Cho V là khụng gian hữu hạn chiều trờn trường K.
Định nghĩa 3.20.Cho L là một bộ phõn khỏc rỗng của khụng gian vectơ V; L là khụng gian vectơ con của V nếu cỏc phần tử của L cựng với hai phộp toỏn trong V tạo thành một khụng gian vectơ.
Định lý 3.6. Cho L là một bộ phận khỏc rỗng của khụng gian vectơ V ; L là khụng gian
i) X Y, L X Y L
vectơ con của V khi và chỉ khi ii) X L; k K kX L
Chứng minh: Với giả thiếtL ; L V
Điều kiện cần: hiển nhiờn vỡ L là khụng gian vectơ con của V thỡ cỏc phần tử của L đúng kớn đối với hai phộp toỏn trong V.
Điều kiện đủ: Cỏc phần tử của L đều thuộc V và cỏc phần tử của L đúng kớn với hai phộp toỏn trong V do đútớnh chất giao hoỏn, kết hợp của phộp cộng cựng 4 tớnh chất của phộp nhõn một phần tử của L với một phần tử trong K luụn thỏa món. Hơn nữa trong L cú phần tử trung hũa của V vỡ với 0 K, L 0. L. Trong L mọi phần tử đều cú phần tử đối vỡ 1 K,
L 1. L suy ra cỏc phần tử của L thỏa món tất cả cỏc tớnh chất của hai phộp toỏn trong V, ta cú đpcm.
Nhận xột 3.12. Trong khụng gian vectơ V luụn cú hai khụng gian con là: khụng gian cú duy nhất vectơ khụng và chớnh V (hai khụng gian con này được gọi là khụng gian con tầm thường của V). Vớ dụ 3.18. Cho tập hợp:
A x (x x1, 2,x3,....,xn 2,x1, x1), xi R, i1,n 2 , i) A cú phải là khụng gian vectơ con của Rn khụng? ii)
Nếu A là khụng gian vectơ con hóy tỡm dim A?
Giải: i) Ta cú: A vỡ (0,0,0,...,0,0,0) A và: n x (x x1, 2,....,xn 2 , x1, x1) A x Rn A Rn . Mặt khỏc: +) x y, A x, (x x1, 2,x3,....,xn2,x1, x1); y (y1, y2, y3,...., yn 2, y1, y1) x y (x1 y x1, 2 y2,x3 y3,....,xn 2 yn 2,x1 y1, x1 y1) A +) k R, x (x x1, 2,x3,....,xn 2,x1, x1) A kx (kx kx1, 2,kx3,....,kxn 2,kx1, kx1) A ii) Trong A ta xột hệ U gồm n-2 vectơ sau:
n u1 (1,0,0,...,0,1, 1) U u u u1, 2 , 3,...,un 2 u2 (0(0,0,1,...,0,0,,1,0,...,0,0,0)0) ; u3 ... un 2 (0,0,0,...,1,0,0) Cú U đltt vỡ: n t u11 t u22 t u33 ... tn 2un 2 (0,0,...0,0) (t t1, 2 ,...,tn 2 , ,t1 t1 )(0,0,...,0,0,0)
ti 0, i 1,n 2
Hơn nữa x (x x1, 2,x3,....,xn2,x1, x1) A x x u1 1 x u2 2 x u3 3 ... xn 2un 2 do đú U là một cơ sở của khụng gian vectơ A , nờn dimA = n-2.
Định nghĩa 3.21. Cho hệ vectơ U là một bộ phận khỏc rỗng gồm hữu hạn vectơ của khụng gian vectơ V. Ta gọi tập tất cả những tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vectơ trong U là bao tuyến tớnh của U, ký hiệu L U .
Định lý 3.7. Cho hệ U là một bộ phận khỏc rỗng gồm hữu hạn vectơ của khụng gian hữu hạn chiều V vàL U là bao tuyến tớnh của U thỡ:
i) L U là khụng gian vectơ con của V ii) dimL U = r(U).
Chứng minh: i) Giả sử U X1, X 2,..., Xm V L U X : X m t X ti i , i K, i 1 ,m i 1 Ta cú L U là tập khỏc rỗng vỡ m 0Xi L U và i 1 XL U X V L U V .
Với hai phần tử bất kỳ X, Y thuộc L U ta thấy X+Y cũng thuộc L U vỡ:
X Y, L U X m t X Yii; m i Xi X Y m (ti i )Xi X YL U i 1 i 1 i 1 và XL U X m t Xii; k K kX m (kt Xi ) i kX L U do đú L U là khụng i 1 i 1
gian vectơ con của V.
ii) Ta chứng minh cho dimL U r U( ) ; giả sử r U( ) k m (m là số vectơ của U).
Khụng giảm tớnh chất tổng quỏt ta giả sử bộ phận S gồm k vectơ đầu của U:
k biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S. Giả sử X j ijXi , j k 1,m (1), khi đú một
i 1
vectơ bất kỳ X L U X m t Xii (2); thỡ từ (1) và (2) ta cú vectơ X được biểu diễn
i 1
k m k
tuyến tớnh qua k vectơ của như sau: X ti t j ij Xi l Xi i
i 1 j k 1 i 1
m với li ti t j ij K, i 1,k , suy ra k vectơ X1, X 2,..., Xk là bộ phận đltttđ trong
j k 1
L U và nú chớnh là một cơ sở của L U do đú dimL U k r U( ).
Định nghĩa 3.22. Cho U là bộ phận con khỏc rỗng của khụng gian vectơ hữu hạn chiều V, bao tuyến tớnh L U là khụng gian vectơ con của V được sinh bởi hệ vectơ U và U là hệ sinh của L U .
Vớ dụ 3.12. Tỡm cỏc khụng gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ U sau: a U)
u (1,2) b U) u1 ( 1, 1,1),u2 ( 1,1,1),u2 (1,1,1)
Giải: Theo định lý 3.7, L U là cỏc khụng gian vectơ con tương ứng trong R2, R3
i)VớiU u (1,2) L U (x y, ) R2 : ku (k,2 ),k k R , đõy là khụng
gian con gồm tất cả cỏc vectơ trong R2 nằm trờn đường thẳng cú phương trỡnh cú y 2x. Cỏc vectơ trong L U cú biểu diễn hỡnh học trong hệ tọa độ 0xy như sau:
. ii) Với U u1 ( 1, 1,1),u2 ( 1,1,1),u2 (1,1,1) L U (x y z, , ) R3 : k u1 1 k u22 k u33, k k k1, 2 , 3 R . x y 0 y = 2x
1 1 1
Mà U là hệ gồm 3 vectơ đltt vỡ định thức liờn kết D3 1 1 1 4 0 U là một cơ
1 1 1
sở của khụng gian R3 , do đú L U R3 .
Vớ dụ 3.13. Tỡm số chiều của khụng gian sinh bởi hệ vectơ:
U X X1, 2, X3, X 4 R4 với X1=(k,1,-2,3); X2=(k,k,2,1); X3=(1,1,k,1); X1=(1,1,-3,k); trong đú k là tham số thực.
Giải: Theo định lý 3.7, bài toỏn quy về tỡm hạng của hệ vectơ U; định thức liờn kết của k k 1 1 hệ vectơ trờn D4 1 k 1 12 2 (k 1) (k k 1) 2 2 k 3 3 1 1 k Nếu k 1 D4 0 r U() dim L U 4 1 1 1 Nếu k=1 thỡ D4=0 và D23 4123 2 2 1 2 0 r U( ) dim L U 3. 3 1 1