Cho hệ vectơ S X X1, 2,,...,Xm V,(1 m N). Một tập con U của S (U là một bộ phận gồm một số vectơ hay tất cả cỏc vectơ của S, để đơn giản ta cú thể núi U là một bộ phận con hoặc một hệ con của S).
Định nghĩa 3.11. Hệ vectơ U là một bộ phận con của hệ vectơ S; U được gọi là hệ độc lập tuyến tớnh tối đại (đltttđ) của S nếu U là hệ vectơ đltt và mọi vectơ của hệ S đều được biểu thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U.
Nhận xột 3.7.
i) Khi Ulà một bộ phận con đltt của hệ vectơ S muốn chứng minh U là bộ phận con đltttđ của S bằng định nghĩa ta chỉ cần chứng minh cho mọi vectơ thuộc tập (S U\ ) được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ cỳa U hoặc X (S U\ ) thỡ (U X ) là hệ cỏc vectơ pttt là đủ.
Thật vậy : Vỡ mỗi vectơ trong U luụn được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U ii) Cho hệ vectơ S V (S khỏc rỗng), từ định nghĩa 3.10 ta nhận được cỏc kết luận trong
hai trường hợp đặc biệt sau đõy :
Trường hợp 1: S cú duy nhất vectơ khụng thỡ S khụng cú bộ phận con đltttđ nào.
Trường hợp 2: S là một hệ vectơ đltt thỡ S cú duy nhất một bộ phận con đltttđ là chớnh S.
Vớ dụ 3.8.Vớ dụ 3.8. Tỡm bộ phận đltttđ của hệ : S X X X1, 2 , 2 với X1=(2,1,-1), X2=(1,0,-2); X3=(-1,-1,1) Giải: S là hệ đltt vỡ: t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0) 2t1 t2 t3 0 t1 t3 0 t1 t2 t3 0 t12t2 t3 0 Do đú S cú duy nhất bộ phận con đltttđ là chớnh nú. Vớ dụ 3.9.Vớ dụ 3.9. Tỡm bộ phận con đltttđ của hệ : S X X X1, 2 , 2 với X1=(3,3,-2), X2=(-1,-1,2), X3=(1,1,2) Giải: Với ti R, i 1,2,3; hệ thức t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0) 3t1 t2 t3 0 3t1 t2 t3 0 t1 1,t2 2,t3 1:X1 2X2 X3 2t1 2t2 2t3 0 do đú S là hệ pttt
Ta xột bộ phận U1 X1, X2 S , hệ thức t X1 1 t X2 2 (0,0,0)
3t1 t2 0 t1 0
3t1 t2 0 t2 0 2t1
2t2 0 t3 0
nờn U1 đltt, do đú nú là một bộ phận con đltttđ của S.
Tương tự U2 ={X2, X3} và U3={X1, X3} cũng là cỏc bộ phận con đltttđ của S. Như vậy hệ vectơ S cú 3 bộ phận con đltttđ và mỗi bộ phận đltttđ của S đều cú số vectơ là 2.
Trờn đõy cho ta thấy, một hệ hữu hạn vectơ S của khụng gian vectơ V thỡ S cú thể: khụng cú bộ phận đltttđ (S ) ; hoặc cú duy nhất một bộ phận đltttđ (S là hệ đltt); hoặc cú nhiều bộ phận đltttđ (vớ dụ 3.9 ở trờn). Do đú một cõu hỏi được đặt ra là: trong khụng gian vectơ V, cho hệ vectơ S thỡ S luụn cú bộ phận con đltttđ hay khụng? Trong trường hợp cú nhiều hơn một bộ phận đltttđ thỡ số lượng cỏc vectơ trong mỗi bộ phận đltttđ đú cú bằng nhau khụng.
Để trả lời cho cỏc cõu hỏi trờn ta cú cỏc định lý sau:
Định lý 3.1. Cho S là hệ gồm hữu hạn vectơ của khụng gian vectơ V và S thỡ S luụn cú ớt nhất một bộ phận con đltttđ.
Chứng minh: Giả sửS X X1, 2,,...,Xm V,(1 m N).
