài 3.20. Cho khụng gian Euclid E3
a) Tỡm điều kiện của tham số thực k để hệ vectơ: x ( 1,2, k); y (2, 1,2);
z ( 1, 1, )là một cơ sở trực giao của E3.
b) Trong E3 cho U u1 ( 1,1, 2); u2 ( 2,1,2);u3 (3, 1, 1) . Hóy trực chuẩn húa Gram-Smidt hệ vectơ U.
CHƯƠNG 4 HỆ PHƯƠNG TRèNH TUYẾN TÍNH 4.1.Khỏi niệm về hệ phương trỡnh tuyến tớnh
4.1.1.Cỏc định nghĩa
Định nghĩa 4.1. Dạng tổng quỏt của hệ phương trỡnh tuyến tớnh
Hệ phương trỡnh tuyến tớnh gồm m phương trỡnh, n ẩn là hệ phương trỡnh cú dạng:
a x a x11 1 12 2 ... a x b1n n 1 a x a x21 1 22 2 ... a x b2n n 2 (4.1) ... a x a xm1 1 m22 ... a x bmn n m
trong đú x1, x2, …, xn là n ẩn số, aij là hệ số của ẩn xj trong phương trỡnh thứ i; bi là cỏc số hạng tự do của phương trỡnh thứ i; a bij, i K; i 1 , m , j 1 , n; ; K là trường số thực hoặc phức.
Định nghĩa 4.2. Nghiệm của hệ (4.1) là một bộ n số: x x10, 0
2,...,x Kn0 sao cho khi thay thế x x x x1 10, 2 02,...,x xn 0n vào (4.1) thỡ m phương trỡnh trong hệ được thỏa món.
Định nghĩa 4.3. Hệ phương trỡnh tuyến tớnhđược gọi là xỏc định nếu nú cú duy nhất nghiệm; được gọi là vụ định nếu cú vụ số nghiệm và được gọi là vụ nghiệm nếu khụng cú nghiệm nào.
Định nghĩa 4.4. Giải hệ phương trỡnh là đi tỡm tất cả cỏc nghiệm của hệ. Nếu hệ cú vụ số nghiệm thỡ tập tất cả cỏc nghiệm của hệ được gọi là nghiệm tổng quỏ, mỗi nghiệm cụ thể được gọi là một nghiệm riờng của hệ.
Định nghĩa 4.5. Hai hệ phương trỡnh được gọi là tương đương với nhau nếu tập hợp nghiệm của hai hệ trựng nhau.
Chỳ ý 4.1. Trong phạm vi giỏo trỡnh chỳng ta xột K là trường số thực Ta ký hiệu: a11 a ... a12 1n A a 21 a ... a22 2n ... a m1 am2... amn m n a11 a ... a121n : b1 a 21 a ... a222n : b2 ; A ... a m1 a ... am2 mn : bm m (n 1) x1 x2 X ... xn n 1 b1 b2 ; B ... bm m 1 Ma trận Am n ,A
m (n 1)gọi tương ứng là ma trận hệ số, ma trận bổ sung của hệ phương trỡnh (4.1).
Ma trận Xn 1là ma trận cột của ẩn của hệ (4.1).
Ma trận Bm 1 là ma trận cột số hạng tự do của hệ (4.1).
VectơA j (a , a ,...,a1j 2j mj) R ;m j 1,n (chớnh là n vectơ cột của ma trận A); vộc tơ x (x , x ,...,x1 2 n ) R n ; vectơ b (b , b ,...,b1 2 m ) R m .
Vectơ Aj là vectơ hệ số của ẩn xj; x là vectơ cỏc thành phần của ẩn, b là vectơ cỏc thành phần tự do của hệ (4.1).
Nhận xột 4.1.
n
i) Hệ phương trỡnh (4.1) cú cỏch viết gọn về dạng: a xij j b ii ( 1,m) và cú cỏc cỏch
j 1
viết tương đương dưới dạng ma trận: AmxnXnx1=Bmx1 (4.1)’, hoặc dưới dạng vectơ:
Khi đú nghiệm của hệ (4.1) cú thể viết dưới dạng một ma trận Xnx0 1 thỏa món:
Amx1Xnx0 1 Bmx1 hoặc dưới dạng một vectơ x0 (x , x ,...,x10 02 n0 ) R n thỏa món:
x A101 x A022 ...x A0nn b
Về sau nếu khụng sợ nhầm lẫn ta cú thể viết nghiệm của hệ (4.1) dưới dạng thuận lợi nhất. ii) Khi cho hệ phương trỡnh ta luụn xỏc định được ma trận bổ sung của hệ đú và ngược lại khi cho một ma trận cấp rxs là ma trận bổ sung của một hệ phương trỡnh thỡ hệ phương
trỡnh này hoàn toàn xỏc định gồm r phương trỡnh và s-1 ẩn, trong đú s-1 cột đầu của ma trận là hệ số của s-1 ẩn tương ứng, cột cuối cựng là cột số hạng tự do của hệ.
Vớ dụ 4.1. Hóy viết hệ phương trỡnh sau dưới dạng ma trận và dạng vectơ.
2x1 3x2 x3 x4 4 x1 2x2 5x3 1 4x1 x2 2x3 6x4 10 Giải: 2 3 1 1 2 3 1 1 : 4 Hệ cú ma trận A 1 2 5 0 ; ma trận bổ sung A~ 1 2 5 0 : 1 4 1 2 6 3 4 4 1 2 6 : 10 x1 Ma trận cột ẩn X xxx2344 1 ; ma trận cột số hạng tự do B 1041 3 1
Khi đú hệ được viết dưới dạng ma trận: A3 4 X 4 1 B3 1 . Hệ cú cỏc vectơ:
A1 (2,1, 4), A2 ( 3,2, 1), A3 (1, 5,2), A4 ( 1,0,6);x (x x1, 2,x3,x4 );b (4, 1,10) Khi đú hệ được viết dưới dạng vectơ: x A1 1 x A2 2 x A3 3 x A4 4 b.
4.1.2.Cỏc phộp biến đổi đương đương hệ phương trỡnh:
Ta xột cỏc phộp biến đổi sau:
i) Nhõn hai vế của một phương trỡnh trong hệ với một số thực khỏc khụng.
ii) Nhõn hai vế của một phương trỡnh trong hệ với một số thực rồi cộng tương ứng vào cỏc vế của một phương trỡnh khỏc trong hệ.
Cỏc phộp biến đổi trờn được gọi là cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn hệ phương trỡnh.
Nhận xột 4.2.
i) Khi thực hiện cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn một hệ phương trỡnh ta nhận được hệ phương trỡnh mới tương đương với hệ đó cho. Đối với hệ phương trỡnh mới thường dễ dàng tỡm được nghiệm. Giả sử khi biến đổi tương đương đưa hệ đó cho về hệ mới cú phương trỡnh thứ i xảy ra