Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một sản phẩm hàng húa cần phải sử dụng cỏc sản phẩm hàng húa khỏc nhau trong cơ cấu sản xuất. Việc xỏc định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất bao gồm: Cầu trung gian từ phớa cỏc nhà sản xuất (sử dụng loại sản phẩm đú cho quỏ trỡnh sản xuất) và cầu cuối cựng từ phớa những người sử dụng sản phẩm (cỏc hộ gia đỡnh, Nhà nước, cỏc tổ chức xuất khẩu,...) để tiờu dựng hoặc xuất khẩu.
Nghiờn cứu một nền kinh tế cú n ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ..., ngành n. Để thuận tiện cho việc tớnh chi phớ của cỏc yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả cỏc loại hàng húa ở dạng giỏ trị (quy về một loại tiền tệ).
Với i =1, 2,..., n và j = 1, 2,..., n; ta ký hiệu:
xi là tổng giỏ trị sản phẩm của ngành i (thường gọi là tổng cầu) aij là tổng giỏ trị sản phẩm của ngành i được sử dụng để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm
ngành j (thường gọi là cỏc hệ số kỹ thuật) xij là tổng giỏ trị sản phẩm mà ngành i tạo ra để sử dụng sản xuất ra xj đơn vị sản phẩm
ngành j bi là tổng giỏ trị sản phẩm của ngành i dành cho tiờu dựng và xuất khẩu (thường gọi là sản phẩm cuối cựng hoặc cầu cuối cựng)
Mụ hỡnh được cho dưới dạng bảng 1 sau:
Bảng 4.1
Ngành
Tổng cầu
Cầu trung gian
Cầu cuối cựng Ngành 1 Ngành 2 ... Ngành n-1 Ngành n Ngành 1 x1 x11 x12 ... x1n-1 x1n b1 Ngành 2 x2 x21 x22 ... x2n-1 x2n b2 ... ... ... ... ... ... ... ... Ngành n-1 xn-1 xn-11 xn-12 ... xn-1n-1 xn-1n bn-1 Ngành n xn xn1 xn2 ... xnn-1 xnn bn Dễ thấy: xij = aij xj (4.11)
Mụ hỡnh cõn đối liờn ngành dẫn đến hệ n phương trỡnh: xi = xi1 + xi2 + ... + xin + bi; (i=1,2,...,n) (4.12) Từ (4.11) và (4.12) ta cú hệ phương trỡnh: x1 a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 x2 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2 xn a xn1 1 a xn2 2 a xnn n bn (1 a11)x1 a x122 ... a x1nn b1 a x21 1 (1 a22 )x2 ... a x2n n b2 ... a xn1 1 a xn22 ... (1 ann )xn bb (4.13)
Giải hệ phương trỡnh (4.13) ta tỡm được vectơ nghiệm x (x x1, 2,...,xn )
a11 a12 a1n x1 b1 Đặt A x2 b2 a21 a22 a2n ; X ;B an1 an2 ann xn bn
Khi đú hệ (4.13) viết dưới dạng ma trận:
E A X (1.13)B, với E là ma trận đơn vị cấp n.
Hệ (4.13) là hệ trỡnh tuyến tớnh khụng thuần nhất gồm n phương, n ẩn: x1. x2, ..., xn; thỏa
n món điều kiện: aij > 0 và aij 1 (1.14)
j 1
(vỡ mụ hỡnh đó đặt ra là: để sản xuất sản phẩm thứ j phải sử dụng sản phẩm thứ i (i=1,2,...,n) và với ý nghĩa kinh tế thỡ 1 đơn vị giỏ trị đầu ra của sản phẩm thứ j chỉ được sử dụng ớt hơn 1 đơn vị tổng giỏ trị cỏc đầu vào)
Nhận xột 4.5. Hệ (4.13) luụn xỏc định và nghiệm duy nhất viết dưới dạng ma trận:
Thật vậy: Ta gọi ma trận C cijn n EA 1 aij n n
n n
Từ (1.14) ta cú: 1 aii aij cii cij ; ( i 1,n) detC det(E A) 0
i j 1 i j 1
nờn hệ (4.13) hoàn toàn xỏc định và(4.13), X E A 1 Blà nghiệm duy nhất được viết dưới dạng ma trận.
Định nghĩa 4.13. Ma trận A được gọi là ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị (hay ma trận hệ số kỹ thuật); ma trận X là ma trận tổng cầu; ma trận B là ma trận cầu cuối cựng. Ma trận E-A được gọi là ma trận Leontief
Vớ dụ 4.17. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 3 ngành (ngành 1 là: cụng nghiệp và xõy dựng cơ bản; ngành 2 là: nụng, lõm, ngư nghiệp, ngành 3 là dịch vụ) và cầu hàng húa được cho ở bảng 2 sau (đơn vị tớnh: triệu USD).