Trước tiờn, ta xột những bộ phận gồm một vectơ của S, dễ thấy cú ớt nhất một bộ phận (cú một vectơ) đltt, ta ký hiệu là S1 (vỡ S nờn S chứa ớt nhất một vectơ khỏc vectơ khụng).
Tiếp theo, ta xột cỏc bộ phận gồm 2 vectơ của S, xảy ra hai trường hợp sau :
Trường hợp thứ nhất : Mọi bộ phận gồm 2 vectơ trong S đều pttt khi đú S1 là một bộ phận con đltttđ của V (vỡ S1 đó đltt và khi bổ sung vào S1 một vectơ bất kỳ của hệ S thỡ được hệ hai vectơ pttt).
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 2 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đú là
S2 .
Tiếp theo, ta xột cỏc bộ phận gồm 3 vectơ của S, cũng xảy ra hai trường hợp như ở trờn :
Trường hợp thứ nhất : Mọi bộ phận gồm 3 vectơ trong S đều pttt ; khi đú S2 là một bộ phận con đltttđ của S vỡ S2 đó đltt và khi bổ sung vào S2 một vectơ bất kỳ của hệ S thỡ được hệ ba vectơ pttt.
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 3 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đú là
S3 .
Ta tiếp tục xột cỏc bộ phận gồm 4,5,...vectơ của hệ S. Quỏ trỡnh trờn được dừng lại sau hữu hạn bước (tối đa là m bước, ở bước thứ k ta phải xột tớnh đltt của Cmk bộ phận con gồm k trong m vectơ của hệ S , 1 k m) . Kết thỳc quỏ trỡnh trờn, ta nhận được ớt nhất một bộ phận con đltttđ của V, định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. (Định lý thay thế Steinitz)
Trong khụng gian vectơ V cho hai hệ vectơ: U u u1, 2,...,um và S s s1, 2,...,sn ; nếu hệ vectơ U độc lập tuyến tớnh và mỗi vectơ của U đều được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S thỡ m n .
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh tồn tại một hệ vectơ Sm nhận U làm hệ con và mọi vectơ của U được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của Sm .
Thật vậy, theo giả thiết mỗi vectơ của U đều được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S. Giả sử u1 t s1 1 t s2 2 ... tn 1sn 1 t sn n (1) vỡ U là hệ đltt nờn u1 0 t j
0, khụng làm
giảm tớnh chất tổng quỏt giả sử t1 0, từ (1) ta cú: s1 1
u1 t2
s2 ... tn 1 sn 1 tn sn (2)
t1 t1 t1 t1
Trong hệ S ta thay vectơ s1 bởi vectơ u1 ta được hệ vectơ S1 u s1, 2,...,sn , từ (2) ta cú cỏc vectơ của S được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S1 , do đú cỏc vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S1 . Giả sử ta cú:
u2 1 1u 2s2 ... n 1sn 1 n ns (3) vỡ U là hệ đltt nờn j 0, j2,n, khụng làm giảm tớnh chất tổng quỏt giả sử 2 0(nếu khụng như vậy ta chỉ cần đỏnh số lại cỏc vectơ), từ (3) ta cú: s2 1 u1 1 u2 ... n 1 sn 1 n sn (4)
1 1 1 1
Trong S1 ta thay vectơ s2 bởi vectơ u2 ta được hệ vectơ S2 u u s1, 2, 3,...,sn từ (2) và (4) ta cú cỏc vectơ của S được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S2 ; do
đú cỏc vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S2 .
Tiếp tục quỏ trỡnh trờn, sau m lần ta nhận được hệ Sm u u u1, 2, 3,...,um,sm 1,...,sn . Dễ thấy n m vỡ nếu n m thỡ mọi vectơ của hệ U đều biểu thị tuyến tớnh qua bộ phận Sn
u u1, 2,...,un điều này mõu thuẫn với giả thiết U là hệ pttt. Suy ra đpcm.
Hệ quả 3.4. Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong khụng gian vectơ V thỡ mọi hệ con đltttđ của S đều cú số vectơ bằng nhau.
