Ta xột cỏc phộp biến đổi sau:
i) Nhõn hai vế của một phương trỡnh trong hệ với một số thực khỏc khụng.
ii) Nhõn hai vế của một phương trỡnh trong hệ với một số thực rồi cộng tương ứng vào cỏc vế của một phương trỡnh khỏc trong hệ.
Cỏc phộp biến đổi trờn được gọi là cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn hệ phương trỡnh.
Nhận xột 4.2.
i) Khi thực hiện cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn một hệ phương trỡnh ta nhận được hệ phương trỡnh mới tương đương với hệ đó cho. Đối với hệ phương trỡnh mới thường dễ dàng tỡm được nghiệm. Giả sử khi biến đổi tương đương đưa hệ đó cho về hệ mới cú phương trỡnh thứ i xảy ra
ai1 ai2 ...aik ...ain 1 ain 0 khi đú cú hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu vế phải bi =0 thỡ phương trỡnh thứ i vụ định ta bỏ phương trỡnh vụ định đú đi thỡ được hệ phương trỡnh mới tương đương với hệ ban đầu.
Trường hợp 2: Nếu bi 0 thỡ phương trỡnh thứ i vụ nghiệm, khi đú hệ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm.
ii) Khi thực hiện ba phộp biến đổi trờn đối với một hệ phương trỡnh thỡ thực chất là ta đó thực hiện cỏc phộp biến đối sơ cấp trờn cỏc dũng của ma trõn bổ sung của hệ đú; cụ thể như sau:
Nhõn một dũng của ma trận với một số thực khỏc khụng.
Nhõn cỏc phần tử của một dũng với một số thực rồi cộng tương ứng vào cỏc phần tử của một dũng khỏc trong ma trận.
Đổi chỗ hai dũng cho nhau trong ma trận.
Cỏc phộp biến đổi này cho kết quả: hệ phương trỡnh cú ma trận bổ sung ban đầu tương đương với hệ phương trỡnh cú ma trận bổ sung vừa nhận được qua cỏc phộp biến đổi.
Vớ dụ 4.2. Giải hệ phương trỡnh sau:
x1 +2x - x = 12 3
2x -3x + 3x = 1 2 3 4
5x - 6x + x = 1 2 3 3
Giải: Biến đối sơ cấp trờn cỏc dũng của ma trận bổ sung của hệ; ta cú:
1 2 1 : 1 2D1D2 1 2 1 : 1 1 2 1 : 1 A~ 2 3 3 : 4 5D 1 D3 0 1 1 :6 4D 2D3 01 1 : 6 A~1 5 6 1 : 3 3 4 0 4 4 : 8 0 0 8 : 16 x1 +2x - x = 12 3 x1 5 ~
Hệ trờn tương đương với hệ cú ma trận bổ sung A1 : x +x = 62 3 x2 4
-8x =-163 x3 2
x1 - 2x + x = -12 3
3x - 5x + 2x = 1 2 3 1
2x - 5x + 3x = b1 2 3
Giải: Biến đối sơ cấp trờn cỏc dũng của ma trận bổ sung của hệ; ta cú:
A~ 13 2512:: 11 32DD11 DD23 10 12 11 :: 41 D2 D3 1
2 1 : 1 ~
0 1 1 : 4 A1
2 5 3 : b 0 1 1 : b 2 0 0 0 : b 6
x1 - 2x + x = -12 3 Hệ
trờn tương đương với hệ cú ma trận bổ sung A~1 : x - x = -12 3
0x +0x = b+62 3
Nếu b 6 thỡ hệ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm
x1 c 7
Nếu b=-6 thỡ hệ cú vụ số nghiệm và nghiệm tổng quỏt của hệ là: x2 c 4
x3 c; c R