Định nghĩa 3.8.Với cỏc hệ số ti K và cỏc vectơ Xi S; ( i 1 ,m)biểu thức m t Xi i
i 1 gọi là một tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vectơ trong hệ S; ti gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tớnh trờn.
Vớ dụ 3.4. Trong khụng gian vectơ R4 cho cỏc vectơ :
X1=(1,2,-1,5) ; X2=(-1,-2,3,-3) ; X3=(-2,-1,2,-2). a)Tỡm tổ hợp tuyến tớnh: -3X1 + 2X2 +X3
b)Tỡm vectơ Y thỏa món: 3X1 + X2 -4X3+2Y=
a) X = -3X1 + 2X2 +X3 = -3(1,2,-1,5) +2(-1,-2,3,-3) +(-2,-1,2,-2)
=(-3,-6,3,-15)+(-2,-4,6,-6)+(-2,1,2,-2)=(-7,-9,11,-23)
b) 3X1 + X2 -4X3+2Y= =(0,0,0,0) (1) theo tớnh chất trong khụng gian vectơ cú vec tơ khụng và mỗi vectơ cú vectơ đối ta cú:
(1) 3X - X +4X =2Y1 2 3 Y 3 X - 1 1 X +2X2 3 3 1,2, 1,5 - 1 1, 2,3, 3 2 2, 1,2, 2 2 2 2 2 ( 5, 4,4, 10)
Nhận xột 3.4. Từ định nghĩa ta thấy tổ hợp tuyến tớnh cỏc vectơ của hệ S cũng là một vectơ trong khụng gian vectơ V.
m
Định nghĩa 3.9.Nếu vectơ X t Xi i thỡ ta núi vectơ X được biểu diễn tuyến tớnh qua
i 1
cỏc vectơ của S t, i ( i1 ,m) là hệ số trong biểu diễn đú.
Vớ dụ 3.5. Trong khụng gian vectơ R3 cho vectơ X1=(1,2,-1) ; X2=(-1,-2,3), biểu diễn vectơ X=(1,2,1) qua X1, X2.
Giải: Để biểu diễn vectơ X qua X1, X2 ta tỡm t1, t2 thỏa món:
X t X11 t X2 2 (t1,2 ,t1 t1)( t2, 2 ,3 )t2t2 (t1 t2,2t1 2t2, t13 )t2 (1,2,1)
t1 t2 1 t 2
2t2 2 1 X 2X X
2tt11 3t2 1 t1 1 1 2
Định nghĩa 3.10. Hệ vectơ S được gọi là hệ độc lập tuyến tớnh (đltt) m
nếu t Xi i (1) thỡ cần và đủ là ti 0 ( i 1,m). Hệ vectơ S được gọi là hệ phụ thuộc
i 1 tuyến tớnh (pttt) nếu (1) xảy ra thỡ cần và đủ là cú ớt nhất một hệ số ti 0 (1 i m) .
Nhận xột 3.5. Sự đltt và pttt là hai khỏi niệm đối lập nhau, nếu một hệ vectơ đltt thỡ khụng pttt và ngược lại, do đú để khảo sỏt hai tớnh chất trờn ta chỉ cần khảo sỏt một trong hai tớnh chất đú là đủ.
Vớ dụ 3.6. Trong khụng gian vectơ R3 hóy xột sự đltt của ba vectơ sau :
X1=(1,-1,2); X2 =(2,1,-1); X3 (1,1,0)
t1 2t2 t3 0 t2 2t1
t1 t2 t3 0 5t1 t3 0 t1 t2
t3 0
2t1 t2 0 t1 t3 0
do đú hệ vectơ trờn đltt
Vớ dụ 3.7. Trong khụng gian Mat3x2 (K) (cỏc ma trận cấp 3x2) cho cỏc ma trận:
1 2 1 1 3 5
A 1 1 ;B 11 ;C 1 3
3 1 2 1 4 3
hóy xột tớnh độc lập của S={A , B, C}
Giải: Với ti K i( 1,3) xột hệ thức: t1A + t2 B + t3C = (0) 3x2 t1 2t1 t2 t1 t1 t2 3t1t1 2t2 t2 3t3 5t3 0 0 t2 t3 3t3 0 0 t2 4t33t3 00 t1 t2 3t3 0 2t1 t25t3 0 t t t 0 t 2 1t1 2t2 33t3 0 t12 t3 1 2A - B – C = (0)3x2 3t1 2t2 4t3 0 t1 t23t3 0 do đú S là hệ pttt. 3.3.2. Cỏc tớnh chất Tớnh chất 3.8. Hệ vectơ S là đltt Xi ; i 1,m
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử X j (1 j m ); xột tổ hợp
m tuyến tớnh: t Xi i cú cỏc hệ số ti được xỏc định như sau: tj=1 và ti=0 , i 1,m i, j
i 1
t Xii 0Xi 1Xj S là hệ pttt mõu thuẫn với giả thiết, suy ra đpcm.
i 1 j i 1
Hệ quả 3.1. Nếu một hệ vectơ cú chứa vectơ (vectơ trung hũa của phộp cộng) thỡ hệ luụn pttt.
Tớnh chất 3.9. Hệ vectơ S là đltt thỡ mọi bộ phận con của S cũng đltt.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử trong S tồn tại một bộ phận conS1 pttt ; khụng giảm tớnh chất tổng quỏt ta luụn giả sử đượcS1 X1, X 2 ,..., X k gồm k vectơ đầu của hệ S (1 k m). Vỡ S1 pttt do đú :
k k m
t j ,1 j k : t Xi i t Xi i 0X s = S là hệ pttt, mõu thuẫn với giả thiết, suy
i 1 i 1 s k 1
ra đpcm.
Hệ quả 3.2. Mọi hệ vectơ chứa một bộ phận con pttt thỡ cũng pttt.
Tớnh chất 3.10. Hệ vectơ S (số vectơ của S lớn hơn 1) là pttt cần và đủ là tồn tại ớt nhất một vectơ của hệ được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ cũn lại của hệ đú.
m m
Chứng minh: Hệ S (cú số vectơ lớn hơn 1) pttt ti K; ti2 0: t Xi i (1); giả sử
i 1 i 1 1 t 0 khi đú: (1) t X m t X t j X m ti X m X ( ti K; i1 ,m i, j) j j j i i j i i i i j i 1 j i 1 t j j i 1 t j ta cú đpcm.
Hệ quả 3.3. Hệ vectơ S đltt khi và chỉ khi khụng cú một vectơ nào của hệ được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ cũn lại của hệ đú.
Nhận xột 3.6. Cỏc hệ quả của tớnh chất 1, tớnh chất 2, tớnh chất 3 dễ dàng được chứng minh hoặc trực tiếp hoặc được suy ra từ sự tương đương của mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo.
3.4.Hạng của hệ vectơ – số chiều của khụng gian vectơ
Hạng của hệ vectơ và số chiều của khụng gian vectơ là những khỏi niệm cơ bản đặc trưng cho mối quan hệ tuyến tớnh giữa cỏc vectơ trong một hệ vectơ cũng như trong toàn bộ khụng gian; do đú nú đúng vai trũ quan trọng trong nội dung toỏn cao cấp 1. Trong phần này trước hết chỳng tụi trỡnh bày nội dung trờn trong khụng gian vectơ tổng quỏt V
3.4.1.Hạng của hệ vectơ – số chiều của khụng gian vectơ V
Cho hệ vectơ S X X1, 2,,...,Xm V,(1 m N). Một tập con U của S (U là một bộ phận gồm một số vectơ hay tất cả cỏc vectơ của S, để đơn giản ta cú thể núi U là một bộ phận con hoặc một hệ con của S).
Định nghĩa 3.11. Hệ vectơ U là một bộ phận con của hệ vectơ S; U được gọi là hệ độc lập tuyến tớnh tối đại (đltttđ) của S nếu U là hệ vectơ đltt và mọi vectơ của hệ S đều được biểu thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U.
Nhận xột 3.7.
i) Khi Ulà một bộ phận con đltt của hệ vectơ S muốn chứng minh U là bộ phận con đltttđ của S bằng định nghĩa ta chỉ cần chứng minh cho mọi vectơ thuộc tập (S U\ ) được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ cỳa U hoặc X (S U\ ) thỡ (U X ) là hệ cỏc vectơ pttt là đủ.
Thật vậy : Vỡ mỗi vectơ trong U luụn được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của U ii) Cho hệ vectơ S V (S khỏc rỗng), từ định nghĩa 3.10 ta nhận được cỏc kết luận trong
hai trường hợp đặc biệt sau đõy :
Trường hợp 1: S cú duy nhất vectơ khụng thỡ S khụng cú bộ phận con đltttđ nào.
Trường hợp 2: S là một hệ vectơ đltt thỡ S cú duy nhất một bộ phận con đltttđ là chớnh S.
Vớ dụ 3.8.Vớ dụ 3.8. Tỡm bộ phận đltttđ của hệ : S X X X1, 2 , 2 với X1=(2,1,-1), X2=(1,0,-2); X3=(-1,-1,1) Giải: S là hệ đltt vỡ: t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0) 2t1 t2 t3 0 t1 t3 0 t1 t2 t3 0 t12t2 t3 0 Do đú S cú duy nhất bộ phận con đltttđ là chớnh nú. Vớ dụ 3.9.Vớ dụ 3.9. Tỡm bộ phận con đltttđ của hệ : S X X X1, 2 , 2 với X1=(3,3,-2), X2=(-1,-1,2), X3=(1,1,2) Giải: Với ti R, i 1,2,3; hệ thức t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0) 3t1 t2 t3 0 3t1 t2 t3 0 t1 1,t2 2,t3 1:X1 2X2 X3 2t1 2t2 2t3 0 do đú S là hệ pttt
Ta xột bộ phận U1 X1, X2 S , hệ thức t X1 1 t X2 2 (0,0,0)
3t1 t2 0 t1 0
3t1 t2 0 t2 0 2t1
2t2 0 t3 0
nờn U1 đltt, do đú nú là một bộ phận con đltttđ của S.
Tương tự U2 ={X2, X3} và U3={X1, X3} cũng là cỏc bộ phận con đltttđ của S. Như vậy hệ vectơ S cú 3 bộ phận con đltttđ và mỗi bộ phận đltttđ của S đều cú số vectơ là 2.
Trờn đõy cho ta thấy, một hệ hữu hạn vectơ S của khụng gian vectơ V thỡ S cú thể: khụng cú bộ phận đltttđ (S ) ; hoặc cú duy nhất một bộ phận đltttđ (S là hệ đltt); hoặc cú nhiều bộ phận đltttđ (vớ dụ 3.9 ở trờn). Do đú một cõu hỏi được đặt ra là: trong khụng gian vectơ V, cho hệ vectơ S thỡ S luụn cú bộ phận con đltttđ hay khụng? Trong trường hợp cú nhiều hơn một bộ phận đltttđ thỡ số lượng cỏc vectơ trong mỗi bộ phận đltttđ đú cú bằng nhau khụng.
Để trả lời cho cỏc cõu hỏi trờn ta cú cỏc định lý sau:
Định lý 3.1. Cho S là hệ gồm hữu hạn vectơ của khụng gian vectơ V và S thỡ S luụn cú ớt nhất một bộ phận con đltttđ.
Chứng minh: Giả sửS X X1, 2,,...,Xm V,(1 m N).
Trước tiờn, ta xột những bộ phận gồm một vectơ của S, dễ thấy cú ớt nhất một bộ phận (cú một vectơ) đltt, ta ký hiệu là S1 (vỡ S nờn S chứa ớt nhất một vectơ khỏc vectơ khụng).
Tiếp theo, ta xột cỏc bộ phận gồm 2 vectơ của S, xảy ra hai trường hợp sau :
Trường hợp thứ nhất : Mọi bộ phận gồm 2 vectơ trong S đều pttt khi đú S1 là một bộ phận con đltttđ của V (vỡ S1 đó đltt và khi bổ sung vào S1 một vectơ bất kỳ của hệ S thỡ được hệ hai vectơ pttt).
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 2 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đú là
S2 .
Tiếp theo, ta xột cỏc bộ phận gồm 3 vectơ của S, cũng xảy ra hai trường hợp như ở trờn :
Trường hợp thứ nhất : Mọi bộ phận gồm 3 vectơ trong S đều pttt ; khi đú S2 là một bộ phận con đltttđ của S vỡ S2 đó đltt và khi bổ sung vào S2 một vectơ bất kỳ của hệ S thỡ được hệ ba vectơ pttt.
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 3 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đú là
S3 .
Ta tiếp tục xột cỏc bộ phận gồm 4,5,...vectơ của hệ S. Quỏ trỡnh trờn được dừng lại sau hữu hạn bước (tối đa là m bước, ở bước thứ k ta phải xột tớnh đltt của Cmk bộ phận con gồm k trong m vectơ của hệ S , 1 k m) . Kết thỳc quỏ trỡnh trờn, ta nhận được ớt nhất một bộ phận con đltttđ của V, định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. (Định lý thay thế Steinitz)
Trong khụng gian vectơ V cho hai hệ vectơ: U u u1, 2,...,um và S s s1, 2,...,sn ; nếu hệ vectơ U độc lập tuyến tớnh và mỗi vectơ của U đều được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S thỡ m n .
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh tồn tại một hệ vectơ Sm nhận U làm hệ con và mọi vectơ của U được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của Sm .
Thật vậy, theo giả thiết mỗi vectơ của U đều được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ S. Giả sử u1 t s1 1 t s2 2 ... tn 1sn 1 t sn n (1) vỡ U là hệ đltt nờn u1 0 t j
0, khụng làm
giảm tớnh chất tổng quỏt giả sử t1 0, từ (1) ta cú: s1 1
u1 t2
s2 ... tn 1 sn 1 tn sn (2)
t1 t1 t1 t1
Trong hệ S ta thay vectơ s1 bởi vectơ u1 ta được hệ vectơ S1 u s1, 2,...,sn , từ (2) ta cú cỏc vectơ của S được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S1 , do đú cỏc vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S1 . Giả sử ta cú:
u2 1 1u 2s2 ... n 1sn 1 n ns (3) vỡ U là hệ đltt nờn j 0, j2,n, khụng làm giảm tớnh chất tổng quỏt giả sử 2 0(nếu khụng như vậy ta chỉ cần đỏnh số lại cỏc vectơ), từ (3) ta cú: s2 1 u1 1 u2 ... n 1 sn 1 n sn (4)
1 1 1 1
Trong S1 ta thay vectơ s2 bởi vectơ u2 ta được hệ vectơ S2 u u s1, 2, 3,...,sn từ (2) và (4) ta cú cỏc vectơ của S được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S2 ; do
đú cỏc vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tớnh qua cỏc vectơ của S2 .
Tiếp tục quỏ trỡnh trờn, sau m lần ta nhận được hệ Sm u u u1, 2, 3,...,um,sm 1,...,sn . Dễ thấy n m vỡ nếu n m thỡ mọi vectơ của hệ U đều biểu thị tuyến tớnh qua bộ phận Sn
u u1, 2,...,un điều này mõu thuẫn với giả thiết U là hệ pttt. Suy ra đpcm.
Hệ quả 3.4. Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong khụng gian vectơ V thỡ mọi hệ con đltttđ của S đều cú số vectơ bằng nhau.
Chứng minh: Theo giả thiết, sự tồn tại bộ phận con đltttđ của hệ S đó được chứng minh trong
Giả sử A a a1, 2,...,am gồm m vectơ; B b b1, 2,...,bn gồm n vectơ của hệ S và A B,
là hai bộ phận con đltttđ của hệ S . Khi đú A B, là cỏc hệ đltt và mọi vectơ của một trong hai hệ đều biểu thị tuyến tớnh qua cỏc vectơ của hệ cũn lại, do đú theo định lý trờn ta cú m n và n m , suy ra n m
Định nghĩa 3.12. Cho S là một hệ vectơ của khụng gian vectơ V; S khỏc rỗng vàS
. Một bộ phận đltttđ của S được gọi là một cơ sở của S và số vectơ trong một cơ sở của S gọi là hạng của S và kớ hiệu là r(S).
Quy ước : Hạng của hệ cú duy nhất vectơ bằng khụng.
Nhận xột 3.8. Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong khụng gian vectơ V thỡ: i) Cơ sở của S cú thể khụng duy nhất.
Thật vậy, hệ vectơ S trong vớ dụ 3.9 cú 3 cơ sở.
ii) Giả sử S gồm m vectơ: Nếu S đltt thỡ r(S)=m, hoặc nếu S pttt và tồn tại một bộ phận con đltt gồm m-1 vectơ của S thỡ r(S) = m-1.
Vớ dụ 3.10. Tỡm hạng hệ vectơ S X X1, 2, X3 R4 với: X1 ( 1,1,2, 1); X2 (2, 1,2,1); X3 (1,1,10, 1) . Giải: Với t t t1, 2 , 3 R xột hệ thức: t X1 1 t X2 2 t X3 3 (0,0,0,0) t1 2t2 t3 0 2tt11 t22 t3 3 0 t12t2 2 t23t 3 0 0 3X1 2X2 X3 2t 10t 0 t t1 t2 t3 0 do đú hệ vectơ S pttt. Ta cú bộ phận X X1, 2 là hệ đltt trong S vỡ: t X1 1 t X2 2 (0,0,0,0) t1 2t2 0 t1 t2 0 t1 t2 0 2t1 2t2 0 t1t2 0 Do đú r(S) = 2
Định nghĩa 3.13.Khụng gian vectơ V được gọi là khụng gian hữu hạn chiều nếu trong V cú một hệ vectơ đltttđ gồm hữu hạn vectơ.
Định nghĩa 3.14. Trong khụng gian hữu hạn chiều V, một hệ vectơ đltttđ được gọi là một cơ sở của V và số vectơ trong một cơ sở gọi là số chiều của khụng gian, ký hiệu là dim V.
Chỳ ý 3.2. Trong phạm vi giỏo trỡnh ta chỉ xột khụng gian hữu hạn chiều.
Nhận xột 3.9. Cho khụng gian vectơ hữu hạn chiều V, mọi hệ vectơ S V thỡ r s( ) dimV
Vớ dụ 3.11. Tỡm dim Mat2 2 (K) (số chiều của khụng gian cỏc ma trận vuụng cấp 2)
Giải: Trong Mat2 2 (K) xột hệ U X X1, 2, X3, X 4 trong đú :
1 0 0 1 0 0 0 0 X1 0 0 , X 2 0 0 , X3 1 0 , X 4 0 1 . Với ti K i; 1 ,4 xột hệ thức: 0 0 t1 t2 00 00 t1 t2 t3 t4 0tX1 1 t X2 2 t X3 3 t X4 4 ( )2 2 0 0 t3 t4 do đú U là hệ vectơ đltt. a b
Mặt khỏc A c d Mat2 2 (K), đều cú biểu diễn A =aX1+bX2+cX3+dX4, nờn U là bộ phận đltttđ và là một cơ sở của khụng gian cỏc ma trận vuụng cấp 2, do đúdimMat2 2 (K) 4
Hệ ma trận U ở trờn được gọi là cơ sở tự nhiờn hay cũn gọi là cơ sở chớnh tắc của
Mat2 2 (K)
Định nghĩa 3.15. Khụng gian vectơ V được gọi là khụng gian vụ hạn chiều (số chiều của V bằng ); ký hiệudimV nếu trong V tồn tại ớt nhất một bộ phận đltt cú vụ hạn vectơ.
Vớ dụ 3.12. Cho tập P* x gồm tất cả cỏc đa thức với hệ số thực của biến x cú bậc tựy ý ; với phộp cộng hai đa thức và phộp nhõn một đa thức với một số thực thụng thường.
Chứng minh rằng :P* x là khụng gian vec tơ trờn trường số thực và cú số chiều vụ hạn.
Giải:P* x = p x( ) a0 a x1 a x22 ...an 1xn 1 a xnn ...; ai R, i0,1,2,..., ,... n
Dễ thấy P* x với hai phộp toỏn trờn tạo thành một khụng gian vectơ trờn trường số thực. Đồng thời nN (n lớn tựy ý) luụn tồn tạiS 1, ,x x2,...,xn n N P* x mà :
k0 k x1 k x2 2 ...kn 1xn 1 k xn n 0 ( x R) ki 0, i
hệ đltt ; do đú trong P* x là khụng gian vectơ vụ hạn chiều, dimP*(x) .
Định lý 3.3. Cho U là bộ phận của khụng gian vectơ hữu hạn chiều V ; U là một cơ sở của V khi và chỉ khi mọi vectơ trong V đều được biểu diễn tuyến tớnh duy nhất qua cỏc vectơ của hệ U.
Chứng minh : V là khụng gian hữu hạn chiều nờn ta luụn giả sử được U X X1, 2
,...,Xm V (U cú m vectơ)
Điều kiện cần: Theo giả thiết U là một cơ sở của V do đú là hệ vectơ đltttđ của V, ta
m phải chứng minh cho V thỡ tXi i
(3.1) và biểu diễn dạng (3.1) là duy nhất.
i 1
m m
Thật vậy: V (U{ } ) là hệ vectơ pttt iXi (1) với i22 0