Chứng minh: Theo giả thiết, sự tồn tại bộ phận con đltttđ của hệ S đó được chứng minh trong
Giả sử A a a1, 2,...,am gồm m vectơ; B b b1, 2,...,bn gồm n vectơ của hệ S và A B,
là hai bộ phận con đltttđ của hệ S . Khi đú A B, là cỏc hệ đltt và mọi vectơ của một trong hai hệ đều biểu thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ cũn lại, do đú theo định lý trờn ta cú m n và n m , suy ra n m
Định nghĩa 3.12. Cho S là một hệ vectơ của khụng gian vectơ V; S khỏc rỗng vàS
. Một bộ phận đltttđ của S được gọi là một cơ sở của S và số vectơ trong một cơ sở của S gọi là hạng của S và kớ hiệu là r(S).
Quy ước : Hạng của hệ cú duy nhất vectơ bằng khụng.
Nhận xột 3.8. Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong khụng gian vectơ V thỡ: i) Cơ sở của S cú thể khụng duy nhất.
Thật vậy, hệ vectơ S trong vớ dụ 3.9 cú 3 cơ sở.
ii) Giả sử S gồm m vectơ: Nếu S đltt thỡ r(S)=m, hoặc nếu S pttt và tồn tại một bộ phận con đltt gồm m-1 vectơ của S thỡ r(S) = m-1.
Vớ dụ 3.10. Tỡm hạng hệ vectơ S X X1, 2, X3 R4 với: X1 ( 1,1,2, 1); X2 (2, 1,2,1); X3 (1,1,10, 1) . Giải: Với t t t1, 2 , 3 R xột hệ thức: t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0,0) t1 2t2 t3 0 2tt11 t22 t3 3 0 t12t2 2 t23t 3 0 0 3X1 2X2 X3 2t 10t 0 t t1 t2 t3 0 do đú hệ vectơ S pttt. Ta cú bộ phận X X1, 2 là hệ đltt trong S vỡ: t X1 1 t X2 2 (0,0,0,0) t1 2t2 0 t1 t2 0 t1 t2 0 2t1 2t2 0 t1t2 0 Do đú r(S) = 2
Định nghĩa 3.13.Khụng gian vectơ V được gọi là khụng gian hữu hạn chiều nếu trong V cú một hệ vectơ đltttđ gồm hữu hạn vectơ.
Định nghĩa 3.14. Trong khụng gian hữu hạn chiều V, một hệ vectơ đltttđ được gọi là một cơ sở của V và số vectơ trong một cơ sở gọi là số chiều của khụng gian, ký hiệu là dim V.
Chỳ ý 3.2. Trong phạm vi giỏo trỡnh ta chỉ xột khụng gian hữu hạn chiều.
Nhận xột 3.9. Cho khụng gian vectơ hữu hạn chiều V, mọi hệ vectơ S V thỡ r s( ) dimV
Vớ dụ 3.11. Tỡm dim Mat2 2 (K) (số chiều của khụng gian cỏc ma trận vuụng cấp 2)
Giải: Trong Mat2 2 (K) xột hệ U X X1, 2, X3, X 4 trong đú :
1 0 0 1 0 0 0 0 X1 0 0 , X 2 0 0 , X3 1 0 , X 4 0 1 . Với ti K i; 1 ,4 xột hệ thức: 0 0 t1 t2 00 00 t1 t2 t3 t4 0tX1 1 t X2 2 t X3 3 t X4 4 ( )2 2 0 0 t3 t4 do đú U là hệ vectơ đltt. a b
Mặt khỏc A c d Mat2 2 (K), đều cú biểu diễn A =aX1+bX2+cX3+dX4, nờn U là bộ phận đltttđ và là một cơ sở của khụng gian cỏc ma trận vuụng cấp 2, do đúdimMat2 2 (K) 4
Hệ ma trận U ở trờn được gọi là cơ sở tự nhiờn hay cũn gọi là cơ sở chớnh tắc của
Mat2 2 (K)
Định nghĩa 3.15. Khụng gian vectơ V được gọi là khụng gian vụ hạn chiều (số chiều của V bằng ); ký hiệudimV nếu trong V tồn tại ớt nhất một bộ phận đltt cú vụ hạn vectơ.
Vớ dụ 3.12. Cho tập P* x gồm tất cả cỏc đa thức với hệ số thực của biến x cú bậc tựy ý ; với phộp cộng hai đa thức và phộp nhõn một đa thức với một số thực thụng thường.
Chứng minh rằng :P* x là khụng gian vec tơ trờn trường số thực và cú số chiều vụ hạn.
Giải:P* x = p x( ) a0 a x1 a x22 ...an 1xn 1 a xnn ...; ai R, i0,1,2,..., ,... n
Dễ thấy P* x với hai phộp toỏn trờn tạo thành một khụng gian vectơ trờn trường số thực. Đồng thời nN (n lớn tựy ý) luụn tồn tạiS 1, ,x x2,...,xn n N P* x mà :
k0 k x1 k x2 2 ...kn 1xn 1 k xn n 0 ( x R) ki 0, i
hệ đltt ; do đú trong P* x là khụng gian vectơ vụ hạn chiều, dimP*(x) .
Định lý 3.3. Cho U là bộ phận của khụng gian vectơ hữu hạn chiều V ; U là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi vectơ trong V đều được biểu diễn tuyến tớnh duy nhất qua cỏc vectơ của hệ U.
Chứng minh : V là khụng gian hữu hạn chiều nờn ta luụn giả sử được U X X1, 2
,...,Xm V (U cú m vectơ)
Điều kiện cần: Theo giả thiết U là một cơ sở của V do đú là hệ vectơ đltttđ của V, ta
m phải chứng minh cho V thỡ tXi i
(3.1) và biểu diễn dạng (3.1) là duy nhất.
i 1
m m
Thật vậy: V (U{ } ) là hệ vectơ pttt iXi (1) với i22 0
i 1 i 1
m m
Khi đú, 0 vỡ nếu =0 thỡ (1) iXi ( i2 0) U là hệ pttt mõu thuẫn với
i 1 i i 1 giả thiết.
m i Xi m t Xi i vậy đó cú sự biểu diễn (3.1). Với
0 thỡ (1)
i 1 i 1
m
Sự biểu diễn (3.1) là duy nhất vỡ: giả sử cũn cú cỏch biểu diễn t X'
i i (3.1),
i 1
m
Từ (3.1) và (3.1), ta cú : (ti t Xi' ) i mà U là hệ đltt tương đương với
i 1
ti t'i 0 ti t'i ( i 1,m) (3.1) (3.1),
Điều kiện đủ: Giả thiết cho mọi vectơ trong V đều cú biểu diễn duy nhất qua cỏc vectơ của U, ta hóy chứng minh cho U là một cơ sở của V.
Để cú được điều đú ta chỉ cần chứng minh cho U là hệ vectơ đltt trong V là đủ.
m m
Thật vậy U là đltt vỡ giả sử U là hệ pttt ti K; ti2 0: t Xi i . Mặt khỏc trong
i 1 i 1 m khụng gian vectơ V cú vectơ trung hũa và 0Xi điều này mõu thuẫn với giả thiết vỡ
vectơ cú hai cỏch biểu diễn khỏc nhau qua cỏc vectơ của hệ U. Vậy U là hệ đltt và là hệ đltttđ của V, do đú U là một cơ sở của V.
Hệ quả 3.5. Trong khụng gian vectơ hữu hạn chiều V cho hệ vectơ S ; nếu ta thờm vào hệ vectơ S hoặc bớt đi trong S một vectơ được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S thỡ ta cú hạng của hệ vectơ mới nhận được bằng hạng của hệ vectơ S.
m
Chứng minh : Giả sử S X X1, 2 ,...,Xm V, và X V X; k Xi i .
i 1
Ta chứng minh cho r S( ) r S( {X}) r S( \{X}) .
Gọi U là một bộ phận đltttđ của S, nờn U là bộ phận đltt và mọi vộc tơ của S đều cú biểu diễn tuyến tớnh qua U, mà X biểu diễn tuyến tớnh qua S do đú cỏc vectơ của hai bộ phận : (S
{X}) và(S \ X ) cũng được biểu thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U, do đú U cũng là bộ phận đltt tối đại của (U {X}) và(S \ X )suy ra đpcm.