Bảng 4.2
Ngà nh
Tổng cầu
Cầu trung gian Ngà nh 1 Ngà nh 2 Ngà nh 3 Ngà nh 1 160 20 30 63 Ngà nh 2 150 20 45 54 Ngà nh 3 180 40 30 45
Hóy tớnh ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị của mụ hỡnh.
Giải:
Ma trận hệ số chi phớ trực tiếp được tớnh:
a11 x11 20 0,125; a12 x12 20 0,2; a13 x13 63 0,35x1 160 x1 150 x3 180 a21 x21 20 0,125; a22 x22 45 0,3; a23 x23 54 0,3x1 160 x2 150 x3 180 a31 x31 40 0,25; a32 x32 30 0,2; a33 x33 45 0,25x1 160 x2 150 x3 180
Ta được ma trận hệ số chi phớ trực tiếp là: 0,125 0,2 0,35 A 0,125 0,3 0,3 0,25 0,2 0,25 Vớ dụ 4.18. 0,1 0,3 0,2 120
Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A 0,2 0,20,3 và vectơ cầu cuối cựng B 150
0,3 0,4 0,2 200
a) Hóy xỏc định vectơ tổng cầu.
b) Hóy xỏc định mức chi phớ cho mỗi loại hàng húa được sử dụng làm đầu vào để sản xuất mỗi ngành tương ứng.
Giải:
a) Ta đi tỡm nghiệm của hệ phương trỡnh: E A X B ; hệ cú duy nhất nghiệm:
X E A 1 B Ta cú: 0,9 0,3 0,2 0,52 0,32 0,25 E A 0,2 0,8 0,3 det(E A) 0,329 (E A) 1 1 0,25 0,66 0,31 Vộc tơ tổng cầu cú cỏc thành phần: x1 487,5380; x2 580,5471; x3 723,1003
b) Theo cụng thức (4.11) cú xij = aij xj do đú mức chi phớ của mỗi loại hàng húa được sử dụng làm đầu vào để sản xuất cho mỗi ngành tương ứng là:
0,3 0,4 0,8 0,329 0,32 0,450,66 0,52 Ma trận nghiệm: X (E A) 1 B 1 0,25 0,329 0,32 0,32 0,66 0,45 0,25 120 487,5380 0,31 150 580,5471 0,66 200 723,1003
x11 0,1 487,5380 48,7538; x12 0,3 580,5471 174,1641; x13
0,2 723,1003 144,6201 x21 0,2 487,5380 97,5076; x22 0,2 580,5471 116,1094; x23
0,3 723,1003 216,9301 x31 0,3 487,5380 146,2614; x32 0,4 580,5471
232,2188; x33 0,2 723,1003 144,6201
Bài tập chương 4 Bài 4.1. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
x12x2 x3 2 a) 2 x1 3x2 3x3 3 x1 x2 x3 1 2x1 x2 x3 3 c) 3 x1 5x2 x3 4 x1 3x2 3x3 1 x1 3x2 2x3 1 b) 3 x1 5x2 x3 2 x1 x2 3x3 4 2x1 x2 x3 3 d) 4 x1 x2 2x3 1 3x1 3x2 2x3 1
Bài 4.2. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
x1 3x2 2x3 x4 1 x1 x2 x3 x4 1 2x1 x2 3x3 2x4 1 x1 2x2 x3 1 a) 2x1 8x2 x3 x4 1 b) x1 3x2 x3 2x4 3 4x1 9x2 x3 4x4 1 2x1 x2 x3 x4 1 2x1 3x2 5x3 x4 3 3x1 4x2 5x3 7x4 1 x1 2x2 8x3 x4 8 2x1 6x2 3x3 4 x4 2 c) 3x1 4x2 2x3 3x4 2 d) 4x1 2x2 13x3 10x4 0 7x1 9x2 x3 8x4 9 5x1 21x3 13x4 3
Bài 4.3. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau với m là tham số
x1x2 mx3 1 a) x1mx2 x3 m 2x1 x2 2x3 2 mx1 (2 m x) 2 x3 1 (m 1)x2 mx3 2 c) mx1 x1x2 mx3 m 2x1 x2 2x3 m b) x1 x2 2mx3 1 (m 1)x1 x2 x3 1 mx1 x2 (m 1)x3 m d) x1 (m 1)x2 x3 1 mx1 (m 2)x2 2x3 2
Bài 4.4. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau với m là tham số mx x x x 1 1 mx22 x33 x44 1 a) x1 x1 x2 mx3 x4 1 mx1 x2 x3 mx4 1 b) x1 mx2 x3 x4 m x1 x2 mx3 mx4 m2
Bài 4.5. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau với m là tham số
mx1 mx2 x3 x4 1 mx1 mx2 x3 x4 1
x1 mx2 x3 x4 1 x1 mx2 x3 x4 1
a) 2x1 2x2 mx3 x4 m b) 2x1 2x2 mx3 x4 m
3x1 x2 x3 mx4 2 3x1 x2 x3 mx4 2
Bài 4.6. Tỡm điều kiện của tham số a,b để cỏc hệ phương trỡnh sau cú: nghiệm duy nhất, vụ số nghiệm, vụ nghiệm. x1 ax2 2x3 1 a) x1 (2a 1)x2 3x3 1 x1 ax2 (a 3)x3 2a x1 2x2 ax3 3 b) 3 x1 x2 ax3 2a 2x1 x2 3x3 b
Bài 4.7. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau với a,b là tham số
x1 x2 x3 x4 1
axax11 bxbx(2b22 1)(2bxx3 2 3) 13xx3 3 21b 1
b) 32xxx111 343xxx222 3xx3x33 22axxx444 b11a) ax1
1 2 3
Bài 4.9. Tỡm số chiều của khụng gian nghiệm của cỏc hệ thuần nhất sau:
x1 2x2 x4 0 x1 2x2 x3 3x4 x5 0
3x1 5x2 x3 x4 0 2x1 4x2 2x3 5x4 2x5 0
a) 2x1 2x2 4x3 x4 0 b) 5x1 4x2 3x3 7x4 5x5 0
2x1 3x2 x3 0 3x1 3x2 x3 2x4 3x5 0
Bài 4.10. Tỡm nghiệm tổng quỏt và một hệ nghiệm cơ bản của cỏc hệ phương trỡnh thuần nhất sau:
x1 x2 x3 x4 0
a) 3 2x1xxx1 1 28x53x2xx222 32xxx33x33 342xxxx4444 0000
b) 2x1xxx111 3354xxxx2222 xx3233xx 33 2 2x12x744xx44 0000 1
Bài 4.11. Tỡm điều kiện của tham số m để hệ phương trỡnh thuần nhất:
mx1 x2 2x3 x4 0
22mxx11 2mxx22 2xx33 3xx44 00
2x1 2x2 x3 x4 0
a) Cú duy nhất nghiệm tầm thường
b) Cú nghiệm khỏc tầm thường Bài 4.12. Tỡm ma trận X thỏa món: 1 2 1 1 3 52 X 2 x1 ax2 a x23 a3 a) x1 bx2 b x2 3 b3 x1 cx2 c x23 c3 x1 2x2 x a 2x1 3x2 x3 1 b) 2x2 x3 b 2x1 x 3x x c
1 3 1 3
Bài 4.13. Cho hệ vộc tơ U X1 (1,1,m X), 2 (m, 1, m X), 3 (2,m,3) . Tỡm điều kiện của m để
U là một cơ sở của khụng gian vectơ R3; hóy biểu diễn vectơ X=(2,-1,-2) qua cơ sở U.
Bài 4.14. Tỡm điều kiện của tham số m, để khụng gian nghiệm của hệ phương trỡnh thuần nhất: x1 x2 mx3 2x4 0 x1 mx2 x3 x4 0 mx1 mx2 x3 x4 0 x1 x2 x3 2x4 0 cú số chiều bằng 3
Bài 4.15. Tỡm điều kiện của cỏc tham số a,b,c,d để hệ phương trỡnh thuần nhất sau:
ax1 bx2 cx3 dx4 0
bx1 ax2 dx3 cx4 0
cx1 cx2 ax3 bx4 0
dx1 dx2 bx3 ax4 0
cú duy nhất nghiệm.
Bài 4.16. Tỡm điều kiện để ba đường thẳng:
a x1 1 a x22 a3 0; b x1 1 b x22 b3 0; c x1 1 c x2 2 c3 0 đồng quy tại một điểm.
Bài 4.17.4. Tỡm điều kiện để ba điểm: M1(x y z1, 1, 1);M2 (x2, y2,z2 );M3(x3, y3, z3) nằm trờn một mặt phẳng.
Bài 4.18. Tỡm phương trỡnh đường trũn đi qua ba điểm: M1(2,1);M2 (1,1);M3(4, 1)
Bài 4.19. Cho ma trận A aijn n , với aij là cỏc số nguyờn và ma trận X xi n 1
Chứng minh rằng hệ phương trỡnh tuyến tớnh viết dưới dạng ma trận: AX X cú nghiệm duy nhất.
Bài 4.20. Cho A, B là cỏc ma trận vuụng cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Chứng minh rằng:
Bài 4.21. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường hai hàng húa cú dạng:
QS1 -5 p1 QD1 10 – 2 p1 p2
QS2 4 2 p2 QD2 6 p1 3p2
Hóy xỏc định giỏ và mức cung, cầu cõn bằng của hàng húa.
Bài 4.22. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường ba hàng húa cú dạng:
QS1 -3 2p1 QD1 10 – p1 - p3
QS2 1 2 p2 QD2 30 + p1- 3p2 2p3QS3 6 2 p3 QD3 = 10 - p1 3p2 2P3
Hóy xỏc định giỏ và mức cung, cầu cõn bằng của hàng húa.
0,1 0,2
Bài 4.23. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A 0,3 0,4 và vectơ cầu cuối cựng
150
B
180
a)Hóy xỏc định vectơ tổng cầu.
b)Hóy xỏc định mức chi phớ cho mỗi loại hàng húa được sử dụng làm đầu vào để sản xuất mỗi ngành tương ứng.
0,2 0,1 0,2
Bài 4.24. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A 0,1 0,2 0,3 và vectơ tổng
0,3 0,4 0,1 180
cầu B
150
220
a) Hóy xỏc định mức chi phớ cho mỗi loại hàng húa được sử dụng làm đầu vào để sản xuất mỗi ngành tương ứng.
b) Hóy xỏc định vectơ cầu cuối cựng.
0,2 0,1 0,3
Bài 4.25. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A 0,3 0,2 0,1 và vectơ cầu cuối cựng
0,2 0.2 0,3 60
B 80 ; hóy xỏc định vectơ tổng cầu.
100
CHƯƠNG 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Trong chương này, chỳng ta nghiờn cứu ỏnh xạ tuyến tớnh, biến đổi tuyến tớnh, bài toỏn chộo hoỏ ma trận – chộo hoỏ trực giao ma trận, dạng toàn phương và đưa dạng toàn phương về dạng chớnh tắc. 5.1. Ánh xạ tuyến tớnh
5.1.1.Cỏc khỏi niệm
Định nghĩa 5.1. Cho E và F là hai khụng gian vộc tơ trờn cựng trường K (R hoặc C, trong giỏo trỡnh này chỉ xột trường số thực R). Một ỏnh xạ f từ E vào F được gọi là tuyến tớnh nếu nú thoả món:
i) f(u + v) = f(u) + f(v); u, v E ; ii) f(ku) = kf(u); uE k; R
Hai điều kiện trờn tương đương với điều kiện: Ánh xạ f: E Flà tuyến tớnh khi và chỉ khi v v1, 2 E; , R f: v1 v2 f v( 1) f v( 2 ).
Một cỏch tổng quỏt hơn ta cú:
n n
vi E; i R i( 1,2,...,n): f ivi i f v( i ).
i 1 i 1
Điều kiện này núi lờn rằng ỏnh xạ tuyến tớnh bảo toàn tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vộc tơ.
Nếu E = F thỡ người ta gọi f là biến đổi tuyến tớnh trờn E. Nếu F = K thỡ người ta gọi f là dạng tuyến tớnh trờn E.
Dễ dàng thấy rằng f(0E) = 0F; f(- u) = - f(u) trong đú 0E là phần tử khụng của E, 0F là phần tử khụng của F.
Vớ dụ 5.1. Cho ỏnh xạ f: R 2 R xỏc định bởi f(x; y) = 3x- 2y với (x; y) R2. Chứng minh rằng f là một ỏnh xạ tuyến tớnh.
Giải:
Lấy u, v R2 ; u =(a ; b) ; v = (c ; d) và k R, f(u + v) = f(a + c; b + d) = 3(a + c) – 2(b + d) = (3a – 2b) + (3c – 2d) = f(u) + f(v) f(ku) = f(ka, kb) = 3ka – 2kb = k(3a – 2b) = k.f(u)
Cả hai điều kiện i) và ii) đều thoả món. Vậy f là ỏnh xạ tuyến tớnh.
Nhõn và ảnh của ỏnh xạ tuyến tớnh
Cho E, F là hai khụng gian vộc tơ, f là một ỏnh xạ tuyến tớnh từ E vào F.
Định nghĩa 5.2. Ta gọi nhõn của ỏnh xạ f là tập hợp cỏc vộc tơ v của E sao cho f(v) = 0F, ký hiệu Kerf: Kerf v E : f(v) 0F
Chỳ ý 5.1. Kerf là một khụng gian con của E vỡ: f(0E)= 0F 0E Kerf Kerf và nếu u, v Kerf thỡ f(u) = f(v) = 0F nờn f(u + v) = 0F, f(ku) = 0F u v ku; KerfVớ dụ 5.2.
Cho trước a là một vộc tơ n chiều khỏc 0 trong khụng gian Rn. Xột ỏnh xạ f : R n R xỏc định bởi f(u) = <a, u>, u R n (tớch vụ huớng của hai vộc tơ a và u) Chứng tỏ f là ỏnh xạ tuyến tớnh và tỡm kerf.
Giải: Thật vậy, ta cú f(u + v) = <a, u + v> = <a, u> + <a, v> = f(u) + f(v) ; f(ku) = <a, ku> = k<a, u> = k.f(u)
Vậy f là ỏnh xạ tuyến tớnh và Kerf
u E : a u, 0 chớnh là tập hợp cỏc vộc tơ vuụng gúc với a.
Chỳ ý 5.2. Từ cỏc khỏi niệm trờn ta suy ra một số tớnh chất đơn giản sau: t1. Ánh xạ f là đơn ỏnh khi và chỉ khi Kerf = {0E} t2. Giả sử f là ỏnh xạ tuyến tớnh từ E vào F và Kerf = {0E}. Nếu {v1, v2, … , vn } là hệ vộc tơ độc lập tuyến tớnh của E thỡ {f(v1), f(v2), … , f(vn) } là hệ vộc tơ độc lập tuyến tớnh của F.
Định nghĩa 5.3. Tập ảnh của ỏnh xạ tuyến tớnh f từ E vào F, ký hiệu là Imf, xỏc định bởi: Imf
w F: v E,f(v) w .
Dễ dàng kiểm tra được Imf cũng là khụng gian con của F.
Khi đú, người ta gọi hạng của f, ký hiệu là rank(f) và được xỏc định bởi rank(f) = dim(Im(f)).
Chỳ ý 5.3. Từ cỏc khỏi niệm trờn ta suy ra một số tớnh chất đơn giản sau:
t1. Nếu dim(F) hữu hạn thỡ suy ra f là toàn ỏnh khi và chỉ khi rank(f) = dim(F). t2. Ảnh của một tập phụ thuộc tuyến tớnh là phụ thuộc tuyến tớnh.
t3. f là toàn ỏnh khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E là một hệ sinh của F t4. f song ỏnh khi và chỉ khi ảnh của cỏc vectơ của một cơ sở của E là một cơ sở của F.
Định lý 5.1. (Định lý nhõn - ảnh) Giả sử f là ỏnh xạ tuyến tớnh từ khụng gian vộc tơ E vào khụng gian vộc tơ F. Nếu dimE = n, dim(Kerf) = q và dim(Imf) = s thỡ n = q + s.
Chứng minh:
Giả sử w1, w2, … , ws là một cơ sở của Imf. Khi đú, tồn tại cỏc vộc tơ v1, v2, … , vs E sao cho f(vi) = wi; i = 1, 2, …, s. Gọi u1, u2, … , uq là một cơ sở của Kerf. Ta sẽ chứng minh hệ vộc tơ {v1, v2, …, vs, u1, u2, … , uq } lập thành cơ cở của E.
Với v E thỡ f(v) Imf, ta biểu diễn f(v) theo cơ sở w1, w2, …, ws của Imf: f(v) = x1w1 + x2w2+ … + xsws = x1f(v1) + x2f(v2) + … + xsf(vs)
= f(x1v1+ x2v2 + … + xsvs)
Từ f(v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs) = 0F nờn v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs Kerf. Từ đú suy ra v - x1v1 - x2v2 - … - xsvs = y1u1 + y2u2 + … + yquq
Hay v = x1v1+ x2v2 + … + xsvs + y1u1 + y2u2 + … + yquq
Suy hệ U = {v1, v2, … , vs, u1, u2, ... , uq } lập thành hệ sinh của của E. Bõy giờ chỉ cần chứng minh hệ U đú độc lập tuyến tớnh.
Xột 1 1v 2v2 ... svs 1u1 2u2 ... quq 0E (5.1)
1 f v( 1) 2 f v( 2 ) ... s f v( s ) 1 f u( 1) 2 f u( 2 ) ... q f u( q ) 0F Mà f(u1) = f(u2) = …. = f(uq) = 0F nờn 1 f v( 1) 2 f v( 2 ) ... s f v( s ) 0F
1 1w 2 2w ... sws 0 1 2 ... s 0 (5.2) (vỡ hệ {w1, w2, …, ws } độc lập