Hệ quả 3.6. Trong khụng gian vectơ hữu hạn chiều V ; S là một bộ phận của V và X là một vectơ bất kỳ của V . Hệ thức r S( ) r S( {X}) xảy ra khi và chỉ khi vectơ X được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S.
Chứng minh :
Trường hợp thứ nhất : Nếu S thỡ hệ quả là hiển nhiờn
Trường hợp thứ hai : Nếu S , trước tiờn ta chứng minh điều kiện cần .
Ta luụn giả sử được S X X1, 2 ,...,Xm V và S cú một bộ phận đltttđ U gồm k vectơ đầu tiờn của S dạng U X X1, 2 ,...,Xk S (1 k m) .
Từ giả thiết ta cú bộ phận U {X} là hệ vectơ pttt, vỡ nếu nú đltt thỡ mõu thuẫn với giả
k k thiết r U( ) r U( {X}) . Khi
đú t ti , K( i 1. ):k ti2 t20 để t Xi i tX (1); nếu
i 1 i 1
t=0 thỡ mõu thuẫn với tớnh đltt của U do đú t 0 nờn từ (1) X k ti
Xi (X đó được biểu
i 1 t
diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ U) do đú X được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S, ta cú đpcm.
Điều kiện đủ là hiển nhiờn theo hệ quả 3.5.
Định nghĩa 3.16. Cho U X X1, 2 ,...,Xm là một cơ sở của khụng gian vectơ V;
m
Vcú biểu diễn iXi khi đú ta núi i là hệ số phõn tớch của vectơ qua cơ sở U
và vectơ ( 1, 2 ,..., m ) được gọi là vectơ hệ số phõn tớch của qua cơ sở U.
Nhận xột 3.10. Theo định lý 3.3 ta thấy vectơ hệ số phõn tớch của một vectơ qua một cơ sở là duy nhất.
Vớ dụ 3.13. Trong R3 cho U={ 1 =(1,1,1); 2 =(1,1,0); 3 =(1,0,0)}. Hóy chứng tỏ hệ vectơ U là một cơ sở của R3 và tỡm vectơ phõn tớch của =(2,-1,3) qua cơ sở đú.
t1 t2 t3 0 t1 0
Giải: Với t t t1, 2 , 3 R t: 1 1 t2 2 t3 3
(0,0,0) t1 t2 0 t2 0
t3 0 t3 0
nờn U đltt
Ta chứng minh cho mọi vectơ trong R3 đều biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U. Thật vậy: Với X là một vectơ bất kỳ của R3 thỡ X (x x1, 2,x3), xột hệ thức:
X t1 1 t2 2 t3 3 (t1 t2 t t3, 1 t2, )t1 (x x1,
2,x3 )
t1 t2 t3 x1
t1 t2 x2 X x3 1 (x2 x3) 2 (x1 x2 ) 3
t1 x3
Để biểu diễn =(2,-1,3) qua { 1, 2 , 3 }, theo trờn ta cú: 3 1 4 2 3 1 và vectơ hệ số phõn tớch của qua cơ sở { 1, 2 3 } là (3,-4,3).
Vớ dụ 3.14. Trong khụng gian cỏc ma trận vuụng cấp 2 cho bộ phận:
1 1 1 1 1 1 1 0 M M1 1 1 ;M 2
1 0 ;M 3 0 0 ;M 4 0 0
2 1
Chứng minh rằng M là một cơ sở của Mat2 2 (K) và biểu diễn ma trận X 3 2 qua
cơ sở đú.
Giải: Với t t t t1 2 3 4, , , K ,
xột tổ hợp t M1
M2 2 t M3 3 t M4 4 (0) 00 00 t1 t2 t3 t4 0 tt1 tt22 t03 0 t1 t2 t3 t4 0 1 t1 0
do đú M là hệ đltt trong khụng gian Mat2 2 (K) , mà dimMat2 2 (K) 4 theo vớ dụ 3.12, nờn M là một cơ sở của Mat2 2 (K).
Để biểu diễn X qua cỏc ma trận của hệ M ta đi tỡm t1, t2, t3, t4 thỏa